第2课时对数函数的图象和性质（二）-解析

第2课时对数函数的图象和性质(二)题型一与对数函数复合的含参函数的值域例1若函数的值域为，求实数的取值范围.【解析】要使函数的值域为，则真数取遍所有正数.当时，符合要求.当时，则，且二次函数的图象与轴有交点，所以，即，又因为，所以综上所述，题型二与对数函数复合的含参函数的单调性例2若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【解析】令,则.因为关于单调递减，所以在区间上，关于单调递减，且当时，，由二次函数的性质可知,解得.所以实数的取值范围为.注意例1、例2都是二次函数与对数函数的复合函数问题，解法是由题设的复合函数的特征导出其中作为真参数的二次函数的特征，然后运用二次函数的性质来确定其中参数的取值范围.例3已知函数的定义域为，求函数的值域和单调区间.【解析】因为，所以所以当时，；当时，；所以当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.令，则在区间上是增函数，在上是减函数.由的单调性，可得：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.注意(1）对于且型函数性质的讨论，不能忽略的定义域、值域、单调性对整个复合函数的影响.(2）当底数为字母时，一般要分和两种情况讨论。基础精练11对数函数的图象和性质（二）A组1．已知函数在上有，则（） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数【答案】C2．已知函数（，为常数，）．若时，恒成立，则（） A． B． C． D．【答案】A3．设，则下列不等式正确的是（） A． B． C． D．【答案】D4．对于函数的奇偶性，下列判定正确的是（） A．奇函数，不是偶函数 B．偶函数，不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A5．若，则函数的图象不经过（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D6．若在上是减函数，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在上恒成立，又，所以，所以，．当时，在上，增大，减小，增大，即当增大时，增大，所以是的增函数，与已知矛盾，故．综上可知，．7．已知是上的减函数，那么的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，．若为上的减函数，则在时恒成立．令，则在时恒成立．故，且，即，所以．8．已知函数，，则关于的不等式的解集为________．【答案】9．方程的解为________．【答案】10．函数的单调递减区间是________．【答案】B组11．已知函数，，且．若在区间上的最大值为，则（） A． B． C． D．【答案】A12．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意只需，解得．13．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B14．若函数有最小值，则实数的取值范围是（） A． B．， C． D．【答案】C15．设，，函数有最大值，则不等式的解集是________．【答案】16．已知函数（且），求函数的定义域，并讨论函数的单调性．【答案】当时，定义域为，是增函数；当时，定义域为，是增函数．17．我们知道，（，且）与（，且）互为反函数．只要把其中一个进行指数、对数互化，就可以得到它的反函数的解析式．任意一个函数，将用表示出来能否得到它的反函数？据函数的定义：对于自变量的每一个值，都有唯一确定的值与之对应．如果存在反函数，应是对于的每一个之，都有唯一确定的之与之对应．据此探究下列函数是否存在反函数，若存在，求出反函数；若不存在，请说明理由．（1）； （2）； （3）； D．．【解析】（1）是单调增函数，由，解得，这时对任意，都有唯一确定的与之对应，也就是是的函数，按习惯用表示自变量，表示函数，则的反函数为．（2）因为是单调增函数，所以也存在反函数，由，解得，所以的反函数为．因为这里的就是中的且，所以，即反函数为．（3）当时，都有．反过来，对于，有两个值与之对应．故不存在反函数．（4）由，解得，对的每一个值，都有唯一值与之对应，故存在反函数，反函数为．18．已知函数．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围及函数的值域；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．【答案】（1），值域为；（2）．19．设函数，．（1）若方程在上有根，求的取值范围；（2）设，若对任意的，，都有，求的取值范围．【解析】（1）等价于，故．（2）首先在上恒成立，即，故；其次，，，于是，于是．20．已知