2023-2024学年上海市崇明区高二年级下册期中数学模拟试题（含答案）

【正确答案】2

【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.

【详解】=2.

故2.

5.已知/(x)=COS2x,则/'(X)=

【正确答案】-2sin2x

【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得.

【详解】因为/(x)=CoS2x,贝IJ尸(X)=-Sin2x∙(2x)=-2sin2x.

故-2sin2x

6.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石.验

得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石.(精

确到整数)

【正确答案】169

【分析】根据给定条件，利用分层抽样的意义列式计算作答.

【详解】设这批米内夹谷约为X石，依题意，-ʌ-ɪɪ,解得XZI69,

1534254

所以这批米内夹谷约为169石.

故169

7.已知/(X)=山，则lim"2+2.f(2)

Xλ→0h

【正确答案】TT)叁

【分析】先求出/(2+/7)-/(2),然后代入出R∕Q±4)-∕(2)中求解即可.

【详解】因为Ax)=3x+1=1+上1，

XX

所以/(2+/0-〃2)=1+丁=一(1+41__ɪ-h

2+〃I22÷Λ^22(2+〃)

所以,im∕(2÷⅜)-∕(2)=πm2(2÷A)=扁上―=

a0

Λ→OhΛ→θh→2(2÷h)4

故答案为.

4

22

8.若双曲线5r-4v=1（。>0">0）的渐近线方程为），=±9，则双曲线的离心率£

a~h~2

【正确答案】巫

2

【分析】由题知2=W,再根据离心率公式求解即可.

a2

尤2«b3

【详解】解：双曲线=一4=1（。〉0,b>0）的渐近线方程为y=±Cχ=±;χ,

Crb-a2

所以，双曲线的焦点在X轴上，且2=：

a2

9.如图，在棱长为I的正方体ABCD-A用G。中，点A到平面4。8距离是

［分析］利用等体积法求得A到平面∖BD的距离.

【详解】AB=BD=AD=拒,A8。为边长为0的等边三角形,

设A到平面A3。的距离为"，根据％VM=^A-A1BD，

≡l×l×lxlxl=lχl×^x(√2)2

×d,

解得1

3

故答案为.且

3

10.函数y="χ）的导函数y=∕'（χ）的图像如图所示，以下结论正确的序号是.

(1)-3是函数y=∕(x)的极值点；

(2)-1是函数y=∕(χ)的极小值点

(3)y="χ)在区间(-3,1)上严格增;

(4)y=∕(χ)在χ=0处切线的斜率大于零；

【正确答案】(1)(3)(4)；

【分析】利用导函数与原函数的关系一一判定即可.

【详解】由图象可得x=-3时，/'(—3)=0,且x<—3时/'(x)<0,χ>-3时/«x)>0,即-3

是函数y="x)的极小值点，(1)正确；

而X=-I时，∕,(-l)=0,但x<T与x>-l时，∕<χ)>0,.∙.τ不是函数y=∕(χ)的极值

点，(2)不正确；

由图象可知(Tl)上用x)>0,.∙.y=∕(x)在区间(-3,1)上严格增，(3)正确；

X=O处∕i(x)>0,所以该处切线的斜率大于零，(4)正确；

故⑴(3)(4)；

11.若点。和点尸分别为椭圆、+丁=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

IOPI2+∣PFI2的取值范围为.

【正确答案】[2,5+2√2j

2

【分析】设尸(x,y),则y2=l-5(χe[-夜,加]),由两点距离公式即可得所求取值的函数,

进而讨论范围即可.

【详解】由题意得，0(0,0),F(TO),设P(x,y),则y2=l—

则∣0P∕+∣P/1T=X2+y2+(χ+]y+y2=χ2+(χ+ι)2+2][-5=(χ+l)2+2∈[2,5+2√2].

故[2,5+2√Σ]

12.已知数列｛q｝为严格递增数列，且对任意"eN,"Zl,都有”,,eN且421.若气=3〃

对任意“eN,”21恒成立，则⅛l-«1999=.

【正确答案】66

【分析】根据％=3”恒成立和严格递增可得4=2,然后利用”=3〃递推求出α729,al458的

值，不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得生⑼=,4弼=心,，然

后可解.

【详解】因为4=3,且数列｛q｝为严格递增数列，

所以4=1或4=2,若q=l,则%=α∣=3（矛盾），故％=2

由4.=3"可得：a2=aaι=3,a3=¾j=6,⅜=¾j=9,¾=¾6=∣8,0,8=aag=27,

%=%'=54,¾t=%,=81,4∣=%=162,《62=%=243,0243=atlm=486,

a

“486=a2i,729,am=aa^=1458,a∣458=¾7,,=2187,

因为%29=1458,《458=2187,2187-1458=1458-729=729,且数列｛4,,｝为严格递增数列，

4eN,

所以小92=2021,*=1999,

aa

所以202i=a,2n=3876,ai99g=aai2m=3810

t

所以⅛2∣-%w=3876-3810=66

故66

二、单选题

13.在空间中，“直线加_1_平面α''是"直线加与平面ɑ内无穷多条直线都垂直”的

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

【正确答案】A

【详解】若“直线阳J"平面α'’则"直线加与平面α内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，

若“直线与平面α内无穷多条直线都垂直”则“直线小，平面a”是错误的，故直线1

平面a”是“直线机与平面a内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.

故选A.

14.用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(2"+1)=(〃+1)(2〃+1)”，当〃=4+1时，等式左

边应在"=Z的基础上加上()

A.2k+∖B.2Z+3

C.(2女+2)+(2*+3)D.(2⅛+l)+(2⅛+2)+(2⅛+3)

【正确答案】C

【分析】由数学归纳法可知时，左端为1+2+3+…+(2A+1),至=&+1时，左端

1+2+3+…+3+3),从而可得答案.

【详解】解：用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2〃+1)=(〃+1)(2〃+1)时，

当”=1左边所得的项是1+2+3；

假设"=&时，命题成立，左端为1+2+3+…+(2Z+1)；

贝U当〃=k+l时，左端为1+2+3+...+(2%+1)+Qk+2)+[2(⅛+1)+1],

.・・当〃=4+1时，等式左边应在〃=女的基础上加上(2/+2)+(2k+3).

故选：C.

15.已知awR,a≠-+⅛π(⅛∈Z),设直线/：y=xtana+〃z,其中ZnH0,给出下列结论：

①直线/的法向量与向量a=(cos%sina)垂直；

②若则直线/与直线y=x的夹角为f-a；

44

③直线/与直线XSine-ycosa+〃=0(〃R〃。平行；上述结论正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.0个

【正确答案】B

【分析】对①，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；对②，由斜率及倾斜角

的关系求得两直线倾斜角，即可求得夹角；对③，两直线平行需进一步判断是否存在重合.

【详解】对于①，直线/的方向向量是“=(1,IanfZ),则COSaXtana=Sina,

所以向量〃=(l,tana)与向量4=(cosa,sina)共线，

故直线/的法向量与向量α=(cos%sinα)垂直，即①正确;

对于②，当0<α<二时，直线/的斜率是tane,倾斜角是。，

4

直线N=X的斜率是1,侦斜角是两直线的夹角为,故②正确；

44

对于③，直线/的斜率是Z=tana,在P轴上的截距是小，

/7

直线xsina-ycosa+n=O的斜率是k=tana,且在ʃ轴上的截距是----,

CoSa

M

当WJ=——时，两直线重合，不平行，故③错误；

COStt

综上，是真命题的序号是①②；

故选：B.

16.已知曲线。:土言+工詈=-1,对于命题：①垂直于X轴的直线与曲线C有且只有一个

交点；②若6a,y),E(∙χ2,%)为曲线C上任意两点，则有止&<。，下列判断正确的是

X-X2

()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【正确答案】A

【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断②

【详解】曲线C：岑+野=T,

222222

当x>0,y<0,2--土=1;当XVo,y>0,土一2-=1;当x<O,y<O,土+匕=1;画出图像如图，

344343

易知①正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率％=21二&<。，②正确

故选：A

三、解答题

17.已知数列｛α,J的前，7项和5“=

（1）求证：数列｛q｝是等差数列；

（2）令I,=」一+」一+…+--—,求Z,的表达式.

aa

23a/向

【正确答案】（1）证明见解析

n

⑵，=

2n+l

IS1,H=1,、

【分析】（1）根据4=1c、。求出数列｛4｝的通项，再根据等差数列的定义即可得

M-3/1τ,"22

证：

（2）利用裂项相消法求和即可.

【详解】（1）由S,=1,

当”=1时，q=S∣=I,

22

当“≥2时，an=S,,-5n-l=zι-（n-l）=2n-l,

当〃=1时，上式也成立，

所以4=2"-1,

又alt+ι~~all=2n+l-(2n-1)=2,

所以数列｛%｝是等差数列；

⑵-L=______!_____=±(->______M

⅛⅛t,(2n-l)(2n+l)2∖2n-∖2n+∖)'

则7T；=—l+l——+--•+----I---

a∖aia2a3anan+∖

=ιf1-i+i-i÷-!---q,W=q.

213352n-l2n+∖)2(2n+∖)2n+l

18.已知函数/(x)=e"-"iL1,常数m>0.

⑴若函数y=f(x)的图像在点(OJ(O))处的切线方程为尸0,求实数加的值；

(2)求函数y=∕(χ)的单调区间和极值，说明理由；

【正确答案】(1)1

(2)单调递减区间为(-∞,lnw?),单调递增区间为Qn机,+8),/(x)极小值=,w-mlna-1,无极

大值.

【分析】(1)求出函数的导函数，依题意由/'(())=(),即可求出机的值；

(2)求出函数的导函数，再求出函数的单调区间与极值即可.

【详解】(1)因为f(x)=e*-侬-1,所以F(O)=O,f∖x)=e-m,则洋(O)=I一加,

因为函数y=∕(χ)的图像在点(OJ(O))处的切线方程为y=o,

所以r(o)=ι-%=o,解得加=1.

(2)函数/(方=〃-的-1的定义域为区,f'(x)=ex-m,

又”?>0,f'(x)=e*-〃2在R上单调递增，由/'(x)=0,解得X=In加，

当x<[∏"z时，∕,(x)<0,当χ>Inm时，f'(x)>O,

即函数/(X)在(-8,InM上单调递减，在(Inm,+∞)上单调递增，

所以/(x)在X=In帆取得极小值，即/(x)极小值=/(Inm)=m-mlnm-l,无极大值，

所以函数/(x)的单调递减区间为(F,In⑷，单调递增区间为(Inm,+∞),

/(x)极小值='"_加瓜m_1,无极大值.

19.某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将

牛奶捐赠给留守儿童.此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广

告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%,30天

后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可

以使公司收益0。5元(以下人数精确到1人，收益精确到1元).

(1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；

(2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？

【正确答案】(1)8745,1686元

(2)37天

【分析】(1)根据等比数列的性质求出结果；

(2)对活动天数X进行讨论，列出不等式求出X的范围即可.

【详解】⑴设第X天的捐步人数为/(x),则/(X)=M∕2"50?，―且

/(30),%>30

/(x)∈N*,

.∙.第5天的捐步人数为〃5)=5000∙(l+15%)4≈8745.

由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为5000,公比为1.15,

0001115

•••前5天的捐步总收益为-t~^x0.05a1686元.

1-1.15

(2)设活动第X天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，

若l≤x≤3(),则吧X0.05>200000，

1-1.15

解得x>log∣.∣591≡≈34(舍).

π,5000(1-1.15")

若X>30,+5000-1.1529•(%-30)]-0.05>200000

1-1.15

解得X>36.38

；•活动开始后第37天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余.

20.已知耳(-2,0),4(2,0),点P满足IPKITP国=2,记点尸的轨迹为「斜率为左的直线/过

点心，且与轨迹「相交于A8两点.

(1)求轨迹「的方程；

(2)求斜率Z的取值范围；

(3)在X轴上是否存在定点M,使得无论直线/绕点亮怎样转动，总有MJ..如成立？如

果存在，求出定点M;如果不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)x2-^=l(x>0);(2)(-8,-6)56,+8);(3)存在，M(T,O).

【分析】(1)根据双曲线的定义即可求得方程；

(2)联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；

(3)假设存在点〃，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据M4∙MB=O结合韦达定理求

解.

【详解】(1)因为耳(—2,0),心(2,0),点P满足∣W∏P闾=2<旧局，

所以点尸的轨迹为以E(-2,0),E(2,0)为焦点，实轴长为2的双曲线的右支,

22

设其方程»lg。)，则c=2,I八6

所以轨迹「的方程：x2-^=l,(x>0);

(2)斜率为k的直线/过点名，直线方程为y=k(x—2),代入f-1=ι

3X2-⅛2(X2-4X+4)-3=0,即(3-Z2)了2+4女2彳-4%2-3=0有两个彳；;等正根用，“2,

3-⅛2≠0

Δ=16⅛4-4(3-⅛2)(-4⅛2-3)>0

4k2

…=—->。n

-4⅛2-3

x.x=-------Z->0n

J?3-k2

由一事>°得〃>3,当公>3时，⅛>0

且A=16∕-4(3-巧(-442-3)>0

即不等式组的解：⅛2>3

所以A4—∞,-√3)(x^,+∞);

(3)假设存在，设点M(w,θ),A(X],χ),B(x2,y2),使必±MB,

由(2)：斜率为々的直线/过点居，直线方程为y=%(x-2),代入了2-q=1,

3x2-k2(√-4x+4)-3=0,Bp[3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0有两个不等正根占,占，

k2>3

Δ=16⅛4-4(3-⅛2)(-4⅛2-3)>0

.4k2

X÷X=--------7，

12-3-k2

-4⅛2-3

ΓΛ=-^-

MA±MB,所以MAM8=0,(%--m,％)=。，

(Λ⅛-^)(x2-∕n)+y,y2=0

(xl-m)(¾-tn)+k^xx-2)ZΓ(X2-2)=0

2222

(k+l)x1x2-Qk+〃?)(％+X2)+∕H+4⅛=O

(⅛2+1)-~3-(2⅛2+ffl)f-ɪ7ʌl+m2+4⅛2ɪO

ɔ一κIɔ-K,

-Ak4-Ik2-3+8k4+4k2m+3m2-k2nr+↑2k2-4ki=O

⅛2(-nz2+4zM+5)+3w2-3=0,对公>3恒成立，

∖-m2+4m+5=O,、

所以2，解得机=-1,即M(T,0),

[3m"-3=0

当直线/斜率不存在时，直线方程x=2,此时A(2,3),B(2,-3),

MAMβ=(3,3)∙(3,-3)=0,仍然满足例±MB,

所以这样的点存在，M(-1,0).

此题考查求双曲线方程，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围,

结合韦达定理解决相关定点问题.

21.设常数f>2.在平面直角坐标系Xoy中，已知点F(2,0),直线/：x=3曲线「：

/=8x(0≤x≤∕,y>0),/与X轴交于点A、与「交于点氏P、。分别是曲线「与线段AB

上的动点.

(1)用r表示点B到点尸距离；

(2)设f=3,IFQI=2,线段OQ的中点在直线PP上，求aAQ尸的面积；

(3)设48,是否存在以尸尸、尸。为邻边的矩形fPEQ,使得点E在『上？若存在，求点尸

的坐标：若不存在，说明理由.

【正确答案】(1)∖BF∖=t+2.(2)拽；(3)存在，P[*W]∙

【分析】(I)方法一：设出8点坐标，根据两点间距离公式求解出忸尸I的值，

方法二：根据抛物线的定义，即可求得忸Fl的值；

(2)根据抛物线的性质，求得。点坐标，即可求得。。的中点坐标，即可求得直线尸产的方

程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，则ASQP的面积可求；

(3)设P,E坐标，根据即-•原。=-1求得直线。尸的方程和。点坐标，再根据FP+FQ=尸E

求得E点坐标，则根据(竺A)2=8(4+6)可求得尸点坐标.

【详解】解：(1)方法一：由题意可知：设