高考数学模拟试卷

高考数学模拟试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、填空题(共11题，共55分)

xx+a,x≥a

∕∙(χ)=,2~-^

1、已知函数忖+x+3%x<-α∙记/1={x∣f(x)=0},若力n(→o,2)≠0,

则实数°的取值范围为.

【考点】

［答案］(_8，4

【解析】

由题意，条件可转化为函数/"(幻=’一氏+。1+2。，在(一8,2)上存在零点，转化为函数

g(X)=F与MX)=IX+α∣-20的图象有交点的横坐标在(一8，2)上，利用数形结合法求解即可.

由题意，条件可转化为函数，在上存在零点，

所以方程,=卜+fl∣-2α有根，所以函数与的图象有交点的横坐标在上，

所以函数的图象为顶点(一4-2a)在直线V=2x上移动的折线，

111

如图所示，可得2°≤5,即不，所以实数°的取值范围是(-

2、在平面直角坐标系x°y中，已知直线1：3x—4y+5=0与圆Uχ2+y2γ0χ=0交于力而两点，P

为”轴上一动点，则ZL4BP周长的最小值为.

【考点】

【答案】14

【解析】

II

由题意，设直线/与圆C的一个交点B(5,5)关于X轴的对称点为8,得恰为圆的直径，进而得到

PA+PB=PA+PB≥ABt即可求解周长的最小值.

设直线与圆的一个交点关于轴的对称点为，易知恰为圆的直径,

f

记AB与X轴交于点Q,则,

所以的周长的最小值为AB+AB,

∣3×5+Sl

d=J=4

又由点到直线的距离公式可得，圆心到直线3尤-4)，+5=°的距离为+(-42),

所以由圆的弦长公式可得MBI=2^R2-d2=2√52-42=6

又在直角ABB中，1月Bl=6,∣BBl=Io,所以∣4Bl=^∖BB|"—∣4F∣2=8,

所以的周长的最小值为14.

222

3、已知S”为数列｛an｝的前n项和，且册++1=册一1，S13=α13,则｛an｝的首项的所有可能值

为_______

【考点】

【答案】-3，4

【解析】

2222

根据题意，化简得α∏+Γ^l=αn+ι-°n,利用式相加，得到Si3-q_12进而得到

2

α1-αi_12=Oj即可求解结果

22

因为%+厂%+1=%-1,所以,

222222

所以02-1=α2-al^α3^1=。3-。2，…，。13-1=a13-a12,

将以上各式相加，得，

又Si3=f⅛,所以，解得5=-3或4=4

sinx+2coax

tanIX+J=-3

4、若,则3sinx+4cosx的值为

【考点】

【答案】弓

【解析】

根据两角和与差的正切函数的公式，求得tanx=2,进而利用三角函数的基本关系式，即可求得答案.

ππ-3—1sιnx+2cosxtan*+22

由tanx=tan[(x+,)一对=TTE=2,得靠E妆=石E=5.

2_4=1

5、在平面直角坐标系χ°y中，双曲线X一不一的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为

【考点】

4

【答案】弓

【解析】

由题意，根据双曲线的几何性质，求得双曲线的一条渐近线与准线的交点，利用点到直线的距离公式,

即可求解.

Y=亘

由题意，双曲线的一条渐近线y=2”与右准线'一写的交点为(手号J,

其到另一条渐近线y=-2χ的距离为.

nπ

6、在平面直角坐标系XOy中，将函数y=cos2x的图象向右平移5个单位得到9(%)的图象，则9(2)的值

为______

【考点】

1

【答案】F

【解析】

q(x)=cos∣2x—7∣

根据三角函数的图象变换，求解函数I34即可求解答案.

π

由题意得，将函数y=cos2x的图象向右平移5个单位，得的图象，

所以g(J=8S(A扪T

7、将黑白2个小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为

【考点】

4

【答案】ə

【解析】

分析：先求黑白两个球随机放入编号为12,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的

放法，利用古典概型概率公式可得到结果.

详解：黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有3X3=9种放法在,

黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有2X2=4,所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案

为.

8、如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方

差为一.

甲乙

98879

2109013

【考点】

【答案】2

【解析】

试题分析：由于甲、乙两位同学的平均数均为9°,所以甲、乙两位同学的方差分别为

1(4+1+0+1+4)=2⅛10+l÷0÷l÷10)=≡>2,故成绩较稳定(方差较小)的那T立

同学的方差为2∙

9、阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为

ɪi

!*0!

ItJl

!ForIFrom1To3

s-I

IEulFor

r‹-i×t

∖

!τ∖

【考点】

【答案】36

【解析】

根据上述算法，逐项计算即可得到计算的结果.

由题意，可得S=1+2+3=6,t=lx2x3=6,输出的结果r=6x6=36.

10、设复数z=(2+i)2(i为虚数单位)，则Z的共期复数为一.

【考点】

［答案］3-4i

【解析】

根据复数的乘法运算，求得3+4i,再根据共辗复数的概念，即可得答案.

由于z=(2+i)2=3+4i,所以Z的共聊复数为.

11、已知集合A={1,4},B={x∣1≤x≤3},则AnB=.

【考点】

【答案】⑴

【解析】

利用集合的交集的运算，即可得到答案.

依题意，根据集合交集的定义与运算，可得AnB={1}.

二、解答题(共12题，共60分)

12、已知函数∕3=∕τ+l,记fι(*)=f(%),当""B寸，∕n(x)=∕π-ι(7(X)).

(1)求证：f2&)在(1,+8)上为增函数；

(2)对于任意"CN"判断fn(x)在上的单调性，并证明.

【考点】

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

⑴证明：因为了2(、)=/V(X))=f(χJχ+1),所以介(χ)=(2χ-i)f(/—％+1),

进而得到函数f2(X)在(1,+8)上为增函数.

(2)利用数学归纳法，即可证得对于任意neN”,fn(x)在上均为增函数.

⑴证明:因为∕2(x)=f(∕(X))=f(χ2-χ+I),所以∕√(x)=(2χT)f(χ2-x+D

12

因为X>，所以2x-1>°,χ-χ+1>It

所以「-X+1)=2(--X+1)-1>O,所以f2(X)>ɑ,

所以在上为增函数.

(2)结论：对于任意，在上均为增函数.

证明：①当n=1时，结论显然成立；

②假设当∏=k时结论也成立，即，式“)在上为增函数，

I

所以当X>1时，&(X)>°在上恒成立.

χ2

当n=k+1时，然+](x)=fk(∕(X))=fk(-ɪ+1)ι

2

所以fk+1(x)=(2X-l)∕k(x-X+1)

又当时，，，

所以九(/-X+1)〉0在上恒成立，

χ2

所以/k+1(%)=(2χ-1)/kC-ɪ+1)>°在上恒成立，

所以几+ι(x)在上为增函数.

由①②得证，对于任意，在上均为增函数.

13、某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛.已知该同学数学获一等奖

21

的概率为3物理，化学，生物获一等奖的概率都是"且四门学科是否获一等奖相互独立.

(1)求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；

(2)用随机变量X表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望E(X).

【考点】

1

【答案】(1)不(2)见解析

【解析】

(1)解：记“该同学获得i个一等奖"为事件4i,根据相互独立时间的概率计算公式，即可求解；

(2)随机变量X的可能取值为°,L2,3,4,求得随机变量取每个值的概率，得到随机变量的分布列，

利用公式求解数学期望即可.

(D解：记“该同学获得个一等奖”为事件，i=°，1,

则吆0)=(I-HX(I-HX(I-;)X(1-3=),

2ɪ32iɪ2ʒ

P(4j=彳X(1-彳)+(1-3)×c3×2xɑ~2ɔ=24

9

所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为

p(y4o)+p(41)=⅛+⅛=I

(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=O)=P&)=2P(X=I)=P(4J=寡

，，

2ɪɪ22)213

P(X=2)=J×C×2×(ɪ_2)+(1-3)×c3×(2)X(I-2)=8

39

,ɪ2o1ɜ7

=

P(,X=3)=ɜ×C3×(2)X(1-2)+(1_4)XQX⑸∑4j

P(X=4)=*(；)=.

9

所以的概率分布为

ɪS97213

故E(X)=O×24+1×24+2×24÷3×24÷4×24=T

14、［选修4—5：不等式选讲］

1

已知Xθ,yθ,Zθ,2x+2y+z=I1求证：3xy+yz+zx≤r

【考点】

【答案】见解析

【解析】

利用作差3+2y+Z)2-5(3孙+yz+zx)=⅛-y)2+/+y-2z)2>O,即可作差

证明.

证明：因为3+2y+z)2_5(3Xy+yz+zx)=ψ(x-y)2+^(x+y-2z)2≥O

所以(2x+2y+z)2≥5(3Xy+yz+zx),

又因为2x+2y+z=l,

1

所以3町+"+ZX≤r

15、［选修4—4：坐标系与参数方程］

以平面直角坐标系的原点为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单

(X=t

位.已知直线I的参数方程是［¥=f^3(t为参数)，圆C的极坐标方程是P=4cosθ,求直线I被圆C

截得的弦长.

【考点】

【答案】眄

【解析】

由题意，消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的极

坐标方程，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长.

(x=t,

解：直线I的参数方程h=1-3(t为参数)化为直角坐标方程是y=χ-3,

圆C的极坐标方程p=4cosθ化为直角坐标方程是×2+y2-4×=0.

1£

圆C的圆心(2,0)到直线X—y—3=0的距离为d=J5=2.

又圆C的半径r=2,

所以直线I被圆C截得的弦长为2炉Z示=®.

16、［选修4—2：矩阵与变换］

已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形4BCD变成四边形力BCD,其中A(l,1),

β(-l,1),C(-l,-1),/(3,3)ι√(-l,1),D'(1,-1).

(1)求矩阵；

I~;

(2)求向量DC的坐标.

【考点】

1

M=]2(2)DC，=(-4，

【答案】(1)-2)

【解析】

abab]∖l3a

M=

(1)设cd则有cd13c,利用矩阵的运算，即可求解

的值;

cιrb,clcl

21'

3-3

MT12

-33

(2)由知C(-3,-ɜ),得,利用矩阵的运算，即可得

到.

(1)解：设,

ablΓl[3-1

cd1~3>1

则有犷J

a+b=3

c+d=3

—α+b=-1

一c+d=1

故解得α=2,b=l,c=l,d=2,所以.

21'

3~3

211Γ-1-3MT=12

12][-1-3"33

(2)由,知3,一3),易求

2

3-3

12-1

^33

由,得D(l,-1),所以DC'=(-4,-2).

17、［选修4—1：几何证明选讲］

如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E,F.M,N为AB,CD上两点，EM=EN,点F

在MN的延长线上.求证：NBFM=NAFM.

【考点】

【答案】见解析

【解析】

因为EM=EN,所以乙EMN=4ENM,进而得到NFCN=N4,再利用三角形外角的性质，即

可求解ZyIFM=乙BFM

.证明：因为EM=EN,所以NEMN=NENM,

因为ABCD为圆内接四边形，所以NFCN=NA,

又因为NEMN=NAFM+NA,

NENM=NBFM+NFCN,

所以NAFM=NBFM.

、已知函数。)=的g(x)

18fnχ,∕ceN∖=CX-1,C∈R.

(1)当k=1时,

①若曲线y=/(%)与直线y=g(χ)相切，求C的值；

②若曲线与直线有公共点，求C的取值范围.

(2)当A.≥2时，不等式f(x)>αx'+M皂g(x)对于任意正实数X恒成立，当C取得最大值时,

求a,b的值.

【考点】

【答案】(I)C=I,口，+8)(2)α=1,b=-1.

【解析】

⑴当k=1时，f(%)=xlnx,所以f(%)=1+Inx,①设切点为P(X0，Vo),列出方程组，

即可求得XO=1，c=l,得到答案；②由题意，得方程XInX=CX-I有正实数根，即方程

In*+1C=C)有正实数根，记心)=InX+χ-c,利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解C的

取值范围；

(2)由题意得，当k≥2时，-Ex≥cx-l对于任意正实数X恒成立，即当时，''】InX+

XInX+—>1γ-2j∩γ-Lɪ>1

对于任意正实数恒成立，由(1)可得X一，进而得到十X一，

rɜɪInnXγ-十IX_>1χ4InYX+十—X>_&1…,得到时，X['-InInYXd'>一1，进而得到

αχ2^(α+i)χ+1≥°对于任意正实数恒成立，再利用二次函数的性质，即可得到结论.

(1)解：当时，，所以f(X)=1+Inx.

'1+Inx0=CQ)

Jo=XQlnx0@

yo=cxo^1®

①设切点为，贝八

由②③得，UoT=XOInXO⑹

由①得In/=c_1代入④得，CXo-I=KO(C-ɪ)

所以.

②由题意，得方程XlnX=Cx-1有正实数根，

即方程Ex+7一°=°有正实数根，

1,711XT

记MX)=hu+7^c,令h(%λ)=I-√=F,

当0<X<1时，∕ι’(X)V0；当X>1时，h'(x)>0.

所以MX)在(°，1)上为减函数，在(1，+8)上为增函数；

所以九(%)min=Ml)=I-C

若cVl,则∕ι(x)≥h(l)=l-c>0,不合；

若，由①知适合；

若c>l,贝心(1)=]_。<0,又M吟=C+J-c=J>O,

所以八(1),Me')<0,由零点存在性定理知在(1,er)C(0,+8)上必有零点

综上，c的取值范围为.

(2)由题意得，当时，/Ex>cx-1对于任意正实数X恒成立，

r<Xk-ɪlnr-I—

所以当时，一十X对于任意正实数X恒成立，

..、Inx+7≥1

由(1)知lrn，X,

两边同时乘以X得，XInX+1NX①,

衣T=口τ曰xl∏x+1+-≥x+-≥2公

两边同lI时加4ιπ上X得，xX②，

所以(*),当且仅当X=1时取等号.

对(*)式重复以上步骤①②可得，，

、在K-T，日/InX+7≥1x4l∏x+7≥1

进而可得，X,X,.......,

〃_11

所以当，kCN“时，XE"+工21,当且仅当时取等号.

所以C—ɪ.

当取最大值1时，'ɪɪɪʌ-QX~+bx≥X-1对于任意正实数X恒成立，

令上式中得，0≥a+b≥09所以α+b=O,

所以αx-αjv≥%-1对于任意正实数X恒成立，

即αx-(«+l)x+1≥0对于任意正实数X恒成立，

0+1

所以α>0,所以函数y=ax-(«+l)ɪ÷1的对称轴X=H>0,

所以4=(α+1)2_4αW0,即(αT)2^0,所以，b=~1.

2

又由‘'In'+户1,两边同乘以x2得，x*lnx+x≥xj

所以当，时，XEx≥ax2+bx也恒成立,

综上，得，.

19、设数歹曲J的前n项和为3,已知01=1,sn+l-2sn=1(∏6iV^)

nnl

n—9«-1nh-on-l∕1_1∖7~h\

(1)求证I⑵①由(1)知，册―Z,化简得'%+1一/乙一∙l,则数列I川

是首项为1,公差为1的等差数列，即可求得.

n

H÷2n-ɪ

⅛,进而得到k=2,显然当时，上

式成立，设“")=F^-2,由f(n+l)-/(n)<01所以数列｛f(n)J单调递减，进而得到结论.

(1)解：由Sn+l_2S,ι=1,得Sn-2Srι-i=1(∏≥2),

_α"+ι_2

两式相减，得an+]_2a“=0,即F--，().

因为4=1,由(。1+。2)-2。1=1,得。2=2,所以I=2,

所以对任意ZleN,都成立，

所以数列为等比数列，首项为1,公比为2.

(2)①由(1)知，,

⅛n1bn1

由%+1—+=,得%+1=彳+落

即2r%+I=-%n+1,即2"九+1_2"Ibn=1,

因为比=ɪ,所以数列上/*nj是首项为1,公差为1的等差数列.

所以2"-%n=]+(n_D*1=n,

n

h

所以％-23.

T=£"b

②设"乙I=Il

则Tn=IXG)+2x(》+3XG)+∙∙∙+M×(2),

所以=lxg)+2x(}+ɜ×(7)+…+nX(3,

两式相减，

得

l-⅛"In

^=⅛0÷⅛)1÷⅛)2÷.→⅛π^1→×(∑)n~~nx^=2-(n÷2)×⅛π

所以G=4-(2"+4)×(2)

n

由∑[∕=4-n,w4-(2n+4)×⅛=4-nj即一=2一

显然当时，上式成立，

is∕(«)=--2"1(),即六2)=0.

加+1)-/(n)=(雷-2〉-(中-2一)=-[ɪ+2-1]<0

所以数列单调递减，

所以f(")=°只有唯一解，

所以存在唯一正整数，使得成立.

___」=I(Q>b>O)—

20、已知在平面直角坐标系X°y中，椭圆c：/b2"离心率为彳，其短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，A为椭圆C的左顶点，P,Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E,直线QO交AP于D,

直线OP与直线OQ的斜率分别为七，k2,且"'2=~2tAD=λDPtAE=μEQ(九〃为非零实数)，

X2

［答案］⑴爹+)'=1⑵/+〃2=］

【解析】

C_I-2227

(1)由题意，求得b=l,由3=2,得a=#c,再利用α-=b'+c,即可求得。=2得到

椭圆的标准方程；

(2)由(1),设P(X1，y3D(XO，3'o),因为AD=4DP,得到

x=

ιι~~Γ~k2xo=J

21&X______@_必］

两边同时乘以礼得，"L+"1F),得到"(l+2kju,”(l+2k”代入椭圆的方

程得1+2kI,同理得“1+2fcl,即可得到结论.

(1)解：因为短轴长2b=2,所以b=1,

又离心率，所以，

所以/=2f2=2储-户)，所以,

x22

所以椭圆C的标准方程为至+y^=1

(2)由⑴，点A(-M,°),设,

贝IJyl=^lxl>ʃθ=^2xQ，

,x0+√2=A(Xi-X0)-O

yo=λ(yι-yo)........®

因为，所以

1+4_√2_IjM

由①得，F-XO=Xl一了，由②得，=Ts

所以七/ss^Γk2x0=k2(xl-τ∖

两边同时乘以ki得，k%=”也(4邛)=-#1一5,

所以，，

代入椭圆的方程得，，

2_1_1_2kj

μ=1+2.=1+2仁J√=ι+2后

同理可得，十1闻

所以乃+/=1.

3

21、(题文)如图所示的某种容器的体积为9°"c?n,它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的

底面半径都为「cm.圆锥的高为'ιjm,母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为八2°根，已知圆柱底面

的造价为20元/cm；圆柱侧面造价为0元，圆锥侧面造价为&元.

(D将圆柱的高”2表示为底面半径厂的函数，并求出定义域;

(2)当容器造价最低时，圆柱的底面半径为多少？

【考点】

【答案】⑴｛「1°vrV3脾｝；⑵3cm

【解析】

(1)由题意，根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式，即可得到h2关于厂的函数关系式；

y==¾2+¾f(r)=r∙2+"

(2)根据圆锥与圆柱的侧面积公式得到容器总造价为,31「人令八'Tr,利

用导数求得函数f(出的单调性，即可得到函数最小值，得到解答.

(1)解：因为圆锥的母线与底面所成的角为45°,所以九1=广，

12»ɪ3ɔ

圆锥的体积为Pl=/rh=/r,圆柱的体积为02=7τr%.

因为Vl+卜2=9叫所以七=m-2fl2=90π-轴[

270-r390r

所以门一3r2一储一？.

1a

因为Pl=/<9。\所以"3网.因此。<"3河.

所以，定义域为.

(2)圆锥的侧面积Sl=πr'&=BTu二

圆柱的侧面积$2=2πrh2,底面积S3=πr2.

容器总造价为)'=涵5]+aS2+2σ5322

=2πrα+2πr∕ι2α+2πrα

222πα2r2啰一,

=2πɑ(r+rh2+r)=1+

=W÷τ).

.S4

令，贝1/。)—「.令f(τ)=0,得r=3.

当0<rv3时，f(r)VO,f(r)在(0,3)上为单调减函数;

当3<『V3河时，f(r)>0,在(3，3啊)上为单调增函数.

因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90τ