旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第七章不等式第2讲一元二次不等式的解法

第2讲一元二次不等式的解法

下础知识整不I

□知识梳理

1.一元二次不等式的解法

(D将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数回大于零的不等式a√+⅛+c>O(a>O)

或ax+bχ-∖-c<0(a>0).

(2)计算相应的图判别式.

(3)当园/20时,求出相应的一元二次方程的根.

(4)利用二次函数的图象与X轴的四交点确定一元二次不等式的解集.

2.三个二次之间的关系

判别式4=bz-4acJ>0Zl=OZl<0

-ɪɪɪ

二次函数y=ax-∖-bx

+c(a>0)的图象Λ,Ψ∕Λ-2*

有画两相等实根Xl=

一元二次方程a√+有画两相异实根汨，

b画没有实数根

ZuH-C=O(GO)的根X2{X∖<X2)

Xz=F

ax+bx+c>0(a>0)

{x∣画X>型或X<Xι}{x∣画X≠Xι}回R

的解集

ax+bx+c<0(a>0)

{x∣[ΞlX1<jKX2}圜0回。

的解集

知识拓展

1.aχ2+°χ+c>0(aW0)恒成立的充要条件：a>0且4—4a*0(x∈R).

2.aχ2+5x+c<0(a≠0)恒成立的充耍条件：水0且4wc<0(x∈R).

□双基自测

1.不等式2f—X—3>0的解集为()

Λ.∖x-KX^I

B.∖xW或水一11

C.

D.卜卜刀或大一提

答案B

3

解析2f—x—3>0=(x+l)(2x—3)>0,解得x>,或矛<—1.,不等式2χ-χ-3>0的解

集为卜x〉5或K-I1，故选B.

2.(2022♦武汉模拟)设集合4={x,-χ-2<0},6={X∣0<Λ<3},则力∩6=()

A.(-1,2)B.(0,2)

C.(-1,3)D.(0,3)

答案B

解析由V-χ-2<0得一1<水2,即4={X∣-1<Λ<2},又加={x∣0<Λ<3},所以4∩6=

U∣0<Λ<2}=(0,2),故选B.

3.关于X的不等式f+0χ-2<0的解集是S,1),则p+<7的值为()

A.—2B.—1C.1D.2

答案B

解析依题意，得Sl是方程*+2汗一2=0的两根，q+∖=-pf即夕+q=—1,故选

B.

Y—4

4.(2021•广西梧州模拟)不等式厂了〈0的解集是()

S~ΔX

A.{x∣K4}B.{X∣3<Λ<4}

C.{x或x>4∣D.卜^<Λ<4∣

答案C

解析不等式胃~〈0等价于4)>0,所以不等式的解集是［*X弓或x>4；.故选

3—2X∖Zy(2J

C.

5.若关于X的不等式aV+2x+2>0在R上恒成立，则实数3的取值范围是.

答案4+8)

解析当a=0时，原不等式可化为2x+2>0,其解集不为R,故a=0不满足题意，舍

a>0,1

去；当a≠0时，耍使原不等式的解集为R,只需Lo2小解得a〉》综上，所求实

I/=2--4X2a<0,2

数a的取值范围是g,+8)

核心考向突破I

考向一一元二次不等式的解法

例1解下列关于X的不等式：

(l)0<^-^-2≤4;

(2)ax~(a+1)%÷1<O.

解(1)原不等式等价于

卜2—x—2>0,ʃʃ—ʃ-2>0,

∖x-X-2≤4X—X—6≤0

[(χ-2)(x+l)>0,[x>2或水一1,

0V="

I(A--3)(x+2)Wo[-2≤A-≤3.

借助于数轴，如图所示，

,—口____

-2-10123

故原不等式的解集为U∣-2≤K-1或2<xW3}.

(2)原不等式化为(ax—1)(x—1)<0∙

①当a=0时，解不等式，得x>l;

②当O<a<l时，解不等式，得1<K~;

a

③当a>l时，解不等式，得[〈求1；

④当a=l时，不等式无解；

⑤当a〈0时，不等式化为卜一3(x—1)>0,

解不等式，得Xd或x>L

a

综上所述，当a=0时，不等式的解集为5∣%>1};

当0〈水1时，不等式的解集为*l<%<∣j';

当a>l时，不等式的解集为卜IK^<Λ<∙⅛;

当a<0时，不等式的解集为卜I水[或x>"；

当a=l时，不等式的解集为。.

1.解一元二次不等式的一般方法和步骤

(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.

(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的

解集为R或0)∙

(3)求：求出对应的一元二次方程的根.

(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.

2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法

(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然

后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.

(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式4与0的关系.

(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确

定解集形式.

1.解不等式：(1)—2f—7x-3>0；

(2)%—(才+力/+才>0.

解(1)原不等式可化为2√+7^+3<0,

Λ(2%+l)U+3)<0,解得一3<K-1∙

•••原不等式的解集为bJ—3<K一斗.

(2)原不等式化为(x—a)(x—a?)〉。，

①当a2—a>0,即a>l或a<0时，

解不等式，得x>4或水a；

②当成一水0,即0〈水1时,

解不等式，得求才或x〉a；

③当a“一a=0,即a=0或a=l时，

解不等式，得x#a.

综上①②③得，当a〉l或a<0时，不等式的解集为3x>a2或水司；

当0<a〈l时，不等式的解集为｛x∣Ka。或x>a｝；

当a=0或a=l时，不等式的解集为｛x∣xWa｝.

考向二三个二次的关系

例2(1)(2021•云南玉溪模拟)若不等式a∕+⅛+c>0的解集为(-4,1),则不等式

8(/—1)+@(矛+3)+60的解集为()

Ao)

B.(-8,1)Ue，+ooj

C.(-1,4)

D.(—8,—2)U(1,+∞)

答案A

解析由不等式aV+gx+cX)的解集为(―4,ι),知水O且一4,1是方程d*+8χ+c

hC

=O的两根.—4+1=,且一4XI=-，即6=3a,c=-4a则所求不等式转化为3a(x

4

—1)+a(x+3)—4a>0,即ɜɪ÷χ-4<0,解得一可<KL故选ʌ.

O

(2)若关于X的不等式ax>6的解集为(一8,ɪj,则关于X的不等式ay+⅛-∣a>0的解

集为.

答案I，

解析由ax>，的解集为(一8,ɪj,可知水0,且将不等式aV+bx—ga>O两边同

a55

时除以2得/+'x—J<0,所以f+'才一3<0,βp5/÷ɪ-4<0,解得一1<底\,故不等式aV

a5555

+——ga>O的解集为(一1,I

I触类旁通.已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根,

由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正

负.

即时训练2.(2021•衡阳一中期末)关于X的不等式f-2ax—8a2<0(a>0)的解集为

(汨，X2),且X2—x∣=15,则8=()

5n7八15、15

A.-B.-C.-j-D.-

答案A

2

解析由条件知Xι,X2为方程χ-2aχ-8a=0的两根，则x↑+x2=2a9XiX2=-Sa.故(热

5

2222

-χι)=(ɪι÷x2)"-4xιx2=(2a)—4×(—8才)=36a=15,得a=]∙故选A.

3.若？+a+※。的解集为［x一5<l<小则不等式g∕+”+l>0的解集为.

答案{x∣—2<x<3}

解析∙"+°χ+g<o的解集为1一3<χ<;|,是方程V+,*+,=的两实数根,

flI

\3-2=~P，

由根与系数的关系，得Jɪ

OCIel

.∙.j，不等式QX-+px+l>O可化为一己牙+^x+1>0,即X—%—6<0,—

［T∙

2<x<3.I.不等式qx+p^+l>O的解集为{x∣—2<x<3}.

考向三分式、高次不等式的解法

X—1

例3(1)不等式号∙W0的解集为.

答案f

V—1(ɪ-l)(2x+l)WO,

解析由云不γW0,得

2Λ÷1≠0,

解得一於WL则原不等式的解集为「也1

2

(2)(2021•广东深圳二调)不等式x+12;的解集为.

答案［-2,O)U［1,+∞)

解析由x+l24,得χ--+l≥0,即•'"20,即--------J20,得

XXXX

X(X—1)(x+2)20,

由数轴穿根法，得一2Wx<0或x>l.故原不等式的解集为［-2,

Xr0,

0)U[1,+∞).

触类旁通］解分式、高次不等式的方法

(1)分式不等式与一元二次不等式的关系

X—a(X-H)(χ-b)20,

200

χ-bχ-bWO；

χ-a(x—a)(%—⅛)≤0,

≤0<≠>'

x-bχ-Δ≠0.

(2)高次不等式的解法

一般使用数轴穿根法：

①标准化：通过移项、通分等方法将不等式化为左侧为未知数的整式，右侧为0的形式；

②分解因式：将标准化的不等式的左侧化为若干个因式(一次因式或高次不可约因式)的

乘积，如(X-M)(X—就…(X-%,)>0的形式，其中各因式中未知数的系数为正;

③求根：求（X—汨）（万一拘）…5—弱）=0的根，并在数轴上表示出来（按从小到大的顺序

标出）；

④穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要注意经过偶次根时应从数轴

的一侧返回这一侧，经过奇次根时应从数轴的一侧穿过，到达数轴的另一侧；

⑤得解集：若不等式（未知数的系数均为正）是“>o”，则找“线”在数轴上方的区间：

若不等式（未知数的系数均为正）是“<0”，则找“线”在数轴下方的区间.

即时训练4.不等式3—2〈x的解集为

X--------

答案（O,1）U（2,+8）

99

解析由3—得x+;-3>0,

即V-3x+2>0,即(Ll)(L2)

>0,

XX

∖x（X—1）（X—2）>0,

得由数轴穿根法，得0〈水1或X>2,故原不等式的解集为（0,

[x≠0λ,

1)U(2,+∞).

5.（2022•安徽淮北一模）不等式∖+ι,”式的解集为

答案(一3,-DU(2,+∞)

..-,χ-∖^2x~5X-∖-X-6(X-2)(x+3)

解bji析由F->1'得7一即一不一

(x+l)(X-2)(x+3)>0,

得由数轴穿根法，得一3<次—1或x〉2,故原不等式的

x+l≠0,

解集为(-3,-1)U(2,+∞).

精准设计考向，多角度探究突破

考向四一元二次不等式恒成立问题

角度形如f（x）N0（χeR）

3

例4（1）（2022•安阳一中期末）若一元二次不等式雅/+我一/。对一切实数X都成立,

O

则A的取值范围为（）

A.（-3,0]B.[-3,0）

C.[-3,0]D.（-3,0）

答案D

解析设f（x）-λekx-∖-kχ--,因为2kV+"x—3〈0为一元二次不等式,所以k≠0.又λekx

OO

ɜ3

+M—W<0对一切实数X都成立，即函数∕∙(x)=24f+履一$的图象全部在X轴的下方，则有

OO

2A<0,

(3、解得一3<衣0.

J=⅛2--4×2A∙×I--∣<0,

(2)若关于X的不等式(a—2)√+2(a-2)%-4<0对一切实数X恒成立，则实数a的取值

范围是()

A.(—8,2]B.(—8,—2)

C.(-2,2)D.(-2,2]

答案D

∣a<2,

解析当a=2时，-4<0恒成立；当a#2时,14(a-2)2-4(a—2)X(-4)<0,解

得一2〈a<2.综上，实数a的取值范围为-2〈a<2.故选D.

角度形如f(x)N0(χW[a,⅛])

例5(1)(2022•江西南昌模拟)已知函数F(X)=*+质-1,若对于任意xW[如卬+1],

都有f(x)<0成立，则实数加的取值范围为(

答案D

f(m)=2iθ,亚

解析对于任意xW[/，®+l],都有f(x)<O,所以

f(∕n+1)=2m+3zw<0,2

〈冰0,即实数m的取值范围是I乎,。)

(2)已知xe[—1,1]时，f(x)=f—aχ+∕θ恒成立，则实数a的取值范围是()

Λ.(0,2)B.⑵+∞)

C.(0,+∞)D.(0,4)

答案A

解析二次函数图象开口向上，对称轴为x=∙∣.XG[-1,1]时，F(X)=V-ax+5>0恒

OO2

成立，即F(X)Inin>0.①当,W—1,即2时，F(X)min=f(-1)=l+a+]>0,解得公一

与aW-2矛盾；②当券1,即心2时，f(x)∏,in=∕(l)=1—a+^>0,解得水2,与启2矛

盾；③当一1寸<1,即一2〈水2时，HX)用=∖∣∙+∕θ,解得0<a<2.综上可得，实数

a的取值范围是(0,2).

角度形如Hx)20(参数"∈[a,⅛])

例6(2022•保定二中月考)若对任意的R∈[—1,1],函数/'(*)=*+(勿一4)*+4—

2加的值恒大于零，则X的取值范围是()

A.(1,3)

B.(―∞,1)U(3,+∞)

C.(1,2)

D.(―∞,1)U(2,÷∞)

答案B

解析F(x)=/+()-~4)x+4—2应=(X—2)卬+/—4x+4.当x=2时，f{x)=0,不符合

题意；当x>2时，(χ-2)∙(-1)+X-4A-+4>0,得X>3；当x<2时，(χ-2)∙l+χ-4x+

4>0,得矛〈1.综上，水1或x>3.故选B.

I触类旁通,一元二次不等式恒成立问题的求解思路

(1)形如f(x)》O(X∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来

求解.

(2)形如F(x)20(x∈[a,6])的不等式确定参数范围时，可根据函数的单调性求其最小

值(或最大值)，从而求参数的范围.

(3)形如F(x)20(参数∕∈[a,切)的不等式确定X的范围时，要注意变换主元，一般地，

知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.

厂即时训练6.若不等式组HTL3W0,

[X+4χ-(1÷a)≤0

的解集不是空集，则实数a的取值范围是()

A.(—8,—4]B.[-4,+∞)

C.[-4,20]D.[-40,20)

答案B

解析根据已知I,可转化为当一1WxW3时，存在照£[—1,3],使得χ-∖-∖χ-(l+a)≤0.

令F(X)=X2+4X—(1+H),易知函数在区间[―1,3]上为增函数，故只需函数的最小值f(一

1)=-4—a<0即可，解得a2—4.

ab

7.在R上定义运算：=ad—be,若

cd

χ-∖a—2

21对任意实数X恒成立，则实数d的最大值为()

a+1x

AT3

B.

2

13

C.D.

22

答案D

x—1a—2

解析由定义知，l21等价于X一才一（才一a—2）21,ʌɪ—x+l≥a—a

a÷lx

Qɜ313

+τ≥T,.,.52-a≤τ,解得一5≤d≤5,则实数a

HZiqzι乙乙

的最大值为∣∙故选D.

8.对于满足∣a∣W2的所有实数a,使不等式*+ax+l>2x+a成立的X的取值范围

为.

答案(一8,—1)U(3,÷∞)

解析原不等式转化为(x~~l)a+f—2x+l>0,设f(a)=(x—l)a+f-2x+l,则F(a)

f∕∙(-2)>0,∫√-4%+3>0,x>3或K1,

在［-2,2］上恒大于0,故有…、、八即解得所以*〈一1

/(2)>0,U2-ι>o.x>l或水一1,

或x〉3.

自主培优（十）分类讨论思想在不等式中的应用

（2022•上海金山区模拟）已知关于”的不等式3万一才一4）（矛-4）>0的解集为/,且力中

共含有〃个整数，则当“最小时，实数a的值为（）

A.1B.-1C.2I）.-2

答案D

解析已知关于X的不等式（ax—a°—4）（χ-4）>0,①当a<0时，*一。+号（χ-4）<0,

其中a+:<0,故解集为（a+：,4）,由于a+：=—（―a—（一a）-j=-4,当

444

且仅当一a=—,即a=—2时取等号，所以a-∖■一的最大值为一4,即当且仅当ad■一=—4时，

aaa

4中共含有的整数个数最少，此时实数a的值为一2；②当a=0时，-4（*-4）>0,解集为（一

8,4）,整数解有无穷个，故a=0不符合条件；③当a〉0时，了一（a+：）（x—4）>0,其中

a+⅛4,故解集为（-8,4）u（a+:+∞j,整数解有无穷多个，故a>0不符合条件.综

上所述，a=-2.

答题启示

若未知数的系数中含有参数，一般采用分类讨论思想解决问题，如本题中需要分a〈0,a

=0,a>0三种情况进行讨论，特别是水。的情况下，将二次项的系数化为1时，切记不等号

的方向要改变.

对点训练

若关于X的不等式(a+l)x+aW0的解集是[—4,3]的子集，则a的取值范围是

()

A.[-4,1]B.[-4,3]

C.[1,3]D.[-1,3]

答案B

解析原不等式等价于(χ-a)(χ-l)≤0,当a<l时，不等式的解集为[a,1],此时只要

a2一4即可，即一4Wa〈l；当a=l时，不等式的解为x=l,此时符合要求；当a>l时，不

等式的解集为[1,同，此时只要aW3即可，即kaW3.综上可得，-4WaW3.故选B.

1.下列不等式中解集为R的是()

A.—X+2Λ+1B.Λ-2√5A-+√5>0

C.x"+6x+10>0D.2√-3x+4<0

答案C

解析在C项中，对于方程V+6χ+10=0,zl=36-40=-4<0,所以不等式的解集为

则不等式(x-0)(x-0<O的解集为()

2.(2021•黑龙江大庆中学模拟)若。〈欣1,

C.∖xx>ni^x<-∖

D.卜∕n<K-(

答案D

解析当(K欣1时，水：，故不等式(工一为)(%一∙^<0的解集为卜水水W

3.函数〃x)=Y(-∕+4*-3).的定义域是()

A.(―∞,1)U(3,+∞)

B.(1,3)

C.(―∞,2)U(2,+∞)

D.(1,2)U(2,3)

答案D

—Y÷4χ-3>0,l<x<3,

解析由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)U(2,3).

—X+4%-3≠1,x≠2,

故选D.

4.若集合4={x，—x〈o},6=3J—a)(χ+ι)<o},则“a>l"是'"C屏。”的()

Λ.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由题意得∕={x∣O<水1},因为/n肝。,所以只需要满足条件a>O即可,所以“a>l”

是“∕∩原0”的充分不必要条件.

5.(2022•长春一中月考)不等式/一2了+或0对一切实数X恒成立的充要条件是()

A.πi>2B.0<ΛK1

C./»>0D.7»>1

答案D

解析若不等式2x+zo>O对一切实数X恒成立，则对于方程*2—2X+∕B=0,4=4

-4成0,解得加>1,所以勿>1是不等式x2—2x+m>0对一切实数X恒成立的充要条件，故选

D.

6.(2021•郑州一中模拟)已知关于X的不等式岩上0的解集是(一8,-1)+∞j,

则a的值为()

1

A.-1B.-C.1D.2

答案D

解析由题意可得a≠0且不等式等价于a(x+l)f%-⅛O,由解集的特点可得a>0且［=

I，故a—2.故选D.

7.（2022•九江一中月考）不等式（才一4）/+（4+2）不一120的解集是空集，则实数a的

取值范围为（）

A-口（）B,[-2,I）

「C6]「6、、

C.-2,TD.-2,τUf{2}

L5JLə/

答案B

解析当a=2时，不等式变为4*一120,解得x》；，不符合题意；当a=—2时，不等

4

式的解集为空集；当aW±2时，不等式（才-4）V+（a+2）χ-120的解集是空集，即（才一

4)∙+(a+2)χ-l<0恒成立.

ja~4<0,解得一2〈《综上可知,

14=(a+2)2+4(a2-4)<0,实数a的取值范围是

—2,。故选B.

8.已知不等式ax+bx+2>0的解集为{x∣—1<K2},则不等式2X'+⅛Y+水0的解集为

()

A.[x

B.{x求-1或

C.U∣-2<K1}

D.{x∖x<-2或%>1}

答案A

解析由题意，知x=-l,X=2是方程5√+⅛+2=0的两实数根，由根与系数的关系,

，不等式2χ2+6χ+a<0,即2f+χ-1<0,解得一1‹水;，

故选A.

9.（2021・四川广元诊断考试）若关于X的不等式χ2-ax+lW0的解集中只有一个整数,

且该整数为1,则H的取值范围为（）

A∙2,万）B.（2,-

C._2,-D.(2,，

答案A

,[/(1)WO,5

解析令f(x)=χ2-aχ+ι,则f(0)=l>0,由题意可得解得2Wa<j

[f(2)>0,乙

10.设实数a∈(l,2),关于X的一元二次不等式χ2-(J+3a+2)x+3a(a2+2)<0的解

集为()

A.(3a,a2+2)B.(a2+2,3a)

C.(3,4)D.(3,6)

答案B

解析由X—(a'+3a+2)x+3a(d+2)<0,得(X—3a)(x—a—2)<0,'.*a∈(1,2),

3a>a"'+2’.∙.关于X的一元二次不等式χ-(a^÷3a÷2)x+3a(a'+2)<0的解集为(才+2,3a).

故选B.

11.已知函数F(X)=X'+ax+6(a,6GR)的值域为[0,+∞),若关于X的不等式Jf(X)

的解集为(勿，m+6),则实数C的值为()

A.3B.6C.9D.12

答案C

z协2

aγ

解析由题意知f(x)=ɪ+ax+-(-÷fJ+6—∙.∙f(x)的值域为[0,+∞),∙'∙⅛-'ɪ

=0,即Z>=-j,.∙.f(x)=(x+]].又f{x)<c,Λ<c,即一彳一,<x〈一楙+

-^-y[c=∕n,①

{-^+-∖[c-∕n+6.②

②一①得2√∑∙=6,.∙.c=9.

12∙(2。21.浙江绍兴二模)已知&4CGR,若关于X的不等式°Wx+:+猿的

解集为［司，MU㈤(%>J½>XI>O),则()

A.不存在有序数组(a,b,c),使得加一为=1

B.存在唯一有序数组(a,b,c),使得及一为=1

C.有且只有两组有序数组(a,b,c),使得*2—m=1

D.存在无穷多组有序数组(a,b,c),使得及一为=1

答案D

解析因为不等式0Wx+［+6W,-l的解集为［xι,用］U｛蜀｝(x3>X2>xι>0),所以OW/

+Ax+aWc—X在x∈［汨，用］U｛'｝上成立，假设Xi=R,入2=m+1,矛3=〃，根据不为一个独

立的数得出，c-n=ιf+bn+a=Ot所以刀=c,且〃/+1与〃为方程/+—+a=。的两个根，

2

所以一Z?=/z?+〃+l=m+c+l,a=∕nn+n—mc~∖-cf所以b=-m—c—1,且点(x∣,x］+bx↑+

a)为y=x+bχ-∖-a与y=c-χ的左交点，所以m+bm+a=c-m,所以勿,+bπι+a=m—m—

mc-∕n+ιnc+c=c-in,所以。一加=C一加恒成立，所以不论小b,C取何值，也一汨=1恒成

立，即存在无穷多组有序数组(a,b,c),使得X2—乂=1,故A,B,C错误，D正确.故选

D.

13.不等式2步-3|削一35>0的解集为.

答案｛x|K—5或x>5｝

解析2♦—3lɪl-35>0<=>2I%Γ-31x∣-35>0=(∣x∖-5)(2|x∣+7)>0=∖x∖>5或|水一

7

］(舍去)=x>5或X—5.

14.若不等式f+wχ-2<0在区间［1,5］上有解，则a的取值范围是.

答案(一8,1)

解析不等式V+ax—2<0在区间［1,5］上有解，即水：一才，χW［l,5］有解，令g(x)

2

=I-M则