2023-2024学年天津市高一年级上册期中数学模拟试题

2023-2024学年天津市高一上册期中数学模拟试题

一、单选题

1.设复数Z=TT(i为虚数单位)，Z的共轨复数为三，则三等于()

Z

A.-1-2«B.-2+iC.-l+2zD.1+2/

【正确答案】C

【详解】因为J2-z=W3-/=f-2+"4/=T+2i,

Z-I-Z2

故选C.

2.已知向量α=(l,1),6=(2,x),若α+8与助-2α平行，则实数X的值是()

A.-2B.0C.1D.2

【正确答案】D

【详解】因为α=(1,1),0=(2,x),所以4+b=(3,》+1),4〃-2。=(6,4犬-2),由于4+6与46-24平行，得

6(x+l)-3(4x-2)=0,解得x=2.

3.设在ΔA8C中,角AB,C所对的边分别为αb,c,若。COSC+ccos3=αsinA,则ΔA3C的形状为

()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理可得Sin(BfC)=SiYA,结合三角形内角和定理与诱导公式可得

TT

SinA=LA=,,从而可得结果.

【详解】因为hCoSC+ccosB=αsin4,

所以由正弦定理可得sin3cosC+sinCcosB=sin2A，

22

sin(B÷C)=sinAsinA=sinAf

所以SinA=I,A=],所以是直角三角形.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：

(1)知道两边和一边的对角，求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角)；(2)知道两角与一个

角的对边，求另一个角的对边；(3)证明化简过程中边角互化；(4)求三角形外接圆半径.

4.已知"?，〃为两条不同的直线，α,α为两个不同的平面，对于下列四个命题:

①ZMUa,〃uα,机〃β,n//B=a//β；②n//m、〃Uanrn"a-

③α〃/?,muα,"u6=，〃〃"；@m//a,nca=>m//n.

其中正确命题的个数有()

A.O个B.1个C.2个D.3个

【正确答案】A

【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.

【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求〃?，"相交，若没有，则α,万可能相交，故①错误；

对于②：因为线面平行的判定定理要求相αa,若没有，则可能机ua,故②错误：

对于③：根据线、面位置关系可知：m∕∕n,或肛”异面，故③错误；

对于④：根据线、面位置关系可知：加〃〃，或肛”异面，故④错误；

故选：A.

5.已知三条直线4,b,C和两个平面α,4,下列命题正确的是()

A.若α∕∕α,“∕∕6,则6∕∕αB.若alib,bua,则α∕∕ɑ

C.若α∕∕α,α∕∕6,Z√∕/,则∕7∕∕αD.若αβ=a,bua,cuβ,blIc,则a〃6

【正确答案】D

【分析】根据线线、线面位置关系，结合平面基本性质判断A、B、C；根据平面基本性质知人二夕且

c^a,由线面平行的判定、性质有c//“，即可判断D.

【详解】A：alla,allb,则以∕α或bua,错误;

B：ailb,bua,则α∕∕α或∙uα,错误；

C：alla,allb,bllβ,则-M可能相交或平行,错误;

D：由。,尸为两个平面且buα,cu∕7、bile,故且Caa,

由buQ,则c〃a,又αc∕7=α,CU夕，c<χα,则c∕∕”,

所以a〃。，正确.

故选：D

6.ΔABC的三边长分另1」为AB=7,8C=5,CA=6,则ABBC的值为

A.19B.14C.-18D.-19

【正确答案】D

运用余弦定理，求得COSB,再由向量的数量积的定义，即可得到所求值.

【详解】解：由于加=7,BC=5,CA=6,

25+49-3619

则cosB=

2x5x735

则AB.BC=|AB|-|BC∣∙cos（乃-B）

=7×5×（）=-19.

35

故选：D.

本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题.

7.若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆

台的侧面积的比值为（）

A.-B.-C.~D.—

4324

【正确答案】B

【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为2/,利用圆锥侧面的面积公式：S=gx2sx2/即可求

解.

【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为2/,

则该圆锥的侧面积S=LX2πr×2l=2πrl,

2

7*11

截得的小圆锥的底面半径为万，母线长为/,其侧面积

13

而圆台的侧面积S2=S-S1=2πrl--πrl=-πrl.

S∖πrlI

故两者侧面积的比值-l=—=-.

星-πrl3

2

故选:B

8.已知三棱柱ABC-48/。的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为6，

A8=2,AC=I,NBAC=60。，则此球的表面积等于（）

A.8πB.9πC.10πD.1lπ

【正确答案】A

【分析】由AB=2,AC=I,∕BAC=60。可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC

-A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线

与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积.

【详解】由AB=2,AC=I,ZBAC=60o,由余弦定理可得：

BC=7AB2+AC2-2ABAC-cos600=j+l-2x2xIxg=√3,

ʌAC2+BC2=AB2,NACB=90。，二底面外接圆的圆心在斜边AB的中点,

ΛD

设三角形ABC的外接圆的半径为r,贝IJr=等=1,

又SMBC=*AC=；XIx'与,

所以V⅛f=S"18C∙AA/=,所以可得AA/=2,

因为三棱柱ABC-A∣BlCl的侧棱垂直于底面，

所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点,

AA

设外接球的半径为K，贝∣JR2=∖+(守)2=[2+[2=2,

所以外接球的表面积S=4兀R=4π*2=8π,

本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档

题.

9.如图所示，ABC中，BD=2DC,点E是线段AD的中点，则AC=()

3

B.AC=-AD+BE

424

C.AC=-AD+ɪBED.AC=-AD÷BE

424

【正确答案】C

【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出.

.∙.AC=-AD+^BE.

42

故选C.

本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

TT

10.如图，在平行四边形ABCD中，ZBAD=-,AB=2,4）=1,若M、N分别是边4λCD

MDNC

上的点，且满足*=合其中λe[0,1],则启.B翡的取值范围是（）

C.[-1,1]D.[1,3]

【正确答案】A

【详解】建立如图所示的以A为原点，

AB,AD所在直线为X,y轴的直角坐标系，

则B(2,0),A(0,0),D(12,32).

AN-BM=[--2λ,^∖-[----λ,-(∖-λ∖

(22只222'')

「满足=(|-2力()-∣j)+*x争)1-力则

=λ2+λ-3

24

,5八zx31ʌ/ɜʌ/ɜzx

=(—2λ)()------2n)+——X——()1]-λn)

22222

=λ2+λ-3

=")2.U

24

因为λ∈[0,1],二次函数的对称轴为：2=则[0,1]为增区间，故当λ∈[0,1]时,

Λ2+Λ-3∈[-3,-l].

本题选择A选项.

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积

的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应

用.

二、填空题

11.若复数z=5+8i,则F-M=.

【正确答案】13.

【详解】分析：由共辄复数的定义，可求得Z=5-8i;根据复数运算和模的定义即可求值.

详解：根据共朝复数定义5=5-8,，代入得

∣5-8∕-4z∣=∣5-12z∣

=√52+(-12)2

=13

点睛：本题考查了共轨复数的概念，复数模的求法，主要是计算，属于简单题.

12.一艘轮船按照北偏东40。方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20。

方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6石海里，则灯塔与轮船原来的距离为

______________海里.

【正确答案】6

【分析】由题意画出图形，求出相关量，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】记轮船的初始位置为A,灯塔位置为B,

20分钟后轮船的位置为C,如图所示：

C

NC48=180-40-20=120,

BC=6yβ,

在JWC中，由余弦定理得:

AC2+AB2-BC2

cosZCΛB=

2ACAB

22Ξ

6+ΛB-(6√3)1

2x6∙AB~~2

所以解得48=6或4?=一12（舍去），

灯塔与轮船原来的距离为6海里，

故6.

13.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体

积的比值为.

【正确答案】1

【分析】画图分析可得,该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形,进而求得圆柱的底面半径,

进而求得球的体积与圆柱的体积的比值.

432_____

如图有外接球的体积K=I万x23=τ%,圆柱的底面直径d="方=2g,故底面半径〃=石.故圆

柱体积K=π×∖β'×2=6π-

32

故球的体积与圆柱的体积的比值为ɪf=屿.

6π9

,,16

故瓦

本题主要考查了圆柱与外接球的关系,需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行

求解.属于基础题.

14.若等腰直角三角形的直角边长为2,则以斜边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是

【正确答案】生所

3

【分析】依题意可知以斜边所在的直线为轴旋转一周得到两个圆锥拼接而成的图形，其中两圆锥的底

面半径r=√∑,高∕z=√∑,根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】如图等腰直角三角形ABC,。为斜边的中点，则50,AC,

因为AB=BC=2,所以A。=Bo=C£>=&，

以斜边所在的直线为轴旋转一周得到两个圆锥拼接而成的图形，其中两圆锥的底面半径r=应，高

h-5/2，

所以几何体的体积V=2×^πr2h=2xgπχ（夜）×∖∣2=■

故警

s5

15.己知A、B、。、。四点在半径为土的球面上，且AC=8O=5,AD=BC=√4T,AB=CDf

2

则三棱锥。-ABC的体积是

【正确答案】20

【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥O-A3C,计算出长方体的长宽高，即可求得三楼

锥O-ΛBC的体积.

【详解】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥O-ABC,如图所示,

a2+b2+c2=50

则，a~+L=25,解得α=3,b=5,c=4,

b1+c1=41

；•三棱锥f>-ΛBC的体积是Vz=4x3x5-4xgxgx4χ3x5=20

故20.

三、解答题

16.已知向量。=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且〃//人ale.

(1)求向量〃、c；

(2)若"z=2α-6,h=d+c,求向量m,后的夹角的大小.

【正确答案】(Db=(3,6),c=(2,-1)

【分析】(1)由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求*,y,进而可求；

(2)设向量〃的夹角的大小为。.先求出〃?，“，然后结合向量夹角的坐标公式可求.

【详解】(1)解：因为。=(1,2),⅛=(3,x),C=(2,y),且，ale,

所以x-2x3=0,a-c=2+2y=0,

所以x=6,y=τ,

所以％=(3,6),c=(2,-1)；

(2)解：设向量机，〃的夹角的大小为9.

由题意可得，w=2α-fe=(2,4)-(3,6)=(-1,-2),"=α+c=(3,l),

Tx3-2xl√2

所以SM=扁

√5×√iθ2

因为所以，下.

17.在一ABC中，内角A,B,C所对的边分别为α,b,c.已知6sinA=ɑeos(B-J

(1)求角B的大小;

(2)设A=2,c=3,求。和sin(2A-8)的值.

【正确答案】(I)g;(∏)⅛ɪ√7,ɪ.

314

【详解】分析：(I)由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得37B=√5,则8=(.

(H)在AABC中，由余弦定理可得反√7.结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

sin{2A-=~^-∙

详解：(I)在AABC中，由正弦定理二=一七，可得bsinA=OSinB,

sinAsinB

又由bsinA=acos(B-已)，得asinB=acos(B-弓)，

即sinB=cos(3-仁J,可得ta∏B=石.

又因为5∈(0,π),可得B=g∙

(II)在AABC中，由余弦定理及α=2,c=3,B=y,

⅛'b1=a1+c1-IaccosB=7,故b=币.

由bsinA一擀√ξ2

=αcos(BJ,可得=因为α<c,WCoSA=.

因此sin2A=IsinAcosA=，cos2A=Icos2A-1ɪɪ.

77

所以，sin(2A-B}=sin2AcosB-cos2AsinB=生8χJ__J_X立=£E

727214

点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边

的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公

式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

18.如图，在菱形ABC。中，BE=LBC,CF=2FD.

2

EF=xAB+yAD,求3x+2y的值;

(2)若IABl=6,ZBAD=60°,求AC∙EP.

【正确答案】（I）-I

(2)-9

12

【分析】（1）由题意可知EF=eAO-1A5,即可求解；

ɪ2

（2）AC=ABAD从而AC∙E尸=（AB+AQ）・（5AO—1A3）即可求解.

【详解】Q）因为在菱形ABCD中，BE=；BC,CF=2FD.

12

故EF=EC+CF=-AD一一AB,

23

21

故x=-J=9所以3x+2y=-l.

32

⑵显然AC=AB+A∕),

12

所以AC∙EF=(AB+AZ))∙(-4)——AB)

23

22121…

=——AB+-AD——ABAD①，

326

因为菱形ABC。，且IABI=6,ZS4Z)=6()0,

故IADl=6,(A反型=60。.

AB∙AD=6×6×cos60o=l8∙

故①式=—×6^H—×6^—×18=-9.

326

故AC∙EF=-9∙

19.鳖膈是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼.如图，三棱锥A-88是一鳖膈，其

中AB工3C,ABYBD,BCLCD,ACA-CD,且高4B=3√∑,BC=√2CD=√6.

(1)求三棱锥A-BCO的体积和表面积；

(2)求三棱锥A-Bco外接球体积和内切球的半径.

【正确答案】(1)匕一seo=3,表面积为90+3月

(2)外接球体积为二叵，内切球半径为3后一6

25

【分析】U)利用公式可求体积及表面积.

(2)利用补体法可求外接球的半径，从而可求外接球的体积，利用等积法可求内切球的半径.

【详解】Q)由题设可得CD=而三棱锥的高为AB=3√∑,

三棱锥A—BCO的体积匕γco=(sMiCSB=；XgX指XGX30=3,

XΛC=√18+6=2√6,

三棱锥A-BCD的表面积S=SBCD+SABC+SACD+SABD

=逑+3^+3亚+逑=9&+3"

22

(2)由条件知，可将三棱锥A-BCD补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，因

此长方体的外接球也为三棱锥的外接球.即为三棱锥外接球的直径.

因为AO=3W,所以三棱锥A-38外接球体积为竽J=之弃.

记内切球的球心为0,连结。A,OB,0C,0D,得到四个等高的三棱锥,

且该高为内切球的半径厂,则^A-BCD=^O-ABD+^O-ACD+^O-ABC+^O-BCD，

得匕-BCLg∙S"=gx(9√∑+3G)"=3,

所以r=3点-有,

5

故三棱锥A-BCD内切球的半径为30一e.

5

..ɑ.iB3bc

20.在JlBe中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,J且bs∏2Γκ+csιnK=

444IUIVILtI

(1)求角A的大小；

(2)若c>α,求〃?="的取值范围.

C

【正确答案】(1)A=p(2)l<w<2.

【分析】(1)利用降基公式化简，再根据余弦定理即可求解；

,y/3I9

(2)根据正弦定理及三角恒等变换机=~可化为―C+I,结合4<C<g即可求出m的

c2tan—33