2023届高考数学二轮复习函数典型例题 第1讲 函数的定义 含解析

第1讲函数的定义

典型例题

【例1】求下列函数的定义域.

(1)y=∖J-x2+3x-2(2)y=立+：

x-1

【答案】⑴[1,2];⑵[―3,l)u(l,+e)∙

【解析】(1)因为y=，一/+3x—2,所以-f+3x—2..O,解得1颈k2,

所以函数3=[-"+3%-2的定义域为[1,2].

故答案为[1,2].

-iJx+3X+3..0,

(2)因为y=ɔ~所以ιC解得-3,,x<l或x>l,

ɪ-l[x-l≠0,

所以函数y=立学的定义域为[-3,l)u(l,+e).

X-I

故答案为[一3,1)=(1,+“).

【例2]求解下列各题.

⑴已知函数y=f(χ)的定义域为[0,1],求函数y=y(V+ι)的定义域;

(2)己知函数y=r(2x—1)的定义域为[0,1],求函数y=∕(x)的定义域;

⑶已知函数y=f(x)的定义域为[0,2],求函数g(x)=O的定义域.

【答案】(1){0};(2)[-1,1];；(3)θɪjulɪ1

【解析】⑴因为y=/卜2+1)中的/+1的取值范围与y=/(χ)中的X的取值范围相同,

所以0领F+lI,得X=O,即y=/(/+])的定义域为{0}.

(2)由题意知y=∕(2x-l)的定义域为[0,1],所以一掇心:一11.

又y=/(2x-l)中2x—1的取值范围与y=/(x)中的X的取值范围相同,

所以y=∕(χ)的定义域为[τ,ι]∙

(3)因为y=/(X)的定义域为[0,2],⅛2x∈[0,2],=⅛»1,

所以y=∕(2x)的定义域为[0』.

又2x—1≠0,BPX≠—,

2

所以g(χ)的定义域为0,g)ug,ι.

【例3】(多选题)下列各组函数中，/(x)与g(x)是同一函数的是()

A./(x)=X2—2x-1与g(s)=s~-2s—1

B./(无)=λ∕^p^与g(x)=xj^

c∙“X)=：与g(x)=3

D.F(X)=X与g(χ)=4r

【答案】AC

【解析】对于AJ(X)=X2—2x—1的定义域为R,g⑸=$2-2s-1的定义域为R,定义域相同,对应关

系也相同,是同一函数.

对于BJ(X)=√≡?=-x口的定义域为何％,0},g(x)=XQ的定义域为{x∖x,,0),定义域相同,

对应关系不同,不是同一函数.

Y1

对于CJ(X)=—=1的定义域为{χ∣X。0},g⑴=F=1的定义域为{x∣x≠0},定义域相同,对应关系

XX

也相同,是同一函数.

对于Dj(X)=X的定义域为R,g(x)=J?=忖的定义域为R,对应关系不同,不是同一函数.

故选AC.

【例4】根据所给条件求下列各函数的解析式.

⑴己知对任意非零实数X,均有/(叶口=f+3,求/(χ)的解析式;

(2)已知〃力是一次函数，且满足3∕(X+1)-2∕(X-1)=2Λ÷17,求〃力的解析式;

(J=3x,求/(x)的解析式.

(3)已知对任意非零实数X,均有2∕(x)+f

【答案】⑴/(x)=f-2(x∙∙2或％,-2);

(2)f(x)=2X+7;(3)/(X)=2x--(x≠0).

X

【解析】(I)因为(无+，]=√+4+2,

∖XJX

√+1,r+∩∖2

XIX)

所以/(xH—)=(xH-2,

令，=*+」,由双勾函数的性质得&-2或2,

尤

所以/«)=产_2,

因此"(x)=χ2-2(不，-2或X..2).

(2)设/(x)="+。(左H0),

则3∕(x+l)-2∕(x-l)=3[k(x+l)+b]-2pl(x-l)+b[=6+6+5Z=2x+17,

k=2,k=2,

所以"5-7解得

b=7,

因此,J.(x)=2x+7.

2∕(x)+/=3x,

(3)将ɪ代人等式2/(力+/G)=3x得2/+/(x)3

=士,联立(a变形得

X

“x)+2∕

解得/(x)=2X-L(X≠0)

【例5】(多选题)己知函数/(x)=∣I0g2X的值域是[0,2],则其定义域可能是()

A.4B.-AC.2D.-,2

F4Γ2

【答案】BC

【解析】由/'(X)=2得log?》=±2,即X=4或;,从而X在4,；中至少取一个,定义域为；,4的子集,且

定义域内必须包含x=l,则A不可以,B可以,C可以,D不可以,故选BC.

【例6】已知集合〃={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系⑴y=d,(2)y=JH-1,(3)y—x-1,

⑷>=|乂，其中能构成从M到N的函数的是

A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

【答案】D

【解析】对应关系若能构成从M到N的函数,应满足:对M中的任意一个数,通过对应关系在N中都有唯

一的数与之对应.

⑴中,当X=4时,y=42=16eN,故⑴不能构成函数;(2)中,当X=—1时,y=T+1=0eN,故(2)不能构

成函数;(3)中,当X=T时,y=-1-1=一2£N,故(3)不能构成函数;⑷中,当X=±1时,y=W=1eN,当

》=2时,丁=忖=2£77,当》=4时,丁=忖=4£乂故(4)能构成函数.

故选D.

QrTχ<Za

【例7】己知函数/(%)=<''如果函数/(x)满足对任意的m∈(τo,α),都存在

[-x~+2a,x..a.

ne(a,+“)，使得/(m)=/(〃)，则称实数4为函数/(x)的“包容数”.在⑴一；，⑵；，(3)1，⑷

3

√2,(5)5中，函数/(九)的“包容数”是.(填序号)

【答案】(2)(3)

【解析】当X<α时,/(x)=2∙v^l为增函数,则/(X)=2∙t^'∈(0,2o^').

设函数“X)在区间(α,+⑹上的值域为。,由题意可得(0,2"TkD

分以下两种情况讨论.

①当“<O时,函数/(x)=2α-Y在区间(a,0)上单调递增,在[0,+巧上单调递减,此时，

D=(-8,2a],(0,20^')<z(-∞,2a],不合题意.

(ii)当a.0时,函数/(x)=2α-d在区间(q+8)上单调递减,此时。=(yθ,2α-α2),由(0,2"T)三。，

可得2"T,,2α-q2.

Ij3

a=——不合题意,a=-,a=∖满足不等式21„2a-a2,a=42,a=-不满足不等式2a-',,2a-a1.

222

因此,函数/(x)的“包容数”的序号为(2)(3).故答案为(2)(3)∙

【例8】己知函数/(x)的定义域为R,且满足/(x+l)=∕∙(x-1),〃1一力Ha)=1,则/(x)的一

个周期为，/(x)的一个解析式可以为.

【答案】2/(X)=；+COSG:(答案不唯一)

【解析】因为/(x+l)="x-l),所以/(x)=∕(x-2),

/(X)的一个周期为2.

因为〃l-x)+∕(x)=l,所以函数的图象关于点对称,满足图象关于点S对称以及一

个周期为2的函数可以为"X)=；+CoS乃尤.

故答案为2"(尤)=；+CoSG.(答案不唯一)

[例9]某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始从池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度

向池中注水.若f小时内向居民供水总量(单位吨)为10()而(嗫出24),则每天何时蓄水池中的存水量最

少？

25

【答案】t=—,

O

【解析】设“`时后,蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60f-Iooa,其中喷1:24,令

〃=JF€[0,2&],则y=60M2-100√6w+400,所以当u=一一ɪθɑ^=三£时,y取最小值,此时，

L」2×606

”国=竺

I6J6•

25

因此,当r=L时,蓄水池中的存水量最少.

6

【例10】已知函数/(X)=尤2+*+q与函数/(/(/(⑼)有一个相同的零点，则/⑼与41)

()

A.均为正B.均为负C.一正一负D.至少有一个等于0

【答案】D

【解析】设两函数的相同零点是X。，

即/(/(/(尤O)))=/(⅞)=o,注意到/(0)=q,∕(ι)=ι+p+%∕(q)=∕+pq+4,

则/(/(/(∙⅞)))=∕(/(O))=/M)=∕+pq+q=∕(0)∕(l)=0,即/(0)与/(1)至少有一个等于

0.

故选D.

【例11】如果几个函数的定义域相同，值域相同，但解析式不同，就称这几个函数为“同域函数函数

y=√7≡T-√2≡7的值域为；与y是“同域函数”的一个函数的解析式为.

【答案】[-1,1];y=2-3,xe[l,2](答案不唯一)

【解析】因为V=,所以x∙∙l且不,2,所以函数的定义域为[1,2].

下面求函数y的值域,不妨先求y2的值域，

令/(χ)=V=1-27(-r-1)(2^-r)，

再令g(x)=(x-1)(2-力,x∈[l,2],

则g(x)eθɪ,从而得出/(x)∈[0,l],

所以y∈[-U].

满足定义域为[1,2]且值域为[一1,1]的函数均符合题意,例如y=sin(2^x),x∈[l,2],或

-xw[l,2]或y=3~2,xw[l,2].

故答案为：：[一1』；丁=2'-3,%£[1,2](答案不唯一)

【例12】给定实数4,设函数/(X)=