3-1导数的概念及运算

§3.1导数的概念及运算1．导数与导函数的概念(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝_______．f′(x0)3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝_________f(x)＝exf′(x)＝___αxα－1cos__x－sin__xex04.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝______________；(2)[f(x)·g(x)]′＝__________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________，即y对x的导数等于_____的导数与_____的导数的乘积.yu′·ux′y对uu对x【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(

)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(

)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(

)(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(

)【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×1．若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(

)A．0

B．eC．2eD．e2【解析】

f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.【答案】

C5．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程是________．【解析】

因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.【答案】

5x＋y＋2＝0【思维升华】

求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．跟踪训练1(1)f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0等于(

)A．e2B．1C．ln2D．e(2)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．题型二导数的几何意义角度一求切线方程【例2】

(1)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(

)A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0角度三求参数的值【例4】

(1)(2018·泉州模拟)函数y＝ex的切线方程为y＝mx，则m＝________．【解析】

(1)设切点坐标为P(x0，y0)，由y′＝ex，得y′|x＝x0＝ex0，从而切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，又切线过定点(0，0)，从而－ex0＝ex0(－x0)，解得x0＝1，则m＝e.【思维升华】

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.跟踪训练2(1)(2018·开封模拟)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(

)A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)和(－1，3)D．(1，－3)(2)(2018·云南一检)已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________．【解析】

(1)f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.(2)由题意，得f