2023年高考数学知识点三轮练习01 数列大题压轴练（解析版）

【一专三练】专题01数列大题拔高练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

1.(2023•湖北武汉•华中师大一附中校联考模拟预测)数列满足q=1,Yik=I+1.

J。”〃

7,7

⑴设2=f,求色｝的最大项;

(2)求数列｛““｝的前〃项和S”.

2.(2023•安徽蚌埠•统考三模)已知数列｛叫满足4=1,%,+L%,+l,%,=2%,ι.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设<='+'+÷-,求证：&<3.

Ga2%

3.(2023♦吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测)已知数列｛〃〃｝满足4=1,

〃〃+〃,〃为奇数,

%数列。〃满足a=〃2〃.

4-鹿,〃为偶数;

⑴求数列也｝的通项公式;

(2)求数列ɪ的前n项和5„.

IA%J

4.(2023•广东广州•统考一模)己知数列｛/｝的前〃项和为5,，且Sj,+2"=24+l

⑴求4,并证明数列住｝是等差数列：

(2)若2a；<S2k,求正整数k的所有取值.

5.(2023•湖南岳阳•统考二模)已知数列｛叫的前"项和为S,,,q=1,S,,+∣=2S,,+2-'

(1)证明数列［今］是等差数列，并求数列也｝的通项公式；

⑵设"=.，若对任意正整数”，不等式小<〃'、'"+、恒成立,求实数M的取值范

327

围.

6.(2023•广东深圳•深圳中学校联考模拟预测)在数列｛/｝中，α,=∣,

2

(3n+9)∙(n+l)¾+l=(〃+2)%.

⑴求｛q,｝的通项公式；

⑵设｛4｝的前八项和为S",证明：

7.(2023•山西•校联考模拟预测)在①H=弧:K；②么=『一；③2=2"册,

这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题.

2

已知数列｛%｝的前”项和sι,=na,,--n+-n.

(1)证明：数列｛《,｝是等差数列；

(2)若4=2,设,求数列｛2｝的前"项和7；.

8.(2023•吉林长春•校联考一模)已知等差数列｛%｝的首项4=1,记｛%｝的前〃项和为

Sn,S4—2出%+14=0.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝公差d>l,令J=，求数列｛%｝的前"项和却

9.(2023•浙江•校联考三模)已知数列｛《,｝是以d为公差的等差数列，d≠0,S“为｛%｝的

前”项和.

⑴若S6-S3=6,α3=l,求数列｛4｝的通项公式;

(2)若｛aιl｝中的部分项组成的数列,d｝是以《为首项,4为公比的等比数列,且生=4q,

求数列｛7%｝的前〃项和7；.

10.(2023•山西•统考模拟预测)已知数列｛%｝是正项等比数列，且2-6=7,44=8.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列｛⅛｝的前“项和S11.

①"=(2〃-1)为;②"=(2∏+l)log2α2fi-

11.(2023•辽宁沈阳•统考一模)设"∈N",向量A5=(〃一l,l),4C=(〃一1,4〃一1),

an=AB∙AC.

⑴令舟=%+「%，求证：数列｛〃｝为等差数列；

1113

(2)求证：一+—+*∙∙÷—‹7.

q444

12.(2023・福建厦门•厦门双十中学校考模拟预测)设数列｛〃“｝的前〃项和为已知

2

«1=1,2na,l-2Sn=n-n,∏∈N*.

(1)求证：数列｛q｝是等差数列；

2

(2)设数列也｝的前〃项和为且令C“喙,求数列｛%｝的前〃项和R,,.

13.(2023•山东潍坊•统考一模)已知数列｛4｝为等比数列，其前"项和为S,,,且满足

,,

Sn=2+m(w7∈/?),

(1)求机的值及数列｛%｝的通项公式；

(2)⅛⅛=∣log2βn-5∣,求数列也｝的前〃项和T,.

14.(2023•辽宁抚顺•统考模拟预测)已知S“是等差数列｛《,｝的前〃项和，，是等比数列

也｝的前〃项和，且4=0,bl=l,S2+T2=S3+T3=S4+T4.

⑴求数列㈤｝和也｝的通项公式；

⑵设c”=LI,求数列ɪ-1的前〃项和匕.

nIʤ

15.(2023•湖北•校联考模拟预测)己知数列｛%｝满足

Cl=2,(n-l')aπ+nan_t=θ(“≥2,"eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设5”为数列｛《,｝的前〃项和，求S2023.

16.(2023•安徽合肥•校考一模)已知数列｛%｝满足a­=点，4=3,%%=243.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵若仇=l0g3%,数列｛〃,｝的前〃项和为5“，求[+[+...+(∙.

dId2k∖

17.(2023∙辽宁葫芦岛•统考一模)设等差数列｛0,,｝的前项和为S“，己知q+∕+4=9,

31

%q=21,等比数列｛〃｝满足"+仇==,W4=TT.

464

⑴求S.；

Q)设C"=y∣^b.,求证：c1+c2+c3++cll<4.

18.(2023•山东枣庄•统考二模)己知数列h｝的首项4=3,且满足勺“+2%=22.

⑴证明：｛q,-2"｝为等比数列；

[d〃为奇数

⑵己知H=J、/,伸粉，刀,为也｝的前〃项和，求心.

[log,¾,“为偶数

偶数，

数列｛%｝满足%=%1τ∙

(1)求数列｛%｝和｛q,｝的通项公式；

⑵求数列｛%｝的前W项和S..

20.(2023•江苏•二模)已知数列｛q｝满足4=-g,(〃+1””+2创”讨=0.数列帆｝满足

4=1，bn+l=k-b,,+an.

(1)求｛4｝的通项公式：

(2)证明：当网41时，回43-需.

21.(2023∙江苏•统考一模)在数列｛4,,｝中，若。向一WM…勺="(〃eN*),则称数列｛q｝

为“泛等差数列“，常数d称为“泛差”.己知数列｛α,,｝是一个“泛等差数列”，数列｛〃｝满足

at+a2+'"+an=aia2a3'"an~^n∙

⑴若数列｛q｝的“泛差”4=1,且％,4生成等差数列，求4；

(2)若数列｛q,｝的“泛差”4=-1,且4=；，求数列｛2｝的通项H∙

22.(2023•辽宁辽阳•统考一模)某体育馆将要举办一场文艺演出，以演出舞台为中心，

观众座位依次向外展开共有10排，从第2排起每排座位数比前一排多4个，且第三排

共有49个座位.

⑴设第〃排座位数为4,(〃=1,2,L,10),求。“及观众座位的总个数；

(2)已知距离演出舞台最远的第10排的演出门票的价格为500元/张，每往前推一排，门

票单价为其后一排的Ll倍，若门票售罄，试问该场文艺演出的门票总收入为多少元？

(取11°=2.594)

23∙(2023∙浙江温州•统考二模)已知｛%｝是首项为1的等差数列，公差d>0,但｝是首

项为2的等比数列，a4=b2,as=b,.

⑴求｛%｝,｛2｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝的第E项0，满足(在①②中任选一个条件)，&∈N*,则将

其去掉,数歹U｛d｝剩余的各项按原顺序组成一个新的数歹£4｝,求｛c,,｝的前20项和S2。.

①log/%=%②超=3%+l.

24.(2023•山西太原•统考一模)已知等差数列｛%｝中，4=1,S“为｛《,｝的前〃项和，

且｛#；｝也是等差数列.

⑴求劣;

S

⑵设bll=--(〃∈N"),求数列｛2｝的前“项和T,,.

anan+∖

25.(2023•云南红河•统考二模)已知等差数列｛4｝的公差d>0,4=2,其前"项和为

Sn,且.

在①外,%成等比数列；②∙∣-m=3;③娘「3。的=〃：+34这三个条件中任选

一个，补充在横线上，并回答下列问题.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若数列色｝满足⅛=1+(-1)-all,求数列出｝的前2〃项和T2n.

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.

26.(2023•辽宁大连•校联考模拟预测)已知数列｛叫的前n项之积为s“=2丁(n∈N*)∙

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设公差不为0的等差数列｛〃｝中，4=1,求数列｛k>g2%+2%｝的前〃

项和

请从①以=々；②4+々=8这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.

27.(2023•山东•烟台二中校联考模拟预测)已知等差数列｛4｝的前n项和为5“，且％=13,

$6=72,数列出｝的前"项和为T.，且37；=%-4.

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式.

⑵记%=,若数列｛g｝的前〃项和为Qn,数列｛历｝的前〃项和为此,探究：

史此是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

%

28.(2023•湖南常德•统考一模)已知数列｛%｝满足A叁+L(M∈N,)•

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛bn｝满足勿=-ɪ-,求｛〃｝的前〃项和S-

anan+∖

29.(2023•山东济宁•统考一模)已知数列｛%｝的前"项和为S“，且满足：

%=1,”+]=2Sn+n(n∈N').

(1)求证：数列｛用已｝为常数列；

⑵设段+…+黄，求却

2X

30.(2023•湖南长沙•湖南师大附中校考一模)如图，已知曲线G：y=-7(x>0)及曲

x+↑

线C∕y=*(x>0).从Cl上的点2("wN+)作直线平行于X轴，交曲线C?于点Q,,,再从

点Q作直线平行于)‘轴，交曲线G于点C—点2的横坐标构成数列｛4｝[o<q<；).

⑴试求见”与凡之间的关系，并证明：%ι<g<%,("wN*);

(2)若q=g,求的通项公式.

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

【一专三练】专题01数列大题压轴练-新高考数学复习

分层训练（新高考通用）

1.（2023•云南曲靖•宣威市第七中学校考模拟预测）记S“为数列｛%｝的前"项和，TiI为

数列｛S,,｝的前“项和，已知S“+7；=2.

（1）求证：数列｛S,J是等比数列；

⑵求数列卜?4｝的前〃项和4.

【答案】⑴证明见解析

⑵4=5+2>C）-2

【分析】（1）由前”项和与通项之间的关系即可证明数列｛S,J是等比数列：

（2）以错位相减法求数列｛"4,｝的前“项和Al即可解决.

【详解】（1）因为4为数列｛S,,｝的前”项和，

当〃=1时，S1+7；=S1÷S1=2S1=2,则B=1

当〃22时，Tn-Tz=Sn

Sf,+7>2①Sflτ+M=2②,

S1

①一②得2S,=S-G≥2）,得U=弓（〃22）

ɔ/i-ɪL

所以数列｛s,,｝是首项为1公比为T的等比数列.

（2）由（1）可得，数列｛S,,｝是以Sl=I为首项，以g为公比的等比数列，

所以S（I=（B）.当”=1时，q=s∣=7j=ι,

当e时—小品讨，

2923_年高度数学重点专题三轮冲刺携练

1,H=1

显然对于〃=1不成立，所以％=-出，“≥2

当鹿=1时,Al=ai=l

当〃≥2时，4=1-2xg+3x(g)++”［；)

〃.出

IA=I2x((1+3x(3)++

212

上下相减可得gq=gɪ

鸣+(AY)i2

+("+2)(g)

则A=("+2)∙(g)-2

Xn=IBt,4=3x1-2=1

综匕An=(/2+-2

2.(2023•辽宁铁岭•校联考模拟预测)已知数列｛4｝中，4=1,出=；,且

5—1)〃

¾+∣=-----------5=2,3,4,∙∙∙).

n-an

1*

(1)设2=——K〃wN),试用口表示〃用，并求｛»｝的通项公式；

Q"+∣

⑵设3=CoSZr：(L(〃eN”)，求数列｛%｝的前〃项和5“.

【答案】⑴心小四勿，bn=3n

n

Csin3〃

⑵S，，=-cos(C3n+；3)、―cos3O

【分析】(1)根据提示d=；T(〃eN*)将条件2进行转化即可；

sin3一SinbZsinb„

(2)根据两角差的正弦公式可将G="S2％•化为裂项式求和•

cosbncosbn+lcos⅛w+1cosbn

1n-ann1

【详解】⑴∑TE=E一百，

2。23_年高造数学重点专题三轮冲刺逮练

1n1nnHI

-------11-1==--------(z------1)

a,,+l(n-l)an(n-l)-------｛n-∖)an(〃-1)(π-l)an

所以d=JY∖l"τ,所以&L匚n÷12，

n-∖n

所以4=媪==&=3,2=3〃.

nn-\1

(2)C=sin3=Sin(-)=sin%cos-—sin"cos%=sin%_Sinl

n

JCOSbllCOS⅛ZJ+ICOS⅛NCOS⅛ZJ+ICOS⅛COS⅛Π+1COS⅛+1COSd

Csinsinb,sinb,,sinb,Sin仇sin⅛,

所以S,-*+G2IL2-l+——L---------n.+——L---------------L

//1Y八nnn-∖+I=——f------lit1ι

CoS%COSbllCOSaCoS如COSP2COSP1

_sin⅛π+1sin⅛1_sin(3w+3)sin3_sin[(3π+3)-3]_sin3n

cos%cos⅛1COS(3∕2+3)cos3COS(3H÷3)cos3cos(3∕ι÷3)cos3

3.(2023•湖南株洲•统考一模)数列｛q｝满足4=3,a,,tl-a；=2an.

⑴若2%=%+l,求证：也｝是等比数列.

l↑

⑵若C,,=祀+1,｛。｝的前〃项和为7；,求满足4<100的最大整数

【答案】(1)证明见解析

(2)98

【分析】（1）由己知得α,m+l=（α,,+l）2,可得么+∣=2⅛,进而得证；

（2）利用错位相减结合分组求和可得7.，结合：项式定理进行放缩，进而得解.

6

【详解】（1）2-=αn+l,.∙.⅛n=log2（⅛+l）,⅛1=Iog2（3+1）=2,

由已知可得a"”="j+2”,,,

,a

∙∙,,+l+1=。；+2%+1=（«„+1）2,

，l°g2（a“M+l）=21og2（a“+l），

.%=陛2（4”+1）>2,

"b"log2（¾+l）'

所以数列｛〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列；

（2）由（1）得仇=2",

所以C“喑+1=^+1,

设4=爰，数列⑷的前〃项和为S”，

πlr,123H-In

则S,=*+级+>++F^+^^①，

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

IC123n-1nG

Ξs^≈?+F+F++万丁+F②，

①一②得;s”=J+!+*+n/?+2

2

所以S“=2-陪，

所以Z1=S,+〃=〃+2—<100(〃∈N"),

n

当刀=1时,2<n+2f

当〃=2时，2"=〃+2,

nn

当九≥3时，2=(l+l)>Cθ+C!j+C>n+2,

即0<竽<1，

〃+2

所以〃+1<〃+2--—<n+2,

所以”+2≤100,"≤98,

所以满足(<100的最大整数”为98

4.(2023•河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测)已知数列｛《,｝满足α,,+2=We+W,,

(w∈N+),α∣=l,a2=2,S“为数列｛4｝前"项和.

(1)若x=2,y=T,求S1,的通项公式；

(2)若x=y=l,设7”为前〃项平方和，证明：恒成立.

・小-、n(n+

【答案】(1电=」——∖∖

2

(2)证明见解析

【分析】(1)代入苍八将条件化为%+2-4出=。向-4，从而得到｛4*「4｝是常数歹h

进而得到｛%｝是等差数列，山此利用等差数列的前〃项和公式即可得解；

(2)利用数学归纳法推得要证结论，需证34M<2S*+4小≥2),再次利用数学归纳法

证得其成立，从而结论得证.

【详解】(1)因为x=2,y=-∖,

所以%+2=+Yan=2an+i-an,则an+2-an+l=αn+,-a„,

又4-%=2-1=1,

2。23_年高造数学重点专题三轮冲刺逮练

所以如“一叫是首项为1的常数列，则an+i-an=l,

所以｛q｝是首项为1,公差为1的等差数列，则α,,=01+（"-l）d=",

所以亚W

2

（2）因为x=y=l,所以q,+2=xα,㈤+M,=%+∣+4,

又4=1,α,=2,所以％=々+4=3,¾tl>an>0,∖∖）∖∖2an>an+an,l=α,,+1,

2

因为I,="：+%?++¾,5,,=αl+¾++an,

2

所以当”=1时，Tt=al=l,5l=izl=1,所以7；-Sl=O=；

假设当〃=M%≥2）时，有（一

则‘1〃=k+1口寸，Tk+i—Sk+l=Tk+a^l—Sk—ak+i<-SA/+—ak+l,

因为S2-S；=（S*+%+】）—Sj=2Skak^+a*,

所以要证加-&川<%/+吭-小〈卜窘（ZN2）,需证

2

4d+i-4<⅛+∣<S⅛+1-St=2Skak+i+⅛+1（%≥2）,

即证v2Sjl+4（%≥2）,

当Jt=2时,<¾=3,S2=3,则3〃3=9<10=2$2+4,

假设当*=r（r≥2）时,有3%<2邑+4,

则当A=r+1时，3%2=3%ι+3ar<2Sr+4+3ar,

因为对<2dr.l,所以3q.<2ar+2⅛.1=2ar+l,

所以3%+2<2S,+4+3ar<2Sl.+2ar+i+4=2Sr+l+4,

综上:30jwV25*+4（%≥2）成立,

所以a-&+m卜窘（八2）成立，

综上：7；-S,,<；S,,2恒成立.

5.（2023•山西朔州•怀仁市第一中学校校考二模）已知数列｛4｝满足4=3,且

2q,〃是偶数

π+11%-1,〃是奇数.

2。23_年高造数学重点专题三轮冲刺逮练

⑴设d=¾,+%ι,证明：他,一3｝是等比数列；

(2)设数列｛q｝的前〃项和为5“,求使得不等式s,>2022成立的„的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)20

b-1

【分析】(I)由己知条件，用⑸表示出打，得出。2〃二七一，再用%,表示出2田，得出

生“=第L联立得出口=22一3,通过构造得出口一3=2电-3),检验2-3x0,

即可得出证得结论；

(2)由(1)的结论表示出S?”2向+3〃-2,邑“+2=2-2+3〃+1和％,M=3∙2"+3”,

证出5“在〃eN*是一个增数列，通过计算即可得出答案.

:2勺,”是偶数

【详解】(1)证明：Ya用

q-i,〃是奇数

,∙a2n~a2n-i~ɪ>a2ιι+l=2/“,%“+2=β2zl+l-ɪ>

∙∙∙%,,τ=%”+1，

又1

•••"=/“+，“+ι=2⅛,+ι，

b-∖

・"亍n

〃，+1=a2n+2+”2，，+1，

a-a=,a

,∙b“+\=2n+l1+2n+∖^2n+l~ɪ，

又,，，“+1=2%“，

41

∙'∙⅛÷l=⅛,-.

⅛=⅝Γ1∙

%户="抑%=22-3,

.∙.⅛+1-3=2(⅛n-3),

又♦.⅛∣-3=tz1+α2-3=Λ2=αl-1=2≠0,

2。23_年高考数樊重点专题三轮冲刺搜练

.∙.bn-3≠0,

，数列｛〃-3｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)山(D可知数列也-3｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

Λ⅛,,-3=2×2Π^I=2",

即=2"+3,

a2n-∖+a2n=2"+3,

.∙.S,“=2(1-2")+3〃=2"÷∣+3〃-2,

1-2

π+2

.∙.S2π+2=2+3n+↑,

又［F=*-1，

a2n-t+a2n=2%,T-I=2"+3，

即/,…"F,

1''fl2n+l=2"+2

+n

∙--S2,l+l=S2n+a2n+^2"'+3n-2+2"+2=3-2+3n,

S2ll+l-S2,,=3•2"+3〃一(2"'+3〃-2)=2"+2>O,

+2

S2n+2-S2ll+i=2"+3”+1一(3.2"+3")=2"+1>O，

••4“在〃€曰是一个增数列，

9

S19=3×2+3×9=1563,

S,0=2"+3×10-2=2076>2022,

，满足题意的〃的最小值是20.

6.(2022春•河北衡水•高三校联考阶段练习)已知正项数列｛%｝的前〃项和为S,，且满

足α∣=l,a2=3,aπ+2=3απ+∣—2an,数列｛qj满足2%+3%+4匕+-+("+1)~.

⑴求出{q},{%}的通项公式;

2。23_年高造数学重点专题三轮冲刺逮练

CZ∙("+D5

(2)设数列一，的前"项和为，，求证：T1,<^-.

([Iog2(«„+1)]-Jɪð

1

【答案】⑴凡=2"-l,C,,=;~-.

(〃+1)r

(2)证明见解析

【分析】(1)根据已知条件可得数列｛%「4｝是等比数列，求出其通项公式，再利用累

加法求出数列出｝的通项公式；先求出。，再求出当〃≥2时，数列｛q-｝满足的等式,

即可求出数列｛g｝的通项公式；

(2)写出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和T1,,即可求证.

(I)

由4+2=34+∣-2q，

aa2

得n+2-n+l=(¾÷∣-¾)∙又%-4=2,

则数列｛q,α-α,,｝是首项为2,公比为2的等比数列，

.∖an+t-an=2×2"-'=2",

•∙α?—α∣=2,a：—ɑ?=2一，"%一2',...,Cin—4,,-∣2,

累加得4,-4=2+2?++2"τ,

1_2〃

∙*∙a=1+2+22++2"T=------=2”—1.

〃1-2

数歹∣J｛%｝满足22q+32c∙2+42j++(n+l)2ς,=n,①

当〃=1时，q=；；

=IM≥2U't,2^c∣+3^c2+4^c3++n^cll-l=n—\,②

1

由①一②可得ς,=~-V,

7(〃+1)

当W=I时，也符合上式，

故数列｛q,｝的通项公式为0”=谑y.

(2)

2923_年高度数学重点专题三轮冲刺携练

由(可得

1)2222

(Λ+2)[log2(αrt+l)](〃+2)n4

22(〃+1)?(〃+2)

55

4T6

故看＜2成立.

Io

7.(2022秋•河北衡水・高三河北衡水中学校考阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项和S〃满

足邑=6,2Sn=n+natt,H∈N*.

⑴求｛%｝的通项公式；

2

(2)数列出｝,｛cn｝,｛4卜满足〃=J%=b"b；、b”,且4=-⅛,求数

(A+1)-ɪ"∙2

列｛4｝的前“项和

【答案】⑴"“=〃("GN*)；

【分析】(1)利用S),与%的关系得到(〃-1)的-(“-2)%=1,然后得到

(n-2)απ-2-(n-3)αn-1=l,两式求差，得到以1=4,,+6^0^3)，这样判断数列｛4｝

为等差数列，然后计算4，%,得到首项和公差，写出｛4｝的通项公式；(2)利用｛4｝的

通项公式求出｛2｝的通项公式，然后利用q,,£i的关系，运用累加法求出｛g｝的通项公

式，然后利用｛5｝的通项公式求出｛%｝的通项，再利用裂项相消求出7?

【详解】(I)由题意知2S,,=〃+〃4,25,,.l=w-l+(n-l)α,,-l,(n≥2)

两式相减得(〃-l)%τ一("-2)αz,=l,(n≥2),故(〃-2)4_2-(〃-3)加=1,("≥3),

两式相减得2(〃-2)加=(〃-2)4+(”-2)%(,≥3),

即¼,-l=an+alt_2(n≥3),可知数列｛q,｝为等差数列，

又S3=6,则q+勺+%=3%=6,解得4=2,

2。23_年高造数学重点专题三轮制刺逮练

又因为2S∣=l+q,所以％=1,等差数列｛ɑ“｝的公差d=ɑ2-4=l，故ɑ“="（〃wN*）.

("+if(〃+1『

(2)由题易知％=4期TLa(“≥2),又因为

4=2

(¾+ι)-ι(Λ+1)^-1〃(〃+2)

所以^t=她Lb"=⅛⅛⅛l⅛¾=¾TΓ

（心2）

一，Q2∙3CQ2-4ς,=2(〃+i)

由累乘法可得：丁丁-=V("≥2)

%〃+2

3∙2"T4,〃+1

所以Wc=■7，（〃*2），因为J=4=g,所以%=篇，（〃"），

4*7〃+iC211

当〃=1时，仇==也符合，所以%=/一，(n≥l),则4=∙⅛-------=--------

3n+2"N??(/?+2)nn+2

7；=4+4+L+d=↑--+---+---+L+-———

w1-f"t32435nn+2

13__11

2n+∖〃+22〃+1〃+2

8.（2023•广东•校联考模拟预测）已知数列h｝的前〃项和为5,,且

,

S1+2S2+3Sy+■—F∏S11=∏.

⑴求数列｛«„｝的通项公式;

⑵若2=〃％,且数列出｝的前〃项和为《，求证：当“23时，^<1÷11）+J4.

2n-∖

Ln=l

【答案】（IM,=31„>2-∏∈N∙

n[n-∖）

（2）证明见解析.

3/2+ɪ-3,n≥2S∣>n=1

【分析】（1）由题可得S,,=n后由q=,S2—，，”=2,neN,

Sl=Ln=lS,-S,τn≥3

可得数列｛4｝的通项公式；

（2）由（1）可得"，T11<—ʒ-—ɪn—4=-（3+?+H——'后・由数

2n-∖I2n-∖）n-∖

学归纳法可证明结论.

【详解】(1)由题，“≥2时，有S∣+2S2+3S3+…+("-l)S,ι=("-l)3,则

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

[3/7"—3n+Ln≥21

nStl=<=C3〃+——3,n≥2

[S1,n=↑5〃=(〃

Ln=1

Ln=1

S/n=1

则4=<S2-S],n=2〃∈N*=4=<g,n=2,∕ι∈N*.

.S"-S,τn≥3

3-ɪ-/7≥3

tι[n-l)

LTi=I

注意到]=3-丁二，则1">,，”cN".

22×137^∖,rlN2

/T)

〃，H=I

(2)由⑴可得1”wN",则

(〃T)

当“≥3时,

=3-2+6-1+9」+3”———3/7(72+1)3l÷l÷1

++-------

3n—1223n—1

故所证结论相当于,-(3+，+…+Jγ]≤Jγ-4,∕≥3.

[2n-1)71-1

当"=3时，结论显然成立；

假设〃=Z(Z≥3,AcN*)时，结论成立，则一(3+:++7l7]≤7l7-4,

INK—1JK—1

当刀=左+1时，因左≥3,k(k-1)一k=k(k-2)>O,则

-(3+：+

综上，结论成立.

9.(2022秋•山东青岛•高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习)对于项数为机的数列

｛a,,｝,若满足：l≤q<%<<am,且对任意l≤i≤j≤"?,令吗与鱼中至少有一个是

4

■“｝中的项,则称｛《,｝具有性质P.

(1)如果数列4，a2,a3,%具有性质?，求证：α∣=l,a4=a2-a3.

(2)如果数列｛《,｝具有性质产，且项数为大于等于5的奇数，试判断｛4｝是否为等比数列？

并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

2。23_年高造数学重点专题三轮冲刺逮练

(2)｛%｝为等比数列，理由见解析

【分析】(1)根据性质尸的定义，易得4=1，幺,立是数列中的项，再根据

%a3

l<al<a2<<am,可得％=4,即可得证；

出

(2)根据性质户的定义，易得4=1,等L(2≤i≤2Z+l,ieN)是数列中的项，从而可

得当L=4,(l≤p≤2A+ι,peN),同理有=4,(l≤p≤2A-2,p∈N),进而可得

a2k+2-pa2k+∖-p

^-=¾(l<p<2fc,p∈N),即可得出结论.

【详解】(1)因为包>1，a4-a4>a4,所以不是数列中的项，

所以幺=I一定是数列中的项，所以6=1,

%

又因为4,/>%，a4∙a3>a4,

所以包9，4•%不是数列中的项，所以幺,生是数列中的项，

a2a3

因为1≤V%<生<。4，所以1<」<-ɪ<〃4，

〃3a2

所以包=%，所以。4=。2。；

«2

(2)当数列｛%｝的项数m=2%+l,(A∈N,A≥2)时,

因为/A+1>1,a2t+l-a2k+l>β2*+l>所以。2%+1，。2%+1不是数列中的项,

所以咏=1一定是数列中的项，所以q=1,

a2k+]

因为对于满足2<i<2k+∖的正整数i,都有叫•4>a2k+i,

所以，廿《(2442么+1,左2不是数列中的项，

从而咏是数列中的项，

a∣

又I=咏<咏<咏<<咏<咏=*,

a2k+∖a2ka2k-∖a24

所以“刈=0,(l≤p≤2k+l,PWN),

a2M-p

从而有a2k+l=ap-a2k+2,p=αχ,+l∙a2k+x,p(l≤p≤2左+l,p∈N),

所以3L=阻，

a2k+∖-pap

2。23_年高超数学重点专题三轮制刺逮练

从而有咏="=%，出=&，3=上J%l=也，

a2ka∖a2k-∖a24+2ak-∖4+1〃4

因为对于满足的正整数均有

2>≤i≤2ki,a2k-a.>a2k-a2=O2M,

所以色Le{%，，，，%+∣},

a,

Xl=-<—<—<<—<—=¾-∣<¾<¾÷.

a2ka2k-∖a2k-2。3。3l

所以q-=%,(14p42%-2,p∈N),

a2k+↑-p

从而有a2k=%∙hp=al,+l∙a2k,p(l≤p≤2⅛-l,peN),

所以JL=也，

咏P册

)J而有“k=a2一aa2k-∖__£1⅞÷3-⅞-l⅞+2—⅞

a2k-∖a∖a2k-2a2ak+2¾-2¾+lak-∖

i

∕λ]fn^-y-=a2(l≤p≤2⅛,^∈N),

所以对于项数为大于等于5的奇数且具有性质尸的数列是以1为首项，出为公比

的等比数列.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或

给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供

的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义

问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，”照章

办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

10.(2022秋•山东青岛•高三统考期末)记数列｛4｝的前〃项和为s“，4=1,.

给出下列两个条件：条件①：数列㈤｝和数列⑸+囚｝均为等比数列；条件②：

22+2"-4+...+2”“="%.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完

成下列两问的解答：

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

(1)求数列｛%｝的通项公式;

2n

(2)记正项数列出｝的前”项和为7.，4=电，b2=a,,4Tll=hn-bll+l,求Z[(T)'她+].

/=1

【答案】⑴=2"T

(2)8n2+8n

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

【分析】(1)选择条件①：先由｛S,,+αl｝为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等

比数列｛q｝的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；

1

选择条件②：先由2"a,+2"-a2+-+2an=一得出

n,12

2al+2'-02+∙∙∙+2¾-l=2(∕7-l)a,,(n>2),两式做减即可得出α向=2q(∕≥2),再验

证”=1时即可利用等比数列通项公式得出答案；

(2)通过47；=6“也川得出47"=%τ∙d("≥2),两式相减结合已知即可得出

即数列佃｝的奇数项、偶数项分别都成公差为的等差数列，将

⅛+∣-⅛-I=4(W≥2),4

次［(f'4∙%］转化即可得出答案.

J=I

【详解】(1)选条件①：

•数列⑸+4｝为等比数列，

•■(,^2+aι)=(B+4)(S3+4)，

2

即(20,+¾)=2αl(2al+a2+03)>

4=1，且设等比数列｛%｝的公比为夕，

.∙.(2+q)2=2(2+q+/),

解得4=2或g=0(舍)，

.∙.an=alq"-'=T-',

选条件②：

n1

2al+2"a2-F----+-Ian—∕wιπ+1①,

.12"'q+2""+----F=(附―1)a“(“≥2),

,,l2

即2"ay+2^¾+∙∙→2ɑ,ɪ=2(〃—1)4,,(“≥2)②，

由①②两式相减得：="4+∣-2("-l)q,("≥2),

BPαπ+,=2απ(n>2),

令2%+2”&+…+乜=MT“中”=1得出4=2%也符合上式,

故数列｛《,｝为首项4=1，公比4=2的等比数列，

则4=WT=2"T,

2。23一年高造数学重点专题三轮冲刺逮练

（2）山第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列｛%｝为首项4=1,公比4=2的

等比数列，即∕=2"τ,

则bl=a2=2t4=4=4,

包,=媪%③

••.4%=%也(〃22)•④,

由③④两式相减得:4(Tn-T^)=bn-bn+i-bn,i-bn(〃≥2),

即畋=媪(%-如)(“≥2),

数列｛2｝为正项数列，

则%-"T=4("22),

则数列也,｝的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，

,i

∑[(-D‰]=4∑[(-l)T;]=4(-7；+7；-7；+7；+-T2n,l+T2n)t

/=I/=I

即∑[(-1)''‰]=4(⅛2+b4+b6++b2n),

数列也｝前2n项中的全部偶数项之和为：4〃+*≡9X4=2/+2〃,

则玄[（-1）'姐+j=8〃2+8〃.

11.（2022•湖北・黄冈中学校联考模拟预测）已知数列｛q｝满足”,产。，

⑴若anan+2=ka^+l>0且4>0.

（i）当｛lgq｝成等差数列时，求左的值；

（iɪ）当女=2且4=1,4=16及时，求％及a”的通项公式.

=aaβ=-

（2）>f½'On¾+2~^^n+ιn+3>lɪ›/<°，4€[4,8].设S“是｛