2023届高考数学冲刺必刷押题密5卷（解析版）

2023届高考数学冲刺必刷押题密05卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.集合4={》|（2-司（4-司（8-%）＞0,尤eN+},8不为空集，5uA,若8中的元素之和为

奇数，则满足条件的集合B的个数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】先根据题干得出集合4再分个数讨论8集合，即可得出满足条件集合个数.

【详解】A={x|（2-x）（4-x）（8-x）＞0,xeN+}={l,5,6,7},

8不为空集且3uA,

若8中的元素之和为奇数，

当集合B有四个元素则B可以为{1,5,6,7},

当集合B有三个元素则B可以为{1,5,7},

当集合B有两个元素则B可以为{1,6},{5,6},{7,6},

当集合B有一个元素则3可以为{1},{5},{7},

则满足条件的集合8的个数为8.

故选:D.

2.复数[焉与下列复数相等的是（）

【答案】B

【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.

【详解】由题设，二^=—2E+6I）=.+gi=cos\+ising,故A、C、D错误；

1-V3i（1-V3i）（l+V3i）2233

而cos（_5j+isin]_?]=cos5+isin。，故B正确.

故选：B

3.已知数列{%}是等差数列，数列也}是等比数列，若为+4+&=5兀，白贴6=3内，则

ax+%

tan)

1—K2bO,

旦

A.有B.-百C.D.

3

【答案】A

【分析】利用等差、等比中项的性质求得如音、％=技进而可得4+%=*她=3，

代入目标式求正切值即可.

、、5兀10兀

【详解】由。2+。4+。6=3。4=5兀，故〃4=}-，则%+%=%+%=3

瓦b4b6=，=36，故“=6，则8%=3,

一a,+a./5兀、271r-

所以tanFe（一石）-an寸色

故选：A

4.现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深

圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6m,结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数

学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得

到曲线方程为y=Asin(s+e)(A>O,0>O)(无，y的单位：m).该游客根据观察发现整个运

动过程中，相位的变化量为?兀，则。约为()

A.0.55B.0.65C.0.75D.0.85

【答案】A

【分析】根据建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表达出运动过程的位移变化量，即

可计算出。的值.

【详解】由旋转楼梯高为15.6m知，投影到轴截面上后，

对应曲线〉=4$皿的+夕)(4>0,0>0)中，游客移动的水平距离是15.6,

:初始时游客在最底端,

...当x=0时，初相为

•••整个运动过程中，相位的变化量为牛兀，且最后游客在最高点,

4

，最后的位置15.60+0，

/.15.6刃+"一夕=口兀，

解得：。。0.55,

故选：A.

5.已知w>0,函数小)=3可卬尤+3-2在区间pn上单调递减，则w的取值范围是

()

A.f0,-B.(0,2]C.D.

【2」'」[24」[24J

【答案】D

【分析】根据正弦函数的单调性求出函数/(X)的单调递减区间，然后根据条件给出的区间

建立不等式关系进行求解即可.

■、工fr-nfc,兀,兀,er37r.ZQ2kit712%兀57r

【详角牛】由2^71H—wxH—K2%兀H、kGZ,------1-------------------1-----,k£Z

242w4ww4w

即函数的单调递减区间为--­+~+■、keZ,

_w4ww4w_

令k=o,则函数f(x)其中一个的单调递减区间为：肃，工，

函数/(%)在区间g兀内单调递减，

则满足*，得:，所以W的取值范围是.

兀/兀/424

——<—w<—

〔4卬2〔5

故选：D.

22

6.已知双曲线C：3-4=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为片，F2,尸为C右支上一点,

与C的左支交于点。.若l?QI=|PKI,则C的离心率的取值范围是(

A.(1,3]B.(2,3]C.(75,3]D.(2,出1

【答案】C

【分析】由双曲线的定义可得。6=2”，结合余弦定理及双曲线性质可得

PF,=>c-a,化简求范围即可.

2c2-5a2n

【详解】

F2x

由题意易得：PF「PF?=PQ+QF「PF?=QR=2a,所以。工=4a

(m+2<2)2+m2-4c2m2+m2-16a2

设/月?工=6,PF2=m由余弦定理可得cos。=

2m^m+2a)W

则02-5°2>Qne>亚

设点尸伍,为）52。），则Jo=〃"今=（x（）-c）2+¥=（用-。）2,

^m=exQ-a>c—a

所以2；5Nc-〃n(e+l)(e+l)(e-3)W0=>eV3,故e£(«,3].

故选：C

0204

7.已知〃=——，/?=—(e«2.718),c=sin0.1,则()

7ie

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

jr

【分析】作差法可得出。泊.构造函数〃尤）=2x-7tsin尤，通过导数得到函数在0,-上的单

O

调性，即可得出。<。，进而得出答案.

【详解】由已知。-6=丝-学=吗1-2兀），

又e?>2.7?=7.29>2兀，

所以，a-b>0,所以a>b.

令/(%)=2犬—兀sinxxG%,则)=2-7lCOSX.

兀

4*g（^）=2-7icosx,贝lj8'（九）=湛11%20在0,—上恒成立,

JT

所以g（x）=2-兀cosx在0,—上单调递增，

JT

所以，/'（x）=2—7icos%在0,—上单调递增.

|_6_

又/（胃=2一兀吟=2一字<0,

所以，/'（“<0在%上恒成立，

7T

所以，/（九）=2x—7isin尤在0,—上单调递减.

6

X/（O）=O,0<0.1<-,所以有/（Ql）=0.2—7tsin0.1<0,

6

02

即0.2<7isin0.1,整理可得一vsinO.l,

71

所以a<c.

综上所述，b<a<c.

故选：B.

8.己知三棱锥S-ABC的底面4BC是等边三角形，平面SACL平面A8C,

SA=SC,ZASC=90°,M为SB上一点，且AM_LBC.设三棱锥S-ABC外接球球心为。，

则（）

A.直线。MJ_平面SAC,OA±SBB.直线OA/〃平面SAC,OA±SB

C.直线。A/_L平面SAC,平面。4M_L平面SBCD.直线OM〃平面SAC,平面0AMJ.

平面SBC

【答案】D

【分析】画出几何图形，根据题意先找出ABC和S4C的外心，通过两个外心与平面的位

置关系确定出球心位置，再根据线面垂直判断OA与SB的位置关系，继而可判断平面0AM

与平面SBC的位置关系，最后根据线线平行判断出直线与平面&4C的位置关系.

【详解】第1步：判断。4与SB的位置关系，

如图，取AC的中点E,BC的中点月

连接AF,BE,设AF与BE的交点为。，连接OM,

则。为d4BC夕卜心,E为S4c外心，

因为平面&4C_L平面ABC,

所以。为三棱锥S-4BC外接球球心，

因为SEJ_4C,BEYAC,SECBE=E,

所以AC_L平面SBE,

又SBu平面所以AC_LS8,

假设OA_LS8,因为ACcQ4=A,所以SB_L平面ABC,

如图显然SB不垂直于平面ABC,所以OA不垂直于SB,故A、B错误;

第2步：判断平面0AM与平面SBC的位置关系，

因为AM_LBC,AFLBC,AMAFA,

所以BC_L平面AMR

又3Cu平面SBC,

所以平面0AM_L平面SBC；

第3步：判断直线0M与平面SAC的位置关系，

因为AC_L平面SBE,所以AC_L0M,

因为8C_L平面所以BC_LOM,

又ACBC=C,所以0M_L平面ABC,

又SE_L平面ABC,所以OM〃SE,

所以直线0M〃平面SAC,故C错误，D正确.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.设储石分别为随机事件A，B的对立事件，已知。〈尸(A)<1,O<P(B)<1,则下列说

法正确的是()

A.P(B|A)+P(B|A)=I

B.P(B|A)+P(B|A)=O

C.若A,B是相互独立事件，则尸(A⑻=P(A)

D.若A,8是互斥事件，则P(B⑶=P(B)

【答案】AC

【分析】计算得AC正确；当42是相互独立事件时，尸(叫力+尸修同=2尸⑻/0,故

B错误；因为A,B是互斥事件，得尸(叫A)=0,而尸(8)e(0,1),故D错误.

【详解】解：P(冏力+P(引力=曳号篙些=鼠=1,故A正确；

当43是相互独立事件时，则P(叫力+尸伍区)=2尸⑻/0,故B错误；

因为48是相互独立事件，则P(AB)=尸⑷PCB),所以尸(4忸)=’黑=尸(4),故C正

确；

因为A,8是互斥事件，尸(AB)=O,则根据条件概率公式尸(叫A)=0,而为A-(0,1),故

D错误.

故选：AC.

10.已知函数/(x)=sin(ox+e)(其中。＞0,|同＜],T为〃尤)图象的最小正周期，满足

兀T

，且/'(X)在(0,兀)恰有两个极值点，则有()

71

A.（D=------

6

B.为奇函数

1117

C.——＜a）＜——

66

D.若0eN*,则直线y=为/(x)图象的一条切线

【答案】BCD

【分析】根据三角函数的图象与性质可得?=-[,工，继而可判定各选项.

366

【详解】因为/[曰=/]3，T=胃,所以sin(7i+0)=sin1+d,

则71+9=1+0+2fal(不符题意，舍去)或兀+夕+了+"=2(也+5)

故夕=也一1，而M＜g,贝l]°=T，即A错误；

DZJ

y=/1x+Wj=sin(0x),Wsin(-cox)+sin(＜yx)=0,所以是奇函数，B正确；

由/(x)=sin^x-^在(0,冷恰有两个极值点，根据正弦函数的图象及性质可得

3兀兀，5兀11,17JX.「十也

一＜am——＜一一，故C正确；

23266

当oeN*时，由上可得0=2,即/(x)=sin(2尤一.),则尸(x)=2cos(2x-1^

当x=0时，尸(0)=1,〃0)=-3，则＞=式_也是〃x)=sin(2尤-1的一条切线，即D

正确.

故选：BCD

11.已知函数/'(x)=¥，e是自然对数的底数，贝U()

A./（2）＜/（3）

B.若x^wc2=%，贝U玉+%=2e

c.“X)的最大值为:

11

D."0<x<2”是“炉<(x+1产”的充分不必要条件

【答案】ACD

【分析】首先求函数的导数，判断函数的单调性和函数的最大值，判断AC,由特殊值判断

B,根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义判断D.

【详解】尸(无)=r(x)=O=>x=e,

当0<x<e时，/^x)>0,f(x)单调递增，

当x>e时，r(x)<0,“尤)单调递减，

e<3<4,.•.〃3)>〃4),

〃4)=号=殍=〃2),.•.〃2)<〃3),故A正确;

由单调性可知，当x=e时，函数取得最大值〃e)=L故C正确；

e

若玉In%=X21n%，则三1二竽1，即〃石)=/(%2)，

由/⑵=〃4)可知，2+4w2e,故B错误；

1人pin%ln(x+l)

不寸式丘<(1+1尸+1"仿于工'<7+］，

当0<xKe—l,l<x+l<e,因为函数/(%)在(0,e］单调递增，

所以〃x)<〃x+l),即故/<(x+i)5，

当e-l<%<2时，贝！Je<%+1<3,

因为函数八%)在(。目单调递增，在(e,3)单调递减，

〃x)<〃2),/(x+l)>/(3),又〃2)<〃3),

所以〃x)</(x+l)，即k<(x+l)新，

11

所以当。〈尤<2时，行<(x+1)获，

故"0<%<2"是“/<a+1启”的充分条件，

1111

又因为23<32,所以(23尸<(32尸，即25<3号，

11

即x=2时，尸<(x+l)就也成立，

故"0<x<2"不是“/<(x+1)+”的必要条件，

11

所以“0<无<2”是“广<(X+1)才’的充分不必要条件，D正确.

故选：ACD.

12.已知数列｛%｝为公差为d的等差数列，也』为公比为q的正项等比数列.记

、=%+%++3,,G.=标E。,,=巷（。*-4）2,F.y则（）

nnk=\nk=\5

n1

参考公式：=I123+22++/=—〃（〃+1）（2〃+1）

.kA6

7

A.当月=5时，q=2B.当。5=2时，D7=4

弋13

C.0D，4瓦万

【答案】BCD

【分析】根据等差数列、等比数列的性质及求和公式一一计算即可.

【详解】对于A项，由题意易得：当〃=3时，Gs=我函=d，F3=1+1+4=]

显然2时，玛w7],故A错误；

15

对于B项，由题意易得：。5=2=^X(4-%)=2d2nd2=],

3k=\

17

即。7=亍£(4-〃4)2=4/=4,故B正确；

/k=\

（〃T）

="q2'q"'

1

2若=1,

n

当且仅当伪=8=…d时取得等号;

2x^+1

=1,

当且仅当4=包=...£时取得等号;

故C正确；

"(q+a“)

对于D项，由已知得:2q+4，

4=

n2

故与”=+ta-"R=£\(i2+22+-+R)k(k+l)d2

十1后=]乙乙K十13

故裂项可得：六=*)-士,.),

LL-V1S33(11111>3k3—A

所以'万二=,而南=”〔e+5v+…》一庐.币</，故IZD正确；

故选：BCD

【点睛】本题考察数列的综合，需要较高的计算能力与逻辑思维能力，属于压轴题.

C项的关键在于化简得G,产眄,再将以用基本不等式分类讨论求最值；

D项的关键在于利用条件化简得%’,=生也，再用裂项相消求和判定不等式.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。

13.甲、乙、丙3名同学在《将相和》《沙家浜》《红灯记》中选择一个观看，若甲单独选择

一个剧目观看，则甲、乙、丙3名同学观看的剧目各不相同的概率为,

【答案】1/0.5

【分析】记“甲独自选择一个剧目观看”为事件A,记“甲、乙、丙3名同学观看的剧目各不

相同”为事件B,再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记“甲独自选择一个剧目观看”为事件A,

记“甲、乙、丙3名同学观看的剧目各不相同”为事件B,

则尸网=于［，P(.)=苧故「但田=需=1.

故答案为：■

14.在圆锥内放入两个大小不等的外离的球&与球。2,半径分别为r和R,且R=4r,使

得它们与圆锥侧面和截面相切，两个球分别与截面相切于点E,F,在截口上任取一点A,

又过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点8,C,则可知线段4E,A尸的长度之和为常

数.若圆锥轴截面为等边三角形，则截口曲线的离心率是.

【答案】叵

9

【分析】取两球与圆锥同一母线上的切点G,"，连接qG,OJ/,O/，aE,连接&S交所于

点K,则有S0|=2r,SO2=8r,GH=35,从而得点A的轨迹是以点瓦尸为焦点的椭圆，

且2a=GH=g(R-r)=3gr,2c=EF=\ZTTr,再由离心率的计算公式求解即可.

【详解】解：如图所示：

取两球与圆锥同一母线上的切点G,a,连接连接02s交囱于点K,

所以加。2=9不

因为圆锥轴截面为等边三角形,

2Jo

」一=后SH=5良—^―=y/3R=4后so3‘一=2厂

所以tan71717171.71.71

tan—tan—tan—sm—sin—

666666

soi」-=2尺=8厂

.71.71

sin—sin—

66

cc_GH_6(R-r)_

l2

所以GH=SH-SG=瓜区-r)=3拒r,°°~兀一兀"(Rr)-6r

cos—cos—

66

由题意可得AE=AC,AF=A8,所以AE+AF=AB+AC=G8=G(R-r)=3^r,

所以点A的轨迹是以点区产为焦点的椭圆，且2a=6(7?-r)=36厂,

O,KFK0Fr1

NSFKZOZEK，所以方：=6=寸}石=方=丁

C79AzSAU?乜K4

又O|K+O,K=002=2(R_r)=6r,所以(^K=2"("一”=—,OK=2'(、一厂)=—

R+r5tR+r5

A，(3R-r)(R-3r)4而r'FK=EKq[EK=^

所以EK=也晓-/=

R+r5

所以£F=EK+FK=JHr,即有2c=JHr，

g、[看、％c2c

所以离心率e=—=—=V2lLT^r="2LI^=V-3-3.

a2a3V3r3A/39

故答案为：与

15.在平面直角坐标系中，已知4（1,。）,3（3,a+4）,若圆Y+y=4上有且仅有四个

不同的点C,使得一ABC的面积为乔，则实数。的取值范围是

【分析】求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为若，转化为圆心到直线的距离

进行求解即可.

【详解】由已知可得，A3的斜率左）二丁=2,|AB|=7（3-l）2+（。+4-=2A/5.

又.ABC的面积为百，所以点C到直线A3的距离d=&喳=1.

2V5

直线AB的方程为y—a—2(x—1),即2x—y+a—2=0.

\a-2\y[5\a-2\

贝!J圆心。至！J直线2x—y+a—2=。的距禺4=/??=z

V22+(-l)25

交圆。于点D.

因为圆/+y2=4上有且仅有四个不同的点C,使得ABC的面积为

又点C到直线的距离1=1,

则应有口目>1,所以|0E卜r-\DE\=2-\DE\<l,

即点0到直线AB的距离小于4<1,

所以有6"一2]<],

5

解得2-逐<°<2+右.

故答案为：（2-石,2+石）.

16.在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，上4,底面ABCD,AB=2,BC=3,

PA=3/,HE为棱外的中点，则三棱锥E-PCD的体积为；若四棱锥P-ABCD

所有顶点均在球。的球面上，过点E的平面截球。所得的截面面积的最小值为.

【答案】巫子

24

【分析】根据已知条件作出图形，利用等体积法求体积；利用补全法得出四棱锥外接球即为

长方体的外接球，当OELc时，截面积最小，再利用圆的面积公式即可求解.

【详解】依题意，作出图形如图所示

所以展8=京小=""=9992'3乂3若=乎.

乙乙乙J乙乙

将四棱锥P-ABCD补形为长方体，易知该长方体的外接球即为四棱锥尸-钻⑦的外接球,

如图所示

因为PC为长方体的体对角线,

所以球心。在尸C的中点上，

设平面a为过点E的球。的截面，则当OE_La时，截面积最小,

因为点E为棱上4的中点，P、C在球面上，

所以过点E的球0的截面圆的半径,=%=巫,

22

所以过点E的平面截球。所得的截面面积的最小值为“2=兀义(吧]

故答案为：手277t

~4~

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问利用等体积法；第二问利用补全法，得出长方

体的外接球即为四棱锥尸-ASCD的外接球，当时，截面积最小，再利用圆的面积

公式求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知函数/(x)=2道sinxsin+1,

⑴求函数的最值；

⑵设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若〃A)=2,6=2,且

2sinB+sinC=V?sinA,求一ABC的面积.

【答案】(1)最大值为2,最小值为-2

⑵越或走

23

【分析】(1)把f(x)化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为无，再用二倍角公式

把二次项化为一次项，同时把角化为2x,最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出

函数的最值；

(2)先求出角A,由余弦定理得到关于。,。的方程，再由正弦定理把己知的方程化简为含a，。的

方程，联立方程组即可解出4c的值，再代入三角形的面积公式即可.

【详角率】(1)因为/(x)=2A/5sinxsin(/+x]-2c°sxsin]/—x]+1

=2#)sinxcosx-2cos2x+1=A/3sin2x-cos2x

=2sin12x—?),

所以/(%)的最大值为2,最小值为-2.

（2）结合⑴可知〃A）=2sin（2AqJ=2,所以sin12Aq）=1.

因为Ae（O,i）,所以2A-?学］,

6I66/

mic4兀TC.TC

则2A一"=二,4=；

623

由余弦定理得cosA="+厂一—=4+。2-。2=j_,

2bc4c2

化简得Y=C2—2C+4①.

又2sin8+sinC=J7sinA,由正弦定理可得23+c=,即4+c=J7a②.

结合①②得。=夜,。=3或a=32c=2.

33

c=3时,SMC=gbcsinA=乎；c=|时'SAABC=^bcsinA=­.

综上，一至C的面积为越或亚.

23

18.设对任意〃cN*,数列｛%｝满足。<%<1,%<〃仍+2，数列｛，〃｝满足%=冬见.

册

⑴证明：｛%｝单调递增，且C“<1;

2

⑵记d=笛乜-马」，证明：存在常数八使得£>*</.

an+\anan+2k=\

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由4"=与善>1可证明单调性，由反证法即可证明％<1,

Cnan+l

（2）由裂项求和即可求解.

【详解】（1）证明：由于％=也，则皿=4乜•&=g%>1,

a

nC"an+lan+l。“+|

所以%M>C“，即｛4｝单调递增.

假设存在左eN*,使得QW1,则%%金（，+1广，

ak+l

所以a.”24+i（%J"：

不妨取"左+log/—，即（，+J">L，即aM-（/+>1,则«„+1>1,这与任意〃eN*,

ak+\ak+i

恒成立相矛盾，故假设不成立，所以C"<1.

2

(2)由(1)有0<c“<l,又b“=笠乜一旦」，所以

aa

"〃+1nn+2

2〃

故可取”一，即有

C\k=\

19.如图，在三棱柱ABC-$与6中，AC=与AB=1,E,尸分别为AQ,3片的中点,

且EFL平面AAGC.

(1)求棱BC的长度；

(2)若2耳，44,且△ABC的面积SMFC=］，求二面角4-AF-C的正弦值.

【答案］⑴1

⑵立

2

【分析】(1)根据平行关系可得取DB,再结合垂直关系可得加，AC,即可得结果;

(2)根据题意分析可得8月，平面ABC,AAi=2,建系，利用空间向量求二面角.

【详解】(1)取AC中点。，连接即，BD,

•.•D,E分别为AC,AC的中点，则DEAA且。E=：A4,,

又♦.•ABC-44。为三棱柱，且F分别为阳的中点，贝|斯AA1MBF=1A41,

可得DEBF且DE=BF,即四边形。为平行四边形，故所DB,

又：防立平面A41cC，则。8,平面例GC,

ACu平面A41cC，可得。3J_AC,

又：。为AC的中点，则△ABC为等腰三角形，

・•・BC=AB=}.

(2)由(1)可知：BC=AB=l,且AC二行，即筋2+5。2=人。2,

・•・AB1BC,

则可得斯=。2=变，且44,耳£，

2

・・・£F1平面A41G。，ACu平面A41c0,则

•,SMFC=；AC.EF=g.乂与=与,解得4c=2，

由(1)知平面AAGC,A4,U平面AAGC,则DBLA4,,

又AAtBB[,则DB±BB}

又耳，AB4片，贝

ABDB=B,A8,r)8u平面ABC,

BBi±平面ABC,

ACu平面ABC,贝!J881J,AC,

且AABB},可得AA，AC,

.•.△A41c为直角三角形，则A4,=/41c2-3=&,

以耳为坐标原点，向量4G，4A，耳8方向为X轴，y轴，Z轴正方向建立空间直角坐标

系与一孙z,

则旦(0,0,0),a(0,1,0),q(1,0,0),c(i,o,@,B(O,0,5/2),尸0,0,当，

.,.TL'AAF=—yH-----z=0

设平面A/C的一个法向量为4=(x,y,z),贝叶"G2

令y=l,贝Ux=-l,z=0,可得

•.・平面片A/的一个法向量为%=(1,0,0),

设二面角BX-\F-C的平面角为6e(0,兀)，

sin0="s/1-cos20-

故二面角4-A尸-c的正弦值为且.

2

20.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原

料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：

X12345678

y56.53122.7517.815.9514.51312.5

根据以上数据绘制了散点图观察散点图,两个变量间关系考虑用反比例函数模型y=2b和

X

指数函数模型y=c*分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归

方程为y=48.376e-,gy与％的相关系数4=-0.929.

（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；

（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001）,并用其估计产量为

10千件时每件产品的非原料成本；

（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布用样本平均数歹作为〃的

估计值"，用样本标准差s作为b的估计值0,若非原料成本y在（〃-b,//+b）之外，说明

该成本异常，并称落在（〃-GM+。）之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原

因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？

1

参考数据（其中%=一）:

8888

—2

UUz%X"/70.61x1545.555V193.194

Z=11=1i=li=l

0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9

参考公式：对于一组数据（X21）,（%，%），…，（%，％），其回归直线亍=&+菽的斜率和截距的

^x^-tix-y

最小二乘估计公式分别为：---------，a=y-bx,相关系数

£¥-rix2

i=l

J(x,.-x)(x-y)

Z=1

【答案】⑴…+三

（2）反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元,

（3）见解析

1b

【分析】（1）令〃=—,贝!Jy=〃+t可转化为丁=。+万"，求出样本中心，回归方程的斜率,

XX

转化求回归方程即可，

（2）求出y与一的相关系数。通过比较同，闻，可得用反比例函数模型拟合效果更好，

然后将x=10代入回归方程中可求结果

（3）利用已知数据求出样本标准差S,从而可得非原料成本y服从正态分布N（23,13.9z）,

再计算+然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论

1b,

【详角犁】（1）令〃=一，贝!!y=〃+—可转化为y=a+，

xx

因为丁-=1384=23,

O

8__

93.06-8x0.34x23“

所以.上i----------------------------------;—=50,

~221.53-8x0.342

〉//一Su

Z=1

所以&=亍一百£=23—50x0.34=6,所以y=6+50”,

所以y关于尤的回归方程为y=6+型

X

8

因为用〈同，所以用反比例函数模型拟合效果更好，

把x=10代入回归方程得y=6+1^=ll(元)，

所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元

-184

(3)因为丁=丁=23,所以〃=23,

8

因为样本标准差为

上(5777.555-8x23x23)=J-X1545.555aJ193.194=13.9,

V8

所以。=13.9,

所以非原料成本y服从正态分布N(23,13.92),

所以(M-cr,〃+cr)=(23-13.9,23+13.9)=(9.1,36.9)

因为56.5在+切之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因

21.如图，在矩形43。。中，|45|=8,忸。=6,E,F,G,H分别是矩形四条边的中

点，R,R分别是线段OF,CF上的动点，且满足幽+四=1.设直线班与GR相交

43

(1)证明：点尸始终在某一椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；

(2)设S,T为该椭圆上两点，T关于直线旷=》的对称点为。，设百且直线MS,

MT的倾斜角互补，证明：OK。。为定值.

22

【答案】⑴证明见解析，土+匕=1

169

（2）证明见解析.

【分析】（1）设夫（，％0）,R（4,〃），P（x,y）,求直线面,GR的方程，结合条件消去参数

可得点尸的轨迹方程，由此证明结论；

（2）先证明点”在椭圆上，利用点差法证明9义工4+16入二组=0,

%+%玉一%

9呼+165^°，结合条件证明结论•

【详解】（1）由题意—0,-3）,F（4,0）,G（0,3）,设R（〃0）,R（4㈤,P（x,j）.

3

直线£7?的方程为＞=—x-3,①

m

直线GR的方程为〉=厅》+3,②

4

联立①②，得匕口.212=F口

xx4m

/-93n-9，整理得就，+3•

即

尤24m

因为产”所以鬻也因此得到巨。「

22

这就证明了点P（x,y）在椭圆上，椭圆的标准方程为二+匕=1.

169

⑵因为生亘+」口=1,所以在椭圆匚匚1上.

169UJI2）169

记.设S（x,,yJ,7（%,%），则。（必,々），

故OS•OQ=（占,%）•（%,%）=M%+%%.

因为直线MS,MT的倾斜角互补，所以上二%+%二为=0,③

x1-x0x2-x0

即xly2+x2yl+25%=%（%+%）+%（玉+马）.④

由9x；+16y；=9x16,9,+16诵=9x16,

得9（玉2_君）+160；-y；）=。，所以9X*+16*=0.⑤

必十M）—xo

同理,由9x；+16y；=9x16,9年+16士：=9x16,

得9&±^+16止比=0⑥

%+%Z-x。

⑤+⑥，并结合③，可得二出+玉上=0.

%+%必+%

整理得%%+.X+2%%=—%(%+%)-％(菁+9)•⑦

④一⑦，得%(％+%)+%(%+々)=。，

故为%+々乂=-2%%.

所以。5・。。=—2%%=-6指，即OSOQ为定值.

【点睛】根据点点睛：本题第一小问通过求两直线方程，利用交轨法求其交点的轨迹方程,

第二小问利用设点法，结合点差法确定点的坐标的关系，由此完成证明.

22.函数〃尤)=；/+ox—(依