第二章矩阵教材

第二章矩阵1、矩阵的概念2、矩阵的运算3、可逆矩阵4、矩阵的初等变换与矩阵的秩注：矩阵与行列式的区别

由m

n个数aij

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成的一个m行n列的矩形数表，称为一个m

n矩阵，a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnAm

n=记作只能用[]or(),不能用{}1.1矩阵的定义注：矩阵的行数m和列数n可相同，也可不同。简记为-a11

-a12

-a1n

-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn-Am

n=称对于矩阵负矩阵：为矩阵A的负矩阵，记为-A，即同型矩阵：两个矩阵具有相同的行数和相同的列数，称为同型矩阵。例A=23456B=86253同型矩阵A=2394568B=86253不同型即对于有则称矩阵A和B相等，记为。矩阵相等：设矩阵A和B为同型矩阵，且它们对应的元素分别相等,1、零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，1.2特殊矩阵记为。例注：不同型的零矩阵不相等

若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵。2、方阵例3、行矩阵与列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵

or行向量or列向量例用逗号将各元素隔开b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=A=a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

n阶上三角形矩阵4、上（下）三角矩阵

n阶下三角形矩阵例如5、对角矩阵如下形式的n阶矩阵称为n阶对角矩阵，记为数量矩阵是特殊的对角矩阵如下形式的n阶矩阵称为数量矩阵(or纯量矩阵)6、数量矩阵例如简记为

如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为In或En

7、单位矩阵单位矩阵是特殊的数量矩阵例

如果n阶矩阵A满足AT=A(即aij

=aji

),则称A为对称矩阵，即8、对称矩阵例

2358386

38674249762710

A=a11a12

a1na12

a22

a2n

a1n

a2n

ann

如果n阶矩阵A满足AT=-A(即aij

=-aji

),则称A为反对称矩阵，即9、反对称矩阵

首非零元:每个非零行的第一个不为0的元素。10、阶梯形矩阵阶梯形矩阵:1）如果存在零行,则零行都在矩阵的最下方；2）首非零元的列标随行标增加而严格增加。11、行简化阶梯形矩阵

满足以下条件的阶梯形矩阵（1）首非零元都为1；（2）首非零元所在列其余的元素全为0，称为行简化阶梯形矩阵。

12、标准形矩阵左上角为单位矩阵其余位置全为02、矩阵的运算2.1矩阵的加法2.2矩阵的数乘2.3矩阵的乘法2.4矩阵的转置2.5方阵的行列式同型矩阵才能相加定义:设A与B为两个m

n阶矩阵，A+B=2.1矩阵的加法则有

例：设求A+B=?解：1+52+63+74+8681012同型矩阵才能相减设A与B为两个m

n阶矩阵，A-B=则有矩阵的减法矩阵加法的运算律（2）加法结合律：（1）加法交换律：（3）加法消去律：（4）（5）（零矩阵的作用）（负矩阵的作用）k遍乘A的所有元素（注意：与行列式数乘的区别）设矩阵kA=2.2矩阵的数乘定义：则且k为实数，特别地，-A=(-1)A矩阵数乘运算的运算律（3）分配律：（2）结合律：（1）交换律：例：设，求3A+2B。

注：矩阵的加法与数乘运算，统称为矩阵的线性运算。解：cij

=A的第i行与B的第j列的乘积设A是一个m

s矩阵，B是一个s

n矩阵，AB=b11

b12

b1j…

b1n

b21

b22

b2j

…

b2nbs1

bs2

bsj

…

bsna11

a12

a1s

a21

a22

a2sai1

ai2

ais

am1

am2

amsc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnm×n=cij

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)ai1b1j

ai2b2j

aisbsj2.3矩阵的乘法B=

求ABA=，

例:设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-783×3231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-33×3231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-353×3练习：A×B==1×22×1+1×(-2)+7×22×3+1×1+7×6=[14,49]

关于矩阵乘法需要注意的是：（1）不是任意两个矩阵的乘积AB都有意义；（2）两个矩阵的乘积AB有意义的条件是：即且Am×s

Bs×n=Cm×nAm×s

Bt×n有意义的条件是:左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等，s=t左矩阵右矩阵读作：A左乘B，orB右乘A例34572225A=B=(1)AB无意义，

585722952764C=D=(2)CD有意义，BA有意义，DC无意义注一：当AB有意义时，BA未必有意义。456例：A=123B=维数相同注二：当AB和BA都有意义时，AB和BA的阶数未必相等。231-2311-2-32-10BA==4-983231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-352×2B=A=，

例：设231-2311-2-32-10解：3×3例：设A=

，4-2-21B=

，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注三:当AB和BA都有意义，且AB和BA的阶数也相等时，AB未必等于BA。矩阵乘法一般不满足交换律，即AB

BA1110例

设A=

，B=

，求AB及BA2110解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=如果AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换的。AB=BA成立可交换矩阵的定义:解:可交换的一切矩阵。例

求与矩阵A=010001000B=abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=若AB=BA,则B定为3×3矩阵设Babc0ab00a=其中a，b，c为任意数。则有

a1=a2=b2=0，

b1=c2=a，c1=b，所以，例：设A=，4-2-21B=

，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注四:AB=OA=OorB=O例：设A=

，5000求A2解：0

000=2×2注五:A2=OA2=50005000A=O矩阵乘法一般不满足消去律例:设

A=203,B=004,C=100求AC=?BC=?解:=2×21100=2×21100注六:AC=BCA=B

(1)

AB

BA

(3)

AB=OA=O或B=O

/

(2)

AC=BCA=B

/

A=O

/

乘法一般不满足交换律乘法一般不满足消去律,但如果C可逆,则A=B矩阵乘法小结(4)

A2=O矩阵乘法运算的运算律（3）左分配律：（2）数乘结合律：（1）结合律：（4）右分配律：a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

=系数矩阵例:2x1+5x2+7x3+9x4=5x1-3x2+7x3+x4=33x1-x2+x3+x4=10

579-3713-111x1x2x3x4=5310线性方程组可用矩阵乘法表示:对于方阵A及自然数k

，

记Ak=A

A

A

(k个A相乘)只有方阵才能自乘规定:性质：(1)

ArAs=Ar+s(2)

(Ar)s=Ars注:一般(AB)k≠AkBk但如果AB=BA,则(AB)k=AkBk方阵的幂：特别地，同理，（只有当A与B可交换时，等号才成立）若矩阵A、B为同阶方阵，则练习：计算下列矩阵：解：(1)

2

0

1

1

1=

0

1

1

1

0

1

1

1=

0

1

1

2

3

0

1

1

1=

0

1

1

2

0

1

1

1=

0

1

1

3

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

2

a

0

0

0

0

c

0

b

0

a

0

0

0

0

c

0

b

0=

a2

0

0

0

0

c2

0

b2

0=

3

0

1

1

1

(1)

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

2，定义：设f(x)=ax2+bx

+c,A为n阶矩阵，则矩阵A的多项式为f(A)=aA2+bA

+cE

，其中，E为与A同阶的单位矩阵。矩阵的多项式例：已知f(x)=x2-x-1，A=

，求f(A)。

3

1

2

1-1

0

3

1

1=

解：

3

1

2

1-1

0

3

1

1

2

3

1

2

1-1

0

3

1

1-

0

1

0

0

0

1

1

0

0-

14

2

5

0

0-1

13

3

5=

3

1

2

1-1

0

3

1

1-

0

1

0

0

0

1

1

0

0-

11

0

3

-1

1-2

9

2

4=f(A)=A2-A-E将矩阵A的同号数的行换为同号数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵,记为AT或A

。a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=第1行变为第1列，第2行变为第2列,…第n行变为第n列2.4矩阵的转置(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An)T

=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T转置矩阵有下列性质：(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

注意矩阵的次序推广：例求：1）、对角矩阵的性质(1)

kA=diag(ka11,ka22,

,kann

)

(2)

A+B=diag(a11+b11,a22+b22,

,ann+bnn

)设A=diag(a11,a22,

,ann),B=diag(b11,b22,

,bnn)(3)

AB=diag(a11b11,a22b22,

,annbnn

)对角矩阵的数乘,和,差,积仍为对角矩阵。(4)

A=AT对于特殊矩阵的运算性质对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对称矩阵2）、单位矩阵的性质EmAm

n=Am

n=1

Am

nAm

nEn=Am

n

=Am

n

1注：

(1)单位矩阵与任意矩阵相乘(只要有意义)结果不变;

(2)单位矩阵En与任意同阶方阵可交换。注意：矩阵相乘的条件3）、数量矩阵的性质b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmna0

00a

0

00

aab11

ab12

ab1n

ab21

ab22

ab2nabm1

abm2

abmn=数量矩阵A左乘or右乘矩阵B，相当于数a乘B。b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmna0

00a

0

00

aab11

ab12

ab1n

ab21

ab22

ab2nabm1

abm2

abmn=特别地，(kEn)An=kAn

；An(kEn)=kAn

注：数量矩阵与任意的同阶方阵可交换。数量矩阵则4）、对称矩阵的性质(1)kA为对称阵；设A,B为对称阵,则(2)A+B与A-B为对称阵；(3)AB未必是对称阵。

例A=B=

是对称阵，但-1

0

1-1

1

1

1

1-1-1

0

0=不是对称矩阵AB=-1

0

1-1

1

1

1

1

例:设A与B是两个n阶对称矩阵证明：AB对称AB=BA证明:(1)充分性：即，AB为对称矩阵。(2)必要性:且且

例:设列矩阵E为n阶单位矩阵，且证明：H是对称矩阵，且。

满足且Proof:

由n阶矩阵A的元素按原来的位置关系构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式,记为|A|或det(A)。a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=，

|A|=a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

det(A)

=例A=

234

|A|=det(A)=

234=-22.5方阵的行列式

定义：非奇异矩阵（or非退化矩阵）:如果行列式|A|

0,则称A为非奇异矩阵。奇异矩阵（or退化矩阵）:如果行列式|A|=0,则称A为奇异矩阵。方阵积的行列式=行列式的积方阵的行列式具有的运算律：

(1)|AB|=|A|·|B||ABCD|=|A|·|B|·|C|·|D||Ak|=|AAA…A|k个A=|A|k|BA|=|AB|=|BA|

推广：|B|·|A|n为方阵A的阶数(2)|lA|

ln|A|例：有|lA|==l3

l3|A|则(3)

|AT|

|A|例:设A为三阶矩阵，已知|A|=-2,求||A|A|。解：||A|A|==(-2)3|A|=(-2)3(-2)=16|-2A|例:设

A=254-4-53134B=C=求

(1)|ATB2C|(2)|(3BBT)2|解:(1)|ATB2C|=|AT||B2||C|=|A|

|B|2|C|254-4-53134××2=2×12×5=10(2)|(3BBT)2|

=(|3BBT

|)2=(32|

BBT

|)2=81=C称为Ａ的逆矩阵3.1可逆矩阵的引入(1)、实数a的倒数实数的除法：(3)、实数的除法可以转化为乘法(2)、实数a的倒数性质商=分子×分母的倒数给定矩阵

满足：ＡＸ＝Ｂ，问Ｘ＝？分析：如果我们找到矩阵Ｃ，使得ＣＡ＝E，那么，ＣＡＸ＝ＣＢ，则Ｘ＝ＣＢ定理：如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，AB

BA

E

，且称B为A的逆矩阵，只有方阵才可能有逆矩阵记为A-1。3.2可逆矩阵的定义使得则称A为可逆矩阵，Proof：设B1、B2均为矩阵A的逆矩阵，第1行的代数余子式作为第1列，….

第n行的代数余子式作为第n列伴随矩阵：

矩阵A=(aij)的行列式|A|中元素aij的代数余子式构成的矩阵的转置矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵，记为A*，即A11A12A1n

A21A22A2n

An1An2Ann

a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=A*=3.3矩阵可逆的充要条件所以,|A|

0由于A可逆,有|A|·|A

1|

|E|

1,则AA

1

E,证明：定理：

n阶矩阵A为可逆

|A|

0,A为非奇异矩阵a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A11A21

An1A12A22

A2nA1nA2n

Ann

AA*==|A|E|A|

0

0

0|A|

0

0

0|A|

=所以,=—A*1|A|A-1且AA*=A*A=|A|E

A*的性质:(当|A|≠0时)n为方阵A的阶数例:设n阶矩阵A可逆,证明：因为A可逆,又因为再因为证明A*也可逆,且所以|A|≠0,例：求矩阵A=的逆矩阵。

2-3

1

1

2

0

0-5

1

2-3

1

1

2

0

0-5

1解:=2

0A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*

=10

7-5-2-2

2

2

1-1==

—A*1|A|=

—12A-110

7-5-2-2

2

2

1-1

5

7/2-5/2-1-1

1

1

1/2-1/2=

|A|=A可逆

例:求A=

的逆矩阵(其中a11a22-a12a21≠0)a11a21a12a22解:A*=A11A12A21A22a22-a21-a12a11==a11a22-a12a21a11a21a12a22|A|==—A*1|A|A-1a22-a21-a12a11=—————

1a11a22-a12a21则例：a100

0a20

00an

已知A=

，验证a1-100

0a2-10

00an-1

A-1=

。其中ai

0(i=1,2,

n)提示：a100

0a20

00an

a1-100

0a2-10

00an-1

100

010

001

=(2)若A可逆，数(1)若A可逆，证明:AA

1=E(3)若A可逆，则证明：AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，3.4可逆矩阵的性质，则则(A

1)

1

A(AT

)

1

(A

1)T

(4)若A、B为同阶可逆矩阵，则证明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E推论:注意逆矩阵顺序(A1A2A3…An)

1(An)

1(An-1)

1….(A1)

1(ABC)

1

C

1B

1A

1(ABCD)

1

D-1C

1B

1A

1(AB

)

1

B

1A

1例:设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O，证明A为可逆矩阵，并求A-1(a,b,c为常数，c

0)aA2+bA=-cEaA2+bA+cE=O-c-1aA2-c-1bA=E(-c-1aA-c-1bE)A=E所以，A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE解:例:设n阶矩阵A满足A2-A-2E=O，证明:(1)A可逆，求A-1；A2-A=2E(1)

A2-A-2E=O所以，A可逆，且证明：(2)A+2E可逆，求(A+2E)-1

。且(2)

A2-A-2E=O(A+2E-2E)2-(A+2E)=O所以,A+2E可逆,且且例:设3阶矩阵A的伴随阵为A*,且

求解：对于含有n个方程，n个未知量的线性方程组AX=B，其中A为n阶方阵。若A可逆，3.5利用逆矩阵解矩阵方程则若A可逆，则对于XA=B，若A、B可逆，则对于AXB=C，转例例:设(E-A)X=B所以，且AX+B=X，解:求X。由AX+B=X返回A-1=

，

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

2

4

2

3

3

1例：设A=，B=,C=

5

2

3

1

1

3

2

3

1

0求矩阵X

使AXB

C。-5

3

2-1B-1=，解:X

A-1CB-1

=

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

3

1

0-5

3

2-1-2-10

10

1

4-4=注意矩阵次序4、矩阵的初等变换4.1初等变换的定义4.2初等变换与初等矩阵的关系4.3矩阵的秩4.4用初等变换求逆矩阵4.5用初等变换求解矩阵方程初等行变换：(1)交换矩阵的两行，ri

rj(2)以数k

0乘矩阵的某一行，ri×k(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上，ri

+krj初等列变换：(1)交换矩阵的两列,ci

cj(2)以数k

0乘矩阵的某一列,ci×k(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上,ci

+kcj初等变换:初等行变换与初等列变换的统称4.1矩阵的初等变换矩阵的等价矩阵A经过初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A->B。注意与行列式中相关变换相区别

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1

1-2

1

3

1-9

3

7———

1

5-1-1

3

8-1

1r2

r4r1×2———-9378-111-213210-2-2———r1+r4×(-2)-9378-111-213014-4-8初等矩阵对单位矩阵E作一次初等变换后，得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵一定是方阵行：ri×k行：ri+krj初等矩阵有如下三种类型（对应于三种变换），分别记作P(i,j

)，P(i[k])，P(i,j[k])。行：ri

rj列：ci

cj列：ci×k列：cj+kci例：（1）r1

r2：（2）kr3:（3）r2+kr1:4.2初等变换与初等矩阵的关系例：定理：（1）对Am×n进行一次初等行变换，相当于用相应的m阶初等矩阵左乘矩阵A；例：定理：（2）对Am×n进行一次初等列变换，相当于用相应的n阶初等矩阵右乘矩阵A；任意一个非零矩阵Am×n总可以经过有限次的初等行变换化为行阶梯形矩阵；同样地，对这个行阶梯形矩阵再进行初等行变换，可化为行简化阶梯形矩阵。定理：初等行变换行简化阶梯形矩阵行阶梯形矩阵初等行变换Step1:(1)在第一列中选一个非0元作为首元,

（一般选较小接近1的数）并将此元素交换到a11位置;(2)将首元变为1，此列其余元素全变为0;Step2:选定下一个首元，将首元变为1，此列其余元素全变为0将矩阵用初等行变换化为行简化阶梯形的步骤:Step3:重复第二步,直至得到行简化阶梯形。23454681000002A=23450000200000234500000000022

3400000000001例：用初等行变换化为行简化阶梯形r2+(-2)r10.5×r2r2

r3r1+(-5)r2对矩阵Am×n的行简化阶梯形矩阵施以有限次的初等列变换，可化为Am×n的标准形，即定理：例：4.3矩阵的秩例：子式：在矩阵Am×n中任取k行与k列，位于这些行与列交叉处的k2个元素按照原来的位置所构成的一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式。r1,r2与c1,c3交叉处构成的二阶子式

注：若A中所有k阶子式都等于0，则A中所有的k+1阶子式（若存在的话）也都等于0。A中不为零的子式的最高阶数r矩阵在作初等变换后其秩不改变。定义：设矩阵Am×n中有一个不等于0的r阶子式，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，则r称为矩阵A的秩，记为R(A)orr(A)orrA

。

注：矩阵A的行阶梯形矩阵中非零行的数目，称为A的秩r(A)。矩阵秩的性质：例：求矩阵A的秩，其中解：在A中，二阶子式A的三阶子式只有一个，且|A|=0则R(A)=2即|A|，解：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，三阶子式

则R(B)=3例：求矩阵B的秩,则B的四阶子式全为零。例：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式。行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3

．