第四至 五讲 概率与分布

第四讲概率与分布第四讲概率与分布一、概率的定义二、概率的确定三、概率分布四、抽样分布概率的起源布莱瑟·帕斯卡(BlaisePascul,1623—1662)

赌博规则：各押赌注32枚金币，每次各掷一粒色子；如果梅雷掷出一次六点，得一分，如果这位朋友掷出一次四点，得一分。谁先得三分，谁赢得赌博的胜利，获得全部金币。

赌博结果：梅雷已掷出了两次“6点”，朋友掷出了一次“4点”。

赌金如何分配？概率的起源皮埃尔·德·费尔马(PierredeFermat，1601—1665)

朋友观点：

我得一分，梅雷得二分，自己的得分是梅雷的1/2。因此，自己所得应该是梅雷的一半，即自己得64个金币的1/3，而梅雷得2/3。

梅雷观点：假设下一次朋友掷出了4点，那么我可能是掷6点，也可能不是6点。如果是6点，那么我首先得三分，分得64金币；如果我不是6点，我们都得两分，各得32金币。综合来讲，自己应得全部赌金的3/4，朋友只能得1/4。

成书于1657年的《论掷骰子游戏中的计算》，是迄今为止关于概率论的最早著作。克里斯蒂安·惠更斯(ChristianHuygens,1629—1695)概率的起源一、概率的定义

推出“印象聊城”实景演出，会受市场欢迎吗？麦当劳在聊城能否打败肯德基？外国连锁酒店在聊城能否盈利？（一）不确定事件其不确定程度会有差异。如东边日出西边雨VS守株待兔（二）确定事件

1、必然事件如：瓜熟蒂落

2、不可能事件如：水中捞月一、概率的定义（三）概率(Probability)：衡量某一事件发生可能性的数量测度。二、概率的确定

（一）试验(Experiment)：任何可以产生明确结果的过程。

试验试验结果抛掷一枚硬币

正面，反面拨打一次销售电话

购买，不购买投掷一枚骰子1，2，3，4，5，6进行一场足球比赛

获胜，失利，平局（一）试验1、样本点：任何一个特定的试验结果,用Ei表示。

2、样本空间：所有可能的样本点（试验结果）的集合,用S表示。试验试验结果抛掷一枚硬币

正面，反面拨打一次销售电话

购买，不购买投掷一枚骰子1，2，3，4，5，6进行一场足球比赛

获胜，失利，平局二、概率的确定

（二）概率的分配

1、概率分配的基本要求：（1）所有的k个试验结果满足∑P(Ei)=1。（2）对于任意一个试验结果Ei，必须有0≤P(Ei)≤1。

（二）概率的分配2、分配方法（1）古典法：适用于试验结果都是均等出现的情形；

P（Ei）=1/n

例：计算购买30选7福利彩票中头奖的概率。试验结果个数：30！/7！23！=2035800

中头奖概率=1/2035800（二）概率的分配（2）相对频数法：适用于多次重复做一个试验的情形；利用相对频数作为试验结果概率的分配方法。例一、预测湖人对火箭胜率。例二、假设在旅游产品市场评估的试验中，一共联系了100名潜在的顾客，结果有60人购买了该产品，而40人未购买。（二）概率的分配（3）主观法(Subjectivemethod)：适用于试验结果不是等可能发生的，且没有相对频数可用的情形。以主观判断为基础的概率分配方法。例：预测中国男足对巴西女足的胜率。天涯杂谈巴西女足绝对能赢中国男足

这帮巴西姑娘都是从小跟巴西男足踢大的。和中国男足踢，估计也不落下风。我看中国女足都能赢男足。看看她们第一场比赛进的两个远射，准头和力量都是中国男足那帮大款根本不具备的。行家一伸脚，便知有没有。一般一看传球质量，脚下技术，就能看出踢得好不好。我估计是4：0干掉中国男足，只要中国男足不耍无赖。巴西女足和中国男足踢，搞笑哦，如果都全力对打的话巴西起码输5个。不是一个重量级的是不能一起比的。好比拳击场上一个很次的重量级拳手在中量级中去打就会很强。中甲随便拉一个队去打巴西女足，都随便赢！！昨天看到了玛塔的过人动作,放眼世界足坛,无几人能出其右.中国男足拿什么和巴西女足比啊,巴西女足充满了创造力,而中国男足呢,就像一坛死水,除了海东中国没有一个像样的前锋.No.1ofLakersNo.1ofRockets二、概率的确定失败104-1112005-01-07失败79-842004-11-13失败85-932004-04-01失败93-962004-03-03胜利102-872004-02-11胜利99-872003-12-25失败93-932003-03-26失败99-1062003-02-18胜利108-1042003-01-17胜利93-892002-11-17失败98-1112009-05-07胜利100-922009-05-05失败81-932009-04-04失败96-1022009-03-12失败100-1052009-01-14失败82-1112008-11-10失败90-932007-11-15胜利95-932007-10-31胜利107-1042007-03-30失败101-1122006-12-15失败94-1022006-12-12失败88-1042006-04-02失败78-892006-02-08胜利114-1102005-04-072002--2009姚明火箭对阵湖人战绩三、概率分布（一）随机变量：试验结果的数值性描述，用数值描述每一个可能出现的试验结果。

1、离散型随机变量：可取一个有穷或无穷数列的值（变量值为整数）。

2、连续型随机变量：可取一个区间或一系列区间的任何值。试思考：如何判断随机变量是离散的还是连续的？取两个相邻的整数，看是否可以插入任一数值，且有意义。练习判断下列随机变量的可取值及判断随机变量是离散的还是连续的。

试验1：观察光岳楼一小时内游客到达人数，随机变量为游客人数；试验2：聊城旅游局统计一天的旅游投诉，随机变量为投诉数量；试验3：宏天宇统计每位顾客的用餐时间，随机变量为用餐时间；试验4：调查聊城大学学生的恋爱专一度，随机变量为恋爱次数。

（二）概率分布一个表示概率怎样在随机变量可能值间分布的描述。

1、概率函数：用f(x)标记，它描述离散型随机变量X取某一特定值的概率

P（X=x）。

（二）概率分布

2、概率密度函数：用f(x)标记，描述连续型变量X取某一特定值的概率密度（高度），它不直接给出随机变量X取某一特定值的概率。

随机变量在某一给定区间取值的概率P（a≤X≤b）被定义为概率密度函数在x1与x2间的图形的面积。（三）正态分布1、正态分布的性质（1）正态分布是对称的；（2）正态曲线最高点在均值，也是分布的中位数和众数；xf(x)μ2、正态分布的性质（3）曲线的尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交；xf(x)μ2、正态分布的性质（4）均值μ决定分布曲线在x轴的位置；2、正态分布的性质

（5）标准差σ决定曲线的宽度

（6）正态随机变量的概率由曲线下面积给出。一些常用区间的概率是68.26%，95.44%，99.72%（三）正态分布2、标准正态分布

均值为0、标准差为1的正态分布,随机变量用Z表示。标准差

=1Z

0标准正态分布3.正态分布概率的计算

一个人观看篮球联赛的成本（包括门票、食品、饮料等）平均为110美元，假定成本服从正态分布，标准差为20美元。a.一个人花费90美元或更少的概率是多少？b.观看成本超过100美元的概率是多少？c.一个人花费80至130美元的概率是多少？d.90%的观众花费少于多少美元？e.90%的观众花费多于多少美元？3.正态分布概率的计算SPSS操作过程：（1）CDF.NORMAL(quant,mean,stddev)其中quant代表随机变量值,mean为平均数，stddev为标准差函数返回的结果为随机变量小于或等于quant的累积概率。（2）IDF.NORMAL(prob,mean,stddev)其中prob随机变量的累积概率值,mean为平均数，stddev为标准差函数返回的结果为累积概率等于prob的随机变量值。四、抽样分布由30管理人员组成的简单随机样本的年薪和培训项目状况资料（一）样本统计量（SampleStatistic）样本均值样本标准差样本比率51814.00美元3347.72美元0.63样本统计量（一）样本统计量（SampleStatistic）1、总体参数：总体特征的数值描述，常用参数有均值、标准差、比率。2、样本统计量：样本性质的数值描述，常用统计量有均值、标准差、比率。总体参数参数值样本统计量样本统计值μ年薪的总体均值51800样本均值51814σ年薪的总体标准差4000s年薪的样本标准差3347.72p已培训的总体比率0.60已培训的样本比率0.63由30名管理人员组成的500个简单随机样本的统计值500个简单随机样本样本均值的概率分布500个简单随机样本样本均值的概率分布直方图3、抽样分布(Samplingdistribution)：样本统计量所有可能值构成的概率分布。（二）的抽样分布

中心极限定理(CentralLimittheorem)从任意总体中抽取样本容量为n的简单随机样本，当样本容量很大（n>=30）时，样本均值的抽样分布可用正态概率分布近似。

注：若总体为正态概率分布，对任何样本容量，样本均值的抽样分布均为正态分布。例：管理人员年薪的总体均值μ=51800美元。

样本均值所有可能值的均值也等于51800美元。有限总体修正系数(Finitepopulationcorrectionfactor)当n/N≤0.05时，一般可忽略有限总体修正系数。例：管理人员年薪的总体标准差为4000美元，n/N=30/2500=0.012≤0.054000练习一项调查显示，旅行时一个四口之家的日平均花费为1000元，假定四口之家日花费的总体标准差为1000元。挑选100个家庭组成一个简单随机样本进行研究。（1）说明样本均值（四口之家平均日花费）的抽样分布。（2）样本均值在总体均值左右200元以内的概率是多少？（3）样本均值在总体均值左右100元以内的概率是多少？休息一下，换一下脑子

相传很早以前，有一位聪明漂亮的年轻女王．她的容貌和地位不知吸引了多少求婚男子。有一天，三位求婚者同时登门。女王出了一个有趣的数学