第四章 离散量数

第四章差异量数李金德第一节全距与百分差第二节平均差、方差与标准差第三节标准差的应用第四节差异量数的选用例题500500500均数250025002500合计49048044054954904604500500500350551054025105205601丙乙甲编号例：设甲、乙、丙三人，做四级英语模拟试题5套得分结果如下：,500甲乙丙450550第四章差异量数差异量数：表示一组数据的差异情况或离散程度的量数；反映数据分布的离中趋势；描述事物差异性的表现。差异量越小，平均数的代表性越好。差异量越大，平均数的代表性则差。第一节全距与百分位位差一、全距定义：是一列数据中最大数与最小数的差距，又称极差。公式：R=Xmax-Xmin特点：1.是说明数据离散程度最简单的统计量；2.不能充分利用数据信息；3.不稳定，不可靠，也不灵敏。二、百分位差（一）百分位数（Percentile）百分位数是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比，符号为Pp。如：P75=90，即百分位数为90，实际指的是在这组数据中90分以下的数据包含了整个数据的62%。又如：P25=60，即百分位数为60，实际指的是在这组数据中60分以下的数据包含了整个数据的25%。1.未分组数据百分位数的求法第一步：从小到达排列原始数据。第二步：计算位置指数i。i=（p/100）

n，n为项数，i为所求的百分位的位置。第三步：若i不是整数，将i向上取整；若i是整数，则第p百分位数是第i项与第（i+1）项数据的平均值。例题有12个职员薪金的数据，求第85和第50百分位数。解：（1）先排序：

221022252350238023802390242024402450255026302825

（2）i=(p/100)

n=(85/100)

12=10.2。由于i=10.2不是整数,向上取整,所以第85百分位数对应的是第11项,其值为2630。（3）i=(50/100)

12=6，因是整数，第50百分位数是第6项和第7项的平均值,(2390+2420)/2=2405。2.分组数据计算公式：Pp—第p个百分位数Lb—百分位数所在组的精确下限f—百分位数所在组的次数Fb—小于Lb的各组次数的和N—总次数i—为组距例题4-1计算百分位差P90—P10组别

f向上累加次数65～115760～415655～615250～814645～1613840～2412235～349830～216425～164320～112715～91620～77解：（1）先确定P90，P10的位置：157*（90/100）=141.3;157*（10/100）=15.7

（2）确定P90，P10所在区间：P90在“50～”这组，P10在“15～”这组（3）确定公式中的符号：Lb=49.5，Fb=138，i=5，f=8Lb=14.5，Fb=7，i=5，f=9（4）代入公式计算P90

，P10

（5）计算P90-P10=51.56-19.33=32.23课堂练习计算上例中P75，P25二、四分位差1.四分位数可视为百分位数的特例，用Q来表示。2.P25,P50,

P75把数据分成四等份，所以称为四分位数。P25（第一个四分位，Q1）；P50（第二个四分位，Q2）；P75（第三个四分位，Q3）；3.四分位差是百分位差特例:（P75-P25）/2=（Q3-Q1）/2。4.实质：反映了中间50%数据的离散程度。四分位差实质反映中间50%数据的离散程度Q1Q2Q3Q1Q2Q3四分位差越小中间50%数据越集中四分位差越大中间50%数据越离散三、百分等级1.含义：是指某个数据在整个数据中所处的百分位置。2.作用：可以表示任何一个分数在该团体中的相对位置。例如：某人考试成绩的百分等级PR=80，就意味着他的成绩比约79%的人要好，比约19%的人要差。百分等级的编制过程精确登记实际累加相对累加上下限次数次

数次

数96---.9795.5—98.5||20.02100193---9492.5---95.5|||30.03980.9890---9189.5—92.5||||40.04950.9587---8886.5—89.5||||

|||80.08910.9184---8583.5—86.5||||||||

|110.11830.8381---8280.5—83.5||||||||||||

||170.17720.7278---7977.5—80.5||||||||||||

||||190.19550.5575---7674.5—77.5||||||||

||||140.14360.3672---7371.5—74.5||||||||100.1220.2269---7068.5—71.5||||

||70.07120.1266---6765.5—68.5|||30.0350.0563---6462.5—65.5|10.0120.0260---6159.5—62.5|10.0110.01∑f=1001上限以下的累加次数分组区间组中值Xc次数f频数p/N0.01+0.01=0.023.百分等级的公式：可以通过百分位数公式推导而出课堂练习分数分组次数累积次数累积百分数90-85-80-75-70-65-60-55-50-45-40-35-30-25-20-15-10-5-0-1327517098134131125149136134126138139147151982671900188718601809173916411507137612511102966832706568429282131337100.0099.3297.8995.2191.5386.3779.3272.4265.8458.0050.8443.7937.1629.8922.5814.846.891.740.37第二节平均差、方差与标准差一、平均差1.含义：原始数据与平均数绝对离差的平均值。2.符号：A.D.或者M.D.3.特点：较好反映了数据分布的离散程度；平均差是绝对值，使用受到限制；属于低效的差异量数。二、方差与标准差1.含义:（1）方差：是离均差平方的算术平均数，表示一列数据平均差距的平方。符号：样本方差—s2

总体方差—σ2(2)标准差就是方差的算术平方根，表示一列数据的平均差距。符号：样本标准差—s、总体标准差—σ

2.未分组数据计算公式利用原始数据计算例题4-2计算6、5、7、4、6、8这一组数据的方差和标准差。解:（1）先计算平均数：（2）求离均差的平方和：（3）代入方差和标准差的公式，计算结果：课堂练习73878380777975787286

-6841-20-41-77

3664161401614949课堂练习：采用原始数据计算编号14162525374944165636686436226解：1.先对原始数据求和：2.再对原始数据平方求和：3.把结果带入公式3.分组数据的标准差和方差（了解）练习：学生创造性思维成绩分布表，求标准差第1行

40-4435-3930-3425-2920-2415-19第2行人数f173118232第3行

Xc

423732272217—第4行fXc

422599629717634904第5行Xc-M13.758.753.75-1.25-6.25-11.250第6行(Xc-M)2189.06276.56214.0621.56239.062126.562—第7行f(Xc-M)2189.062535.9342.18717.187312.500253.1251350.00解：分组数据标准差计算的便捷式学生创造性思维成绩分布表人数组中值第1行

40-4435-3930-3425-2920-2415-19第2行173118232第3行423732272217—第4行3210-1-2—第5行941014—第6行31430-8-48第7行928308856把结果带入公式4.总标准差的合成例题4-4：在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平均数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。班级人数平均数标准差14210316236110123509817计算过程班级

1421031660.00000423611012148.72043509817-425.200474————5.方差、标准差的性质和意义（1）性质每个观测值加一个常数C，标准差不变。每个观测值乘一个常数C，新数据标准差为原标准差乘此常数。（2）意义表示数据离散程度的最好指标。第三节标准差的应用思考：已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤,体重的标准差是3.7公斤,平均身高110厘米,标准差为6.2厘米,问体重与身高的离散程度哪个大?一、差异量数1.Coefficientofvariation也称离散系数,标准差系数，是一组数据的标准差与其相应的均值之比。例题4-5已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤,体重的标准差是3.7公斤,平均身高110厘米,标准差为6.2厘米,问体重与身高的离散程度哪个大?解:CV体重=3.7/25100%=14.8%CV身高=6.2/110100%=5.64%

所以,体重的离散程度比身高的离散程度大。2.差异系数的评价：只能用于一般的相对差异量的描述，没有有效的假设检验方法，不能进行统计推论。

CV小于5%，表示离散程度太小；

CV大于35%，表示离散程度太大。二、标准分数（一）概念和公式标准分数：又称基分数或Z分数，是以标准差为单位的一种量数。表示的是一个原始分数在团体中所处的相对位置。计算公式：例题4-7例:某班平均成绩为90分，标准差为3分，甲生得94.2分,乙生得89.1分,求甲乙二学生的Z分数各是多少?解：Z甲=(94.2-90)/3=1.4Z乙=(89.1-90)/3=-0.3（二）标准分数的性质1.Z分数是一个相对量，以平均数为参照点，以标准差为单位。2.一组原始数据的Z分数分布：平均数为0，标准差为1。3.如果原始数据呈正态分布，则转换所得的Z分数分布为标准正态分布，且所有Z分数的均值为0。（三）标准分数的应用1.观测值在数据分布中相对位置的高低例：某年高考理科数学全国平均成绩65分，标准差是12.5分,考生A、B、C三人的数学原始分数为50、65、85分，求他们的标准分数是多少？解：ZA=(50-65)/12.5=-1.2;ZB=(65-65)/12.5=0;ZC=(85-65)/12.5=1.62.当已知各不同质的观测值的次数分布为正态时,可用Z分数求不同的观测值的总和或平均值,以表明在总体中的位置。例：求甲乙两人的标准分之和。考试科目甲乙平均分标准差语文85897010政治7062655外语6872698数学5340506理化7287758计算过程考试科目甲乙平均分标准差Z甲Z乙语文858970101.5001.900政治70626551.000—0.6外语6872698—0.1250.375数学53405060.500—1.67理化7287758—0.3751.500总计3483502.501.505（3）表示标准测验分数经过标准化的测验,如果其常模分数分布接近正态分布,常常要转换成正态标准分数。这是线性转换。公式：Z’=aZ+bZ’为正态标准分数,Z=(X-X)/,a,b为常数,为测验常模的标准差。常见标准测量分数：韦氏常人智力量表（WAI