七年级数学上学期期末考试真题汇编（人教版）一元一次方程 章末题型（12个题型）（解析版）

专题09一元一次方程章末重难点题型（12个题型）

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一、经典基础题

题型1方程与一元一次方程的辨别

题型2利用一元一次方程的定义和方程的解求值

题型3等式的性质及应用

题型4一元一次方程中的同解问题

题型5方程的特殊解问题（求参数的值）

题型6解方程

题型7含参数的一元一次方程

题型8一元一次方程中的错解和遮挡问题

题型9一元一次方程中的新定义问题

题型11一元一次方程中的整体换元

题型12一元一次方程中的实际应用

二、优选提升题

题型1方程与一元一次方程的辨别

例L（2022∙吉林•大安市七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（）

,I

A.x+2γ=5B.x2+x-l=0C.—D.3x+l=10

X

【答案】D

【分析】根据一元一次方程的定义分析即可得出结论.

【详解】解：方程x+2y=5中含有两个未知数，不是一元一次方程，故A项错误；

方程9+χ-i=o中未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故B项错误；

代数式∙!∙不是等式，更不是一元一次方程，故C项错误；

X

方程3x+l=10含有一个未知数，且未知数的次数为1,是一元一次方程，故D正确；故选:

D.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟记一元一次方程的定义是解题的关键.

变式L（2022•河南三门峡•七年级期末）在①2x+l；②1+7=15-8+1；③I-Jx=X-I；

④x+2y=3中，方程共有（）

A.1个B.3个C.2个D.4个

【答案】C

【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答.

【详解】解：方程有③I-I=X-1：④x+2y=3,故选：C.

【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键.

变式2.（2022•广东湛江•七年级期末）下列各式中，不是方程的是（）

A.a+a=2aB.2x+3C.2x+l=5D.2（x+l）=2x+2

【答案】B

【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可.

【详解】解：根据方程的定义可得：A、C、D选项均为方程，

选项B不是等式，所以不是方程，故选：B.

【点睛】题目主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键.

题型2利用一元一次方程的定义和方程的解求值

【解题技巧】依据一元一次方程的定义，X的次数为1,系数不为0

方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解.

例L（2022•河南郑州•七年级期末）若使方程（m+2）x=l是关于尤的一元一次方程，则m的

值是（）

A.∕∏≠-2B.∕n≠0C.m≠2D.m>-2

【答案】A

【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1,等号两边都

是整式的方程叫做一元一次方程进行求解即可.

【详解】解：团方程（m+2）x=l是关于X的一元一次方程，团加+2*0即，"-2.故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程

的定义.

变式1.（2022•福建泉州•七年级期末）若尤=3是关于X的方程0r-A=5的解，则64-2b-2

的值为（）

A.2B.8C.-3D.-8

【答案】B

【分析】将x=3代入ax-b=5中得3。4=5,将该整体代入6α-2⅛-2中即可得出答案.

【详解】解:将X=3代入or3=5中得：3a-b=5,所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8.故选：

B.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握整体法是解题的关键.

变式2.（2022•河南南阳•七年级期末）若（a-l）x+l=O是关于X的一元一次方程，则，”的

值可以是（写出一个即可）

【答案】2（答案不唯一）

【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一

元一次方程的定义得出m7≠0,即可得出答案.

【详解】解：（WT）X+1=0是关于X的一元一次方程，

Λ∕n-l≠O,解得加Hl,，机的值可以是2.故答案为：2（答案不唯-）.

【点睛】此题主要考查J'一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程定义是解题关键.

题型3等式的性质及应用

【解题技巧】

等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；

等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.

例L（2022•海南•七年级期末）已知a="根据等式的性质，可以推导出的是（）

A.a+2=b+↑B.-3a=-3bC.2a-3=2bD.-=-

cc

【答案】B

【分析】根据等式的性质依次判断即可.

【详解】解：a=b,A、o+2M+l,选项不符合题意;

B>-3a=-3ht选项符合题意；C、2a=2h,团2α-3≠2b,选项不符合题意；

D、当CXo时，-=选项不符合题意；故选：B.

CC

【点睛】题目主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键.

例L（2022∙四川成都•八年级期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个

图，其中（a）（⅛）中天平保持左右平衡，现要使（C）中的天平也平衡，需要在天平右盘中

放入祛码的克数为（）

g—∖I70^l/\“▲/JXL

(a)(b)(c)

A.25克B.30克C.40克D.50克

【答案】C

【分析】由图（α）和图（b）可得5个黑三角和5个黑圆共重150克，从而1个黑三角和1

个黑圆共重30克，由此可计算出1个黑三角重20克，1个黑圆重10克，可计算出此题结

果.

【详解】设一个黑三角重”克，一个黑圆重。克，由题意，

得5（α+⅛）=150,解得α+b=30,

由图（α）得，a+2（α+⅛）=80,

即4+2x30=80,解得α=20,

06=30-20=10,Ekz+2∕>=20+10x2=20+20=40,故选：C.

【点睛】此题考查了利用等式的性质和方程解决实际问题的能力，关键是能根据题意列出关

系式，利用等式的性质进行计算.

例2.（2022•江苏泰州•七年级期末）已知方程x-2y=5,请用含X的代数式表示y,则），=.

【答案】F

2

【分析】先移项，再把y的系数化为1即可.

【详解】解：移项得，-2y=5-x,y的系数化为1得，y=言.故答案为：ɪ.

【点睛】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键.

题型4一元一次方程中的同解问题

解题技巧：通过前一个方程求得X的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、

例L（2022∙黑龙江大庆•期末）关于X的方程4x-2m=3x-l的解是x=2x-3”?的解的2倍，

则m的值为（）

I111

A.-B.-C.一一D.一一

2442

【答案】C

【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到〃，的

值.

【详解】解：方程4九-2m=3x-L

解得：x=2zn∙l,

方程x=2x∙3"b

解得:x=3mf

根据题意得：2m-l=6m,

c

解得：w=4∙故选：∙

4

【点睛】此题考查「一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

变式1.（2022•辽宁大连•七年级期末）如果方程2x=4与方程3x+Zr=10的解相同，则k的

值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

【分析】解方程2x=4,求出X,根据同解方程的定义计算即可.

【详解】解：：2x=4,.∙.x=2,

；方程2x=4与方程3x+k=-2的解相同，.∙.3χ2+k=10解得，k=4,故选：C.

【点睛】本题考查的是同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键.

变式2.（2022・山东烟台・期末）若关于X的方程3（2x-l）=A+2x的解与关于X的方程

8-%=2（x+l）的解互为相反数，则&=.

【答案】15

【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出々即可；

【详解】解:3（2x-l）=*+2x,

6x-3=%+2x>

6x-2x=⅛+3，

4x=k+3,

左+3

犬-4，

解方程：8-%=2（x+l）,

8—k=2x+2,

2x=6-k,

6-k

x=----

2

根据题意列出方程三二+一=0，

42

解得：k=15,

故答案为：15.

【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项,

系数化为1进行计算，解题关键正确应用运算法则.

题型5方程的特殊解问题（求参数的值）

解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程

例1.（2022•河南安阳•七年级期末）关于X的方程2x+l=fcv的解是正整数，则整数k可以

取的值是.

【答案】3

【分析】把含X的项合并，化系数为1求X,再根据X为正整数求整数k的值.

【详解】解：移项、合并，得2x—丘=—1,解得：x=-Jr,

2-k

∙∙∙χ为正整数，k为整数，；.2-Z=-I解得k=3.故答案为：3.

【点睛】本题考查一元一次方程的解.关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求

求整数k的值.

变式1.（2022・上海金山•八年级期末）如果关于X的方程αx=b无解，那么a、b满足的条

件（）

A.a=0,b=0B.a≠0,b≠0C.a≠0,b=0D.a—0,b≠0

【答案】D

【分析】根据方程无解，可知含X的系数为0,常数不为0,据此求解.

【详解】解：团关于X的方程ax=b无解，0o=O,b≠0,故选：D.

【点睛】本题考查一元一次方

程的解，理解方程无解时含X的系数为0,常数项不为。是解题关键.

变式2.（2022•湖南）关于X的方程（a+l）x=a-1有解，则a的值为（）

A.a≠0B.a≠lC.a≠-1D.o≠+l

【答案】C

【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案.

【详解】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案.

解：由关于X的方程（a+I）X=a-1有解，得a+lwθ,解得a≠-l.故选：C.

【点睛】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零.

变式3.（2022•黑龙江大庆•期末）关于X的方程2a（x-l）=（5-a）x+36有无穷多个解，则

a-b=.

25

【答案】y

【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出。与b的值，即可求出所求.

【详解】解：方程整理得：（3a-5）x=2a+3A

团方程有无穷多个解，03a-5=0,2a+3b=0,解得：a=∣,⅛=-y,

则a-。=]+?=~.故答案为：~.

【点睛】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

题型6解方程

【解题技巧】

解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化

运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确

的目的。

对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，

依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。

同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，

可使方程求解过程更为简单。

解分子分母中含有小数系数的方程：此类题型，需要运用分数的基本性质，先将分子和分

母同时扩大，将小数化为整数，然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并

同类项、系数化为1求解方程。

ɔQrrI9

例1.（2022•黑龙江七年级期末）解方程：（l）x-2（x-4）=3（1-x）；=2.

36

【答案】（1）x=-2.5;（2）X=——.

7

【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把X的系数化为1,即可求出方程的解：

（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把X的系数化为L即可求出方程的解.

【详解】解：（1）X-2（X-4）=3（l-x）

去括号得，χ-2x+8=3-3x

移项，合并得，2x=-5

系数化为1得，x=-2.5;

（2）注-9=2

36

去分母得，2（2-3x）-（x+2）=12

去括号得，4-6x-x-2=12

移项，合并得，-7x=10

系数化为1得，x=-y

【点睛】此题主要考查J'解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

变式L（2022•浙江七年级期末）解方程：

、C2x-∖4-3X,、0.2x-0.40.05x-0.2

（z1）3----------=-----------%（2）----------------X=----------------

350.50.03

1944

【答案】（1）X=-^—:（2）X=—

717

【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可.

（2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可.

【详解】解：(1)3-^=1-x,

去分母得45-5(2x-l)=3(4-3x)-15x,

去括号得45-10x+5=12-9x-15x,

移项得-IOX+9x+15x=12-45-5,

合并得14x=-38,

19

系数化为1得X=-；；

0.2x-0.40.05Λ-0.2

--------------X=-------------

0.50.03

2Λ-45X-20

方程组化简为:---------X=---------

去分母得3(2x-4)-15x=5(5x-20),

去括号得6x-12-15x=25x-100,

移项得6x-15x-25x=-100+12,

合并同类项得-34x=-88,

系数化为1得X=Y

【点睛】本题考查了解一元一次方程：掌握解一元一次方程的步骤(去分母、去括号、移项、

合并同类项、系数化为1);针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=α

形式转化.

变式2.(2022•天津和平•七年级期末)解下列方程：

、2Λ-15X+21-2X、3.1+0.2X0.2+0.03x3

(z1)-------------------=----------2；z(2)------------------------------=-.

3620.20.012

【答案】(I)X=-1；(2)X=-3.

【分析】(1)按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；

(2)利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程.

【详解】解：(1)去分母，得2(2x-1)-(5x+2)=3(1-2x)-12,

去括号，得4x-2-5x-2=3-6x-12,

移项，得4x-5x+6x=3-12+2+2,

合并，得5x=-5,

系数化为1,得X=-L

5×(3.1+0.2Λ∙)100×(0.2+0.03X)3×0.5

(2)—,

5×0.2l00×0.012×0.5

整理，得15.5+x-20-3x=1.5,

移项，得X-3x=1.5-15.5+20,

合并，得-2x=6,

所以X--3.

【点睛】本题考查了解一元一次方程,掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键.解

一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为L

题型7含参数的一元一次方程

解题技巧：一元一次方程αx=b的解由α,b共同决定。

此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式αx=b,再分三种情况分类讨论：

b

（1）当“0时，X=一；（2）当a=0,b=0时，X为任意有理数；（3）当α=0,bxθ时，

a

方程无解.

例1、（2022•江苏七年级期中）解关于X的方程：rnx7=nx

【答案与解析】

解：原方程可化为：（〃2—〃）X=L

当加一"/O,即〃2≠〃时，方程有唯一解为：X=---;

m-n

当加一〃=0,即加=〃时，方程无解.

【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最.简形式以=8，再根据X系数。是否为零

进行分类讨论.

变式L（2022•上海市松江区八年级期中）解关于X的方程：≡-3Λ=2（2-X）

【答案】见解析

【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可.

【详解】解：mx-3x=2（2-x）,

去括号，得mx-3x=4-2x,

移项，得mx-3x+2x=4,

合并同类项，得（m-l）x=4,

4

当m-l≠0,即m≠l时，方程的解是X=-——，

/M-1

当m-l=0,即m=l时，方程无解.

【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键.

题型8一元一次方程中的错解和遮挡问题

例L（2022∙河南♦郑州七年级期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污

染了看不清楚，被污染的方程是：ɪΛ-3=2（X+1）-般，怎么办呢？小明想了想,

便翻看书后答案，此方程的解是x=-5,于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数

是—.

【答案】

_5

~2

【分析】设这个常数为。，将x=-5代入方程中求解关于“的方程即可.

【详解】解：设这个常数为“，将X=-5代入方程中得：ɪ×（-5）—3=2（—5+1）-a,

解得：α=-∣∙,故答案为：-∣∙.

22

【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键.

变式L（2022•湖南衡阳•七年级期末）关于X的方程3（*-9）=5x-1,13处被盖住了一个数

字，已知方程的解是x=5,那么*处的数字是（）

A.-1B.-17C.15D.17

【答案】D

【分析】把x=5代入已知方程，可以列出关于回的方程，通过解该方程可以求得团处的数字.

【详解】解：将x=5代入方程，得：3（49）=25-1,

解得：回=17,即回处的数字是17,故选：D.

【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的

值.

变式2.（2022・重庆酉阳•七年级期末）刘明同学在解一元一次方程？x-3=x+3时，不小心

把？处X的系数弄得看不清了，他便问邻桌，但是邻桌只告诉他，该方程的解是X=T（邻

桌的答案是正确的），刘明同学便由此计算出了?处X的系数，那么这个系数是.

【答案】-5

【分析】设？表示的系数为。，把x=-l代入方程双-3=x+3中，可得-“-3=-1+3,从而

可求得α的值.

【详解】设？表示的系数为α,则原方程为依-3=x+3

由题意，X=-I是方程的解⑪-3=x+3

所以把X=-1代入方程0r-3=x+3中，得-α-3=-l+3

解得：α=-5故这个系数为一5故答案为：一5.

【点睛】本题考查了一元一次方程解的概念及解•元一次方程，关键是清楚解的含义.

题型9一元一次方程中的新定义问题

例L（2022,河南驻马店•七年级期末）我们规定：若关于X的一元一次方程α+x=b（g0）

h4

的解为X=2,则称该方程为“商解方程例如：2+x=4的解为x=2且2=；,则方程2+

a2

x=4是"商解方程请回答下列问题：（1）判断3+x=5是不是"商解方程

⑵若关于X的一元一次方程6+x=3（m-3）是"商解方程"，求"的值.

27

【答案】（1）不是（2）＞77=—

【分析】（1）求出方程的解是x=2,再进行判断即可；

（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于机的方程，最后求出方程的解即可.

（1）3+x=5,x=2,而2≠g,所以3+x=5不是“商解方程”；

（2）6+X=3（"7-3）,6+x=3∕n-9,x=3∕π-9-6=3τn-15,关于工的一元一次方程

6+X=3（〃L3）是“商解方程”，Λ3（Z-1*3）=3zn-15,解得：m=—.

65

【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程

左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键.

变式L（2022•湖南七年级期末）规定:用{机}表示大于M的最小整数，如{2.6}=3,{7}=8,

{T.5}=Y,用[机]表示不大于”，的最大整数，例如：[∣∙]=2,[Y]=-4,[T.5]=-2.如果

整数X满足关系式2[x]-512}=29,那么X=.

【答案】-8

【分析】根据题意可将2[幻-5{x-2}=29化为2x-5（x-2+l）=29,解出即可.

【详解】解：由题意，得㈤=x,{x-2}=x-2÷l,

.∙.2[x]-5{x-2}=29可化为2x—5（x—2+1）=29合并同类项，得—3x=24解得：X=-8故

答案为：-8.

【点睛】本题结合新定义考查解一元一次方程的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定

义的含义.

变式2.（2022•河南南阳•七年级期中）我们把::称为二阶行列式，且:"=ad-hc,如

bdba

12.-47

r=l×（-4）-2×3=-10.若=6,则加的值为（）

3-4zl2m

A.8B.-2C.2D.-5

【答案】D

【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于小的一元一次方程，求出根的值即可.

-47-47

【详解】根据题意得C=-4m∙2x7,0C=6,0-4∕n-2×7=6,解得团=5.故选：D

2m2m

【点睛】本题主要考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的

列方程.

题型11一元一次方程中的整体换元

解题技巧：将含X的式子当作一个整体进行求解

例L(2022•山西忻州市•七年级期末)阅读材料，完成任务.

七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一

元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特

点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成"一点通”的效果.小明是一名

喜欢动脑筋的学生，在解方程1+3(4*-3)=2(4万-3)时，不是直接给方程去括号，而是假设

4x-3=a,然后把方程变形为：

l+3a=2a,

3a-2a=l,

a=l.

.∙.4x-3=1,

解，得X=L

上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来

的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法.

任务：参照材料中的解题方法解方程上==m⅛2D-ι.

35

【答案】x=-4

【分析】根据题示的方法，设7-2x=a,将原方程转化为关于a的方程求解即可.

L八M7-2x2(7-2x)

【详解】W：---=—--------1

设7-2x=a,则原方程变形为：∣=y-l0⅛fl=1

解得，α=15即7-2×=15,解得，×=-4

【点睛】本题考查了换元法解方程.换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原.

变式L(2022•江西景德镇•七年级期末)若X=T是关于X的方程依-6=l(aHθ)的解，则

关于X的方程a(2x—3)—b—1=0(aχθ)的解为.

【答案】-ɪ

【分析】将X=T代入方程以一b=l(axθ)u]■得Ya-b=l,进而代入a(2x—3)—b—1=0即

可得到a（2x-3）-b=T〃-方，根据等式的性质即可求得答案.

【详解】解：将X=Y代入方程Or-。=Ta-匕=1,

α（2x-3）-ft-l=0,整理得a（2x-3）-b=l,^∖a（2x-^i）-b=^a-b,

2x-3=-4.解得x=-；，故答案为一万.

【点睛】本题考查J'一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面系

数相等是解题的关键.

Y

变式2.（2022•浙江杭州市•七年级期末）已知关于X的一元一次方程点矗+3=2021x+α①

与关于y的一元一次方程为∣^-3=2021（3y-2）-4②，若方程①的解为X=2021,则方程

②的解为.

【答案】y=-673

【分析】根据题意得出-（3y-2）的值，进而得出答案.

【详解】解：•••关于X的一元一次方程泰+3=2021x+a①的解为x=2021,

.∙.关于y的一元一次方程43=2021（3y-2）-α②中-（3y-2）=2021,

解得：y=-673,故答案为：y=-673.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出-（3六2）的值是解题关键.

题型12一元一次方程中的实际应用

解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。

例1.（2022•河南南阳•七年级期末）【问题呈现】

某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一

名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍.

【自主思考】（1）根据题意，请画出示意图：

⑵相等关系为（请填空）：.

【建模解答】（请你完整解答本题）

【答案】（1）见解析

（2）学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程;

通信员用15分钟可以追上队伍.

【分析】（1）根据题意，即可画出示意图；

（2）根据通讯员所走的路程=学生所走的总路程，列出一元一次方程，解方程即可求解.

（1）解：根据题意，画出示意图如图：

通信员出发后队伍

学生步行30分钟所走的路程：行走的路程：

____________通信员追赶队伍所走的路程：

学校追及地点

（2）解：相等关系为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员

追赶队伍所走的路程；故答案为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路

程=通信员追赶队伍所走的路程；设通讯员用X小时可以追上学生队伍，根据题意可得：

4X*+4X=12X,解得：X=L,x60=15（分钟），答：通信员用15分钟可以追上队伍.

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，画出草图,找出题中的等量关系是解本题的关键.

变式L（2022∙山东七年级期末）某商场专柜卖出A,B两件衣服，每件售价都是600元，

其中每件A衣服赚25%,每件8衣服赔25%.下列说法正确的有（）个

①每件A衣服的成本价是480元.②每件8衣服的成本价是800元.③专柜售

出这两件衣服是赔了80元.④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】设赚钱的衣服的进价为X元，赔钱的衣服的进价为y兀，根据题意列出方程求解即

可.

【详解】解：设赚钱的衣服的进价为X元，

依题意，得：600-χ=25%x,解得：x=480,故①正确；

设赔钱的衣服的进价为y元，600-y--25%y,解得：y=800,故②正确；

Λ600-480+600-800=-80,.•.这两件衣服售出后商店亏了80元，故③正确，④错误：

故选：B.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

变式2.（2022•江苏南京•初一期末）列方程解应用题：

用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽完，用甲需要24小时，用乙

需要30小时，用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙机加入，问乙加入

后还需要多少时间才能把井里的水抽完.

【答案】6小时，过程见详解.

【分析】设还需X小时可以抽完，分别表示出三台抽水机的工作量，利用工作量总和为1,

列出方程解答即可.

【解析】解：设还需X小时可以抽完，由题意得：

X+6XX+6

——+—+——=1,解得：x=6,答：还需6小时可以抽完.

243040

【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的数

量关系是解决问题的关键.

Q

2

1.（2022∙河南鹤壁•七年级期末）在下歹IJ方程：①3x-y=2,②/-2X-3=0,③--=1,

X-I

④辞=1，⑤,〃-5=,"中，一元一次方程的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一个未知数，②未知数的次数为1,③整

式方程，据此进行判断即可.

【详解】解：在下列方程：①3x-y=2,②f_2x-3=O,③3=1，④三士=1，⑤

X-I2

2ς,

3

_αO

④r三=1,⑤（〃?-5=%是一元一次方程，共2个,故选B

【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解题的关键.

2.（2022•黑龙江大庆•期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（）

A.由α=匕，得旦=2B.由-3x=-3y,得了=一》

-44

C.由t=1，得X=；D.若M+l）α="+[,,则α=%

【答案】D

【分析】根据等式的性质逐项判定即可.

【详解】解：A.由α=b,得===，原式错误，故此选项不符合题意；

-4-4

B.∣∣∣-3Λ=-3J,得x=y,原式错误，故此选项不符合题意；

C.由1=1,得X=4,原式错误，故此选项不符合题意；

D.^（m*12+*B.l）a=（m2+l）b,则α=6,正确，故此选项符合题意；故选：D.

【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键.

3.（2022•浙江金华•七年级期末）已知2x+y=1000,贝IJ代数式2021—4x—2），的值为（)

A.3021B.1021C.21D.4021

【答案】C

【分析】将2x+y=1000变形为与所求代数式相关的式子，即可代入求解.

【详解】将等式2x+y=1000两边乘以—2,得-4x-2y=-2000,

则代数式2021-4x-2y=2021-2000=21,故答案为：C.

【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键.

4.（2022・长沙市七年级月考）阅读：关于X方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）

当a≠0时，有唯一解x==2

(2)当a=0,b=0时有无数解；（3）当a=0,b≠0时无解.请你

根据以上知识作答：已知关于X的方程7∙a=ʌ-ʌ（X-6）无解，则a的值是（）

326

A.1B.-1C.±1D.a≠l

【答案】A

【详解】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x-（x-6）,去括号得：2ax=2x+6,移

项，合并得，X=-1-.因为无解，所以a-1=0,即a=l.故选A.

a-l

点睛：此类方程要用字母表示未知数后，清楚什么时候是无解，然后再求字母的取值.

5.（2022・重庆巴南•七年级期末）从Y,-2,-1,1,2,4中选一个数作为％的值，使得

ɔY—kɔV-Li,

关于X的方程I-W=三上-X的解为整数，则所有满足条件的％的值的积为（）

43

A.-32B.-16C.32D.64

【答案】D

【分析】通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为L用含k的式子表示X,再根

据条件，得到满足条件的k值，进而即可求解.

∖2-k

【详解】由I-二=三二-X,解得:X=-------

432

ɔV一kɔV-I-

∙.∙关于X的方程LJS=三二-X的解为整数,

43

工满足条件的）的值可以为:-4,-2,2,4,.'.（Y冈一2）x2x4=64,故选D.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，把k看作常数，掌握解一元一次方程的步骤,

是解题的关犍.

6.（2022•山东七年级期末）关于X的方程3〃比-|=；卜-g）有负整数解，则符合条件的整

数m的值可能是（）

A.-1B.3C.1D.2

【答案】A

2151r4、

【分析】由题意可得工=三，根据关于X的方程彳如-7=TX-7有负整数解可得2与

m-∖232∖ʒ/

m-1是倍数关系，进而求解即可.得.

151，4、2

【详解】解：由7如—W=TX—W可得：尢=3，

232<ɔ/加一1

••・关于X的方程;g-g=g卜-g）有负整数解，且m为整数，

，加一1=-1或-2,，团=0或-1,故选：A.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.

h-∖

7.（2022•江苏南通市•七年级期末）在有理数范围内定义运算〃☆〃：a^b=a+-f如：

肤（-3）=1+三1=一1.如果20c=X☆（-1）成立，则X的值是（）

A.-1B.5C.0D.2

【答案】B

【分析】根据新定义4V⅛6=4+怨，将2+x=X☆（-1）变形为方程，解之即可.

【详解】解：∙.∙α⅛∙b=α+守，,2^x=X☆（-1）可化为2+^-=x+-^,解得：×=5,

故选B.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程，新定义运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的

规律.

8.（2022•山东青岛•一模）小贤在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不

21

清楚，被污染的方程是：工-2=:工+,怎么办呢？小贤想了想，便翻看书后答案，此

34

方程的解是X=-6,于是他很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（）

92

A.--B.--C.-9D.-2

29

【答案】A

【分析】设被污染的常数为小将x=-6代入原方程得到关于。的一元一次方程，从而可求得

〃的值.

【详解】解：设被污染的常数为G

3

将x=-6代入得：-4-2=-y+tz,

9

解得：f∕=-∣.故选：A.

【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的解和一元一次方程的解法，根据方程的解的定义

得到关于X的方程是解题的关键.

9.(2022•河北沧州•七年级期末)规定符号(4力)表示α,b两个数中较小的一个，规定符号

[。,句表示。"两个数中较大的一个,例如：(3/)=1,[3,1]=3.则(-2,3)+-ɪ-ɪ=；

若(6,2)+3[-m,-机一l]=-4,则机的值为.

_9

【答案】1

4

【分析】根据定义得出(-2,3),[-2,-!]表示的数，再根据有理数的加法法则计算即可;

34

根据定义可得关于W的一元一次方程，再解方程即可求出团的值.

【详解】解：由题意可知:

9

=-T；

根据题意得：

∕π-2+3×(-nz)=-4,

解得ιn=l.

9

故答案为：•丁；1.

4

【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，根据题中给出的定义理解(以，b)与m，句表示

的意思是解答此题的关键.

10.(2022∙福建・厦门市湖滨中学七年级期末)已知5是关于X的方程办+0=0的解，则关

于X的方程α(x+8)+b=0的解是.

【答案】x=-3

【分析】把x=5代入方程OX+8=0,解得5α+b=0,得到6=-5a,把6=-5。代入方程

α(x+8)+b=0即可解题.

【详解】解：把x=5代入方程方+6=0,

解得5“+b=0,

.,.b=-Sa,

b=-5α代入方程Qa+8)+0=0得

α(x+8)-5α=0

.∙.α(x+8)=5α

.,.x+8=5

.*.x=-3

故答案为：x=-3.

【点睛】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，是基础考点，掌握相关知识是解题

关键.

Y

11.(2022•浙江杭州•七年级期末)已知关于X的一元一次方程毫+3=2020x+机的解为

x=2020,那么关于y的一元一次方程W+2020()，-1)="?-3的解为.

【答案】-2019

YY

【分析】方程念+3=2020x+m可整理得：血一2020x=机一3,则该方程的解为x=2020,

方程&+2020()-1)=根一3可整理得：痣―2020(1—y)=m-3,令"=1-y,则原方程

可整理得：合一2°20〃=加-3,则,=2020,得到关于》的一元一次方程，解之即可.

YY

【详解】解：根据题意得：方程高+3=2020x+∕n可整理得：-±--2020x=m-3,则该

20202020

方程的解为X=202。，

方程⅛+202°(-D=5一3可整理得：-2020(1-y)=胆-3,

令”=1-y,则原方程可整理得：一--2020n=∕n-3,则”=2020,

2020

即l-y=2020,解得：y=-2019.故答案为：-2019.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键.

12.(2022•四川成都•七年级期末)关于X的方程5,"+3x=l+x的解比方程2x=6的解小2,

则m=.

【答案】-1##-0.2

【分析诜求出方程2Λ=6的解为x=3,可得方程5m+3x=l+x的解为X=I,把X=I代入5m+3.r=l+x

可得关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值.

【详解】解方程2Λ=6,得X=3,

；关于X的方程5机+3x=l+x的解比方程2x=6的解小2,

.∙.方程5m+3x=l+x的解为X=1,

5∕k+3=l+l,

解得：

故答案为：-g.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值

叫做一元一次方程的解.

13.（2022•浙江丽水,七年级期末）己知关于X