浙教版八年级下册数学举一反三系列 专题4.3 平行四边形的判定【九大题型】（学生版）

专题4.3平行四边形的判定【九大题型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断能否构成平行四边形】 1【题型2添加条件构成平行四边形】 2【题型3数图形中平行四边形的个数】 3【题型4求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 4【题型5证明四边形是平行四边形】 5【题型6全等三角形拼平行四边形问题】 6【题型7利用平行四边形的判定和性质求解】 8【题型8利用平行四边形的判定和性质证明】 9【题型9平行四边形的应用】 11【知识点1平行四边形的判定】(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【题型1判断能否构成平行四边形】【例1】（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（

）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【变式1-1】（2022春·北京西城·八年级校考期中）下列∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（

）A．1∶2∶3∶4 B．1∶4∶2∶3 C．1∶2∶2∶1 D．3∶2∶3∶2【变式1-2】（2021春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期中）在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O．给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【变式1-3】（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）如图，已知▱ABCD的一组邻边AB，BC，用尺规作图作▱ABCD，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2添加条件构成平行四边形】【例2】（2022春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，如果添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，则添加的条件不能是（）A．DE=BF B．AE=FC C．AF=CE D．∠1=∠2【变式2-1】（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知FG∥AB，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（A．AD=EG B．DF=DG C．DE∥AC 【变式2-2】（2022春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．【变式2-3】（2022春·河南新乡·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F．(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件是______．(2)添加了条件后，请证明四边形DEBF为平行四边形．【题型3数图形中平行四边形的个数】【例3】（2021春·内蒙古包头·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC ，   GH∥AB ，    EF与GH相交于点O，图中共有个平行四边形(A．4个 B．5个 C．8个 D．9个【变式3-1】（2021春·重庆·八年级期末）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）A．39 B．40 C．41 D．42【变式3-2】（2021春·浙江杭州·八年级期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC//DG,AD//A．4 B．5 C．3 D．6【变式3-3】（2021春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（

）A．6个 B．7个 C．9个 D．11个【题型4求与已知三点组成平行四边形的点的个数】【例4】（2020春·四川广元·八年级统考期末）已知A，B，C三点的坐标分别是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（

）A．(−1，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0，−6)【变式4-1】（2019秋·江苏南通·八年级校考期末）以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形最多能作()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-2】（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系内，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三点为顶点画平行四边形．(1)可以画多少个平行四边形？(2)写出每个平行四边形第四个顶点D的坐标．【变式4-3】（2020春·山东济南·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)．（1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形；（3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标．【题型5证明四边形是平行四边形】【例5】（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BC＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交△ABC外角∠ACD的平分线于点G．求证：四边形【变式5-1】（2022春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，BE是△ABC的中线，延长BE到D，使ED＝BE，连接AD，CD，补全图形．判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【变式5-2】（2022春·宁夏中卫·八年级校考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE．(1)求证：△AEB≌△ADC．(2)当点D在线段BC上时．探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并写出证明过程．【变式5-3】（2022春·江西九江·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE=CF，连接BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接(1)求证：四边形ABFE为平行四边形；(2)若AD=6cm，求MN【题型6全等三角形拼平行四边形问题】【例6】（2022春·福建厦门·八年级统考期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．【变式6-1】（2021·全国·九年级专题练习）如图，有两块全等的含30°角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【变式6-2】（2021·河南周口·三模）把三角形形状的纸片放在方框纸上，使其每一个顶点都在格点上，如图1所示（方格边长均为∠）．对这个三角形进剪切、拼接后，可以得到一个平行四边形，如图2中阴影部分所示．剪切、拼接的方案如下：如图2，取BC的中点M，连接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四边形AEBM．我们约定：剪切、拼接时，纸片的每一部分都要被用到，而且不得用所给纸片以外的纸片．(1)请你采用不同于图2的剪切、拼接方案，也得到一个平行四边形，在图3中用阴影表示出你得到的平行四边形，并补充已知和求证，写出证明过程．(2)对这个三角形进行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．试在图4中，用阴影表示出你得到的梯形（不必说明剪切、拼接方案，但必须保留作图痕迹）．【变式6-3】（2020秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图所示，ΔABC的顶点在8×8的网格中的格点上．(1)画出ΔABC绕点A逆时针旋转90°得到的ΔA(2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形．【题型7利用平行四边形的判定和性质求解】【例7】（2022秋·山东淄博·八年级校考期末）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S▱BEPG=1.5，则【变式7-1】（2021秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为腰向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接DE，CA的延长线交DE于点F，则与线段AF相等的是（

A．12BC B．12AB C．12AC D．【变式7-2】（2022春·广东深圳·八年级校考期末）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为__．【变式7-3】（2022秋·江苏·八年级期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为12cm的等边三角形学具，P是边AC上一个动点，由点A向点C运动，速度为1cm/s，Q是边CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动，连接PQ，交AB于点D，设点P运动的时间为t((1)【问题】填空：CP+CQ=cm；(2)当∠DQB=30°时，求t的值；(3)【探究】如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，在点P，点Q运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不变，请求出DE的长度；若变化，请说明理由．【题型8利用平行四边形的判定和性质证明】【例8】（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，以▱ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【变式8-1】（2022春·四川成都·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AB，点E为线段OC的中点．(1)求证：∠ABO=2∠ODE；(2)若F，G分别是OB，AD的中点．①判断△EFG的形状并证明你的结论；②当EF⊥EG，且AB=25时，求平行四边形ABCD【变式8-2】（2022春·四川成都·八年级统考期末）已知，在△ABC中，点M是BC的中点，点D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度数．【变式8-3】（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转得到△ADE．设旋转角度为α度0°≤α<120°，AD交BC于点F，DE分别交BC、AC于点G、H．试探究以下问题：(1)当α=_______时，△ABF为直角三角形；(2)当△ADH且为等腰三角形时，求BF的值；(3)连接BD，是否存在角α，使得四边形ABDH为平行四边形?如果存在，直接写出α的大小：如果不存在，请说明理由．【题型9平行四边形的应用】【例9】（2022春·八年级课时练习）如图，一块草地的中间有一条弯路，AC∥BD，CE∥DF．请给出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变．【变式9-1】（2022·全国·九年级专题练习）村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？【变式9-2】（2021春·八年级课时练习）如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有