2023年山东省单县一中数学高二年级下册期末统考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某研究机构在对具有线性相关的两个变量X和y进行统计分析时，得到如表数据.由表中数据求得y关于X的回归

方程为P=0∙65X+2,则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）

X4681012

y12356

2,设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且S4=3S2,%=15,则｛%｝的公差为（）

A.1B.2C.3D.4

3.设有一个回归方程为y=225x,则变量X增加一个单位时（）

A.y平均增加2.5个单位B.y平均增加2个单位

C.y平均减少2.5个单位D.y平均减少2个单位

4.已知曲线/（x）=Mnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为（）

A.1B.In2C.2D.e

5.从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同

的取法共有（）

A.140种B.84种C.70种D.35种

6.已知命题：①函数y=2%-l<x≤l）的值域是

TTTT

②为了得到函数y=sin（2x--）的图象，只需把函数y=sin2.r图象上的所有点向右平移彳个单位长度；

ɔJ

③当〃=0或〃=1时，幕函数y=炉的图象都是一条直线;

IIog2x∣,0<%≤2

④已知函数/O)=,f,若α/,c互不相等，且/(α)=∕3)=∕(c),则他C的取值范围是(2,4).

—X+2,X≥2

2

其中正确的命题个数为()

A.4B.3C.2D.1

7.在二项式［«+之)的展开式中，各项系数之和为A，二项式系数之和为B,若A+3=72,则〃=()

A.3B.4C.5D.6

8.一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”

的概率是

1l15

ɪC

6-B.3-2-D.6-

9.设i为虚数单位，复数"为纯虚数，则α=().

2-ι

C11

A.2B.-2C.----D.一

22

10.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人,

并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有()

A.20种B.30种C.40种D.60种

11.若复数(l-D(α+i)的实部与虚部相等，其中。是实数，则∣l-α+i∣=()

A.0B.1C.2D.√2

12.若函数f(x)=打a，(a>0且aRl)在(-8,+8)上既是奇函数又是增函数,则g(χ)=IogJ「八)的图象是()

二、每小题5分，

13.如图所示的流程图中，输出的结果S为.

14.已知直线/过点(0,5),且它的一个方向向量为(1,2),则原点。到直线/的距离为.

x-y+l≤O

15.若变量X,y满足约束条件,x+2y-8≤0则z=3x+)，的最大值为.

x>0

16.在正数数列gj中，％=i，且点gt二)fejs2严直线χ-6=∙上，则前■项和SR等于—•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)解关于X的不等式公2-2N2X-Or(α∈R).

18.(12分)近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式.某线路公交车

准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理,

设第X天使用云闪付支付的人次为W得到如图所示的散点图.

由统计图表可知，可用函数y=α∙〃拟合y与X的关系

（1）求y关于X的回归方程；

（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过IOoOO人次.

附：①参考数据

777

XyVΣ,ΣXiyi∑W

f=lZ=Ii=l

43602.301401471071.40

/i=l

②参考公式：对于一组数据白），（«2,v2）…，（M„,v„）,其回归直线v=α+似的斜率和截距的最小二乘估计分

vɔn__

>UV--HUV

别为股刍一i―丁，a=v-βu.

Σ,"-加

%=2+Z,

19.（12分）在平面直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程为rC为参数），曲线C的参数方程为

y=l+√3z

X=4+2cosθ

'CC.二（。为参数），以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

y=3+2sιn6）

（1）求C的极坐标方程；

（2）设点M（2,l）,直线/与曲线C相交于点A,8,求IMAl∙∣MB∣的值.

20.（12分）已知数列｛/｝满足=2q+2.（〃€尺），且q=l.

（7）证明：数列｛2｝是等差数列；

2"

（//）求数列｛4｝的前〃项和s”.

21.（12分）（1）用分析法证明：√2+√Π<√3+√iθ5

（2）用反证法证明：三个数4,2/一1,。+1中，至少有一个大于或等于一）.

22.（10分）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球;乙盒有标号分别为1、2、3、4的4个黑球,从甲、乙两盒中各抽

取一个小球.

（1）求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率；

⑵现从甲乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为X,求X的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

分析：求出样本点的中心，求出α的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2),(8,3),共2

个，求出概率即可.

详解：∙.A=8,9=3.4,

故3.4=0.65x8+4,解得：«=-1.8,

则y=0.65x-1.8

故5个点中落在回归直线下方的有6,2),(8,3),共2个，

故所求概率是〃=|,

故选A.

点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题.

【解析】

根据题意，设等差数列｛4｝的公差为d,由条件得4q+6d=3(2q+d),q+6d=15,由此可得d的值，即可得答

案.

【详解】

根据题意，设等差数列｛q｝的公差为d,

4cz+6J=3(2q+d)4=3

由题意得1

a}+6d=15d=2

故选B.

【点睛】

本题考查等差数列的前〃项和，关键是掌握等差数列的前〃项和公式的形式特点，属于基础题.

3、C

【解析】

试题分析：根据题意，对于回归方程为9=2-2.5x,当X增加一个单位时，则y的平均变化为

y—2.5(x+l)-(y-2.5x)=—2.5,故可知N平均减少2.5个单位，故选C.

考点：线性回归方程的应用.

4、D

【解析】

对函数进行求导，然后让导函数等于2,最后求出切点的横坐标.

【详解】

/(x)=XInX.∙./'(X)=InX+1,

由题意可知/'(X)=InX+1=2=InX=I=X=e,因此切点的横坐标为e,故选D.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了导数的运算法则，考查了数学运算能力.

5、C

【解析】

分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2

台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.

详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，

从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，

快译通2台和录音机1台，取法有C：C；=30种；

快译通1台和录音机2台，取法有C：C；=40种，

根据分类计数原理知共有30+4()=70种.

故选：C.

点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况,

是一个中档题目.

6、C

【解析】

：①根据指数函数的单调性进行判断；

②根据三角函数的图形关系进行判断；

③根据募函数的定义和性质进行判断；

④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断.

【详解】

①因为y=2,是增函数，所以当—l≤xWl时，函数的值域是故①正确；

πr)τr

②函数.v=Sin2x图象上的所有点向右平移W个单位长度，得到函数y=sin(2x-?-)的图像，故②错误；

③当〃=O时，丁=》°=1(》声0)直线挖去一个点，当〃=1时，幕函数>=X的图形是一条直线，故③错误;

④作出/(x)的图像如图所示：

所以/(x)在(0,1］上递减，在［1,2)上递增，在［2,+8)上递减，

又因为α,4c在(0,2)上有两个，在(2,+8)上有一个，

不妨设«∈(0,l),⅛∈(l,2),C∈(2,+∞),

贝!∣log2α+log2方=0,即加?=1,则必C的范围即为C的范围，

由-；x+2=0,得％=4,

则有2<c<4,即必C的范围是(2,4),所以④正确；

所以正确的命题有2个，故选C.

【点睛】

该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换,

零指数幕的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键.

7、A

【解析】

分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得5,最后根据+3=72解出〃.

详解：因为各项系数之和为(1+3)"=4",二项式系数之和为2",

因为A+3=72,所以4"+2"=72.∙.2"=8.∙."=3,

选A.

点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ɑr+加",（ɑ^+⅛r+c）"（ɑ/eR）的式子求其展开

式的各项系数之和，常用赋值法，只需令X=I即可；对形如（办+by）"（α功∈R）的式子求其展开式各项系数之和,

只需令X=y=1即可.

8、B

【解析】

V随机抛正方体，有6种等可能的结果，

其中正方体落地时“向上面为红色”有2种情况，

21

.∙.正方体落地时“向上面为红色”的概率是-=

63

故选B.

9、D

【解析】

整理"得：丝1=色二∩±⅛±⅛,由复数丝i为纯虚数列方程即可得解.

2-12-152-1

【详解】

a+ι(Λ+Z)(2+Z)_(2a-l)+(6/+2)z

因为

2-i(2-z)(2+z)-5-

又它是纯虚数，所以网二ɪnθ,解得：a=L

52

故选D

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题.

10、A

【解析】

根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原

理，计算可得答案.

解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；

分3种情况讨论可得，

甲在星期一有Aq2=12种安排方法，

2

甲在星期二有A3=6种安排方法，

2

甲在星期三有A2=2种安排方法，

总共有12+6+2=20种；

故选A.

11、D

【解析】

分析：根据复数乘法运算法则化简复数，结合已知条件，求出“的值，代入后求模即可得到答案.

详解：复数(1-i)(α+i)的实部与虚部相等，又有(1—i)(α+i)=α+l+(l-α)i

：.a+l-l-a,解得α=0,

<7+z∣=∣ι+z∣=V2.

故选D.

点睛：本题考查复数代数形式的乘法运算和复数模的求法，属于基础题.

12、C

【解析】

本题考查指数型函数的奇偶性，单调性；对数函数的图像及图像的平移变换.

因为/(x)=Af是奇函数，所以/(一%)=--0),即必-'一优=一(〃'一。-，恒成立，整理得：

(k-l)(0t+ax)=0恒成立，所以T=1；则f(x)=优一又函数f(x)=ax-ax在R上是增函数，所以。>1；于

是g(x)=Iog“(x+1),(α>1);函数g(x)的图像是由函数y=logrtx{a>1)性质平移1个单位得到.故选C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、25

【解析】

按照程序框图的流程，写出每次循环后得到的结果，并判断每个结果是否满足判断框的条件，直到不满足条件，输出

即可.

【详解】

经过第一次循环，S=l,i=3;经过第二次循环，S=4,i=5;经过第三次循环，S=9"=7;经过第四次循环，

S=16"=9；经过第五次循环，S=25,i=ll;此时已不满足条件，输出.于是答案为25.

【点睛】

本题主要考查循环结构程序框图的输出结果，难度不大.

14、√5

【解析】

求出直线/的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出原点。到直线/的距离.

【详解】

由于直线/的一个方向向量为（1,2）,则直线/的斜率为2,所以，直线/的方程为y=2x+5,即2x-y+5=0,因

此，原点。到直线1的距离为,2"）2=也.

故答案为：√5∙

【点睛】

本题考查点到直线距离的计算，同时也考查了直线方向向量的应用，解题时要根据题中条件得出直线的斜率，并写出

直线的方程，考查计算能力，属于中等题.

15、9.

【解析】

分析：画出可行域，然后结合目标函数求最值即可.

点睛：考查简单的线性规划的最值问题，准确画出图形，画出可行域确定最优解是解题关键，属于基础题.

16、—:

【解析】

在正数数列7中，由点gς□在直线K-为=甘，知宿一"∙j==o'所以a=?’得到数列忆声

首项为L公比为2的等比数列，由此能求出前n项和q,得到答案.

【详解】

由题意，在正数数列-Gj中，c=】，且、工二］在直线二θ上，

可然怎-“∙=O,B≥XBeM∙,所以三M仪n≥2,neΛf∙,

∖⅛C∙i

即，

-^=2,n>2

βκ-t

因为=：,所以数列：表示首项为1,公比为2的等比数列，

所以4=⅛g∙"8"2=出H=2n-l

nXr1-2

故答案为-..

【点睛】

本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的应用，同时涉及到数列与解析几何的综合运用，是

一道好题.解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用，着重考查了推理与

运算能力，属于中档试题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、当α=O时，不等式的解集为｛x∣X≤T｝;

2

当。>0时，不等式的解集为“∣x≥—或x<T｝;

a

当—2<“<0时，不等式的解集为｛x∣2≤χ≤-l｝;

a

当α=-2时，不等式的解集为｛一1｝；

当α<-2时，不等式的解集为｛x∣T≤x≤2｝.

a

【解析】

将原不等式因式分解化为(Or-2)(x+l”0,对参数。分5种情况讨论：a=O,a>O,-2<a<0,a^-2,a<-2,

分别解不等式.

【详解】

解：原不等式可化为苏+(α—2)x—2≥0,即(ar—2)(x+l)≥0,

①当α=0时，原不等式化为x+l≤O,解得x≤-l,

②当”>0时，原不等式化为[x-∙∣](x+l)≥0,

2

解得x≥一或X<—1,

a

③当α<O时，原不等式化为(x-3｝x+l)≤0.

22

当一>一1,即〃<一2时，解得一l≤x≤-;

aa

2

当一二一1,即。二一2时，解得x=—l满足题意；

a

22

当一<一1,即一2VaVO时，解得一≤x≤-l.

aa

综上所述，当Q=O时，不等式的解集为｛x∣x≤-1｝；

2

当〃>()时，不等式的解集为｛x∣x≥一或x≤T｝;

a

2

当—2VaVo时，不等式的解集为｛x|—Wx≤T｝;

a

当a=—2时，不等式的解集为｛—1｝；

2

当a<-2时，不等式的解集为｛x∣-14x≤-｝.

a

【点睛】

本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对。分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把

求得的结果进行综合表述.

O+I

18、(1)J=1O^∙';(2)预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过IOOo()人次

【解析】

(1)先对y=a∙"两边同取以10为底的对数，得到V=Xlgb+Iga,再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到/g5和

Iga,从而得到。力，再写出y关于X的线性回归方程；(2)根据(1)所得的线性回归方程，得到10。叱口>10000,

解出X的范围，得到答案.

【详解】

(1)由y=a∙",两边同时取以10为底的对数，

得Igy=Iga+xlgb,即P=X∕gZ>+∕ga,

由最小二乘法得"黑筹=""3.

v=xlgb+lga过点(4,2.10),

∙"ga=2.10-0∙2X4=Ll.

Λα=10l∙l,⅛=10°∙2.

.∙∙y关于x的线性回归方程为J=lθ1∙1∙lθo∙2"=lθo∙2jr+1∙'；

(2)⅛100∙2x+'∙'>10000,得0.2x+l.l>4,解得x>10.3.

又∙.∙χ∈N*,.∙.预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过IOoOO人次.

【点睛】

本题考查最小二乘法求线性回归方程，以及根据线性回归方程进行估算，属于简单题.

19、(1)O?-8∕?COSe-6夕Sine+21=0；(2)4.

【解析】

(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果.

(2)利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果.

【详解】

X=4+2cosΘ....

(1)由参数方程..八，得普通方程(x—4)2~+(y—3)2=4,

y=3+2sinθv,v7

所以极坐标方程p2-8pcosθ-6psinθ+21=0.

X=2+/

(2)设点A,B对应的参数分别为t”,将<丫二+后代入得(x—4)2+(y—3『=4

得t2-(G+l)t+l=0所以%t2=l,

(ʌx=2d—X2f,

x=2+t,2

直线r(t为参数)可化为《r,

ʃ=1+√3r√3

3y^l+-×2t

[2

所以IMAHMBJ=|2可忸2卜4|心|=4.

【点睛】

本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考

查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.

20、(Z)见解析(//)S“=(2〃-3)X2"+3

【解析】

(/)根据题意，对于％=24+2向(〃€&),变形可得算4=1,根据等差数列的定义分析可得结论；

(〃)由(1)中的结论，结合等差数列的通项公式可得祟=g+(〃-l)=〃-；，即可得出4,=(2"-1)∙2"T,再根

据错位相减法即可求解出结果。

【详解】

解：(/)由α,,M=24,,+2”+∣,

可得爵喙=1

所以得为等差数列，公差为1；

(//)—=—+(∕7-l)×l=n-ɪ,

2"22

〃-g)∙2"=(2"-l)∙2"τ

S,,=l+3×2+5×22+...+(2n-l)×2fl-'(T)

2S=1×2+3X22+5×23+L+(2〃-1)x2"②

①-②得-S“=1+2x2+2x2?+…+2x2”∣-(2〃-1)x2"

4(l-2n^')

=l+-i--------^-(2n-l)x2M

1-2

S,,=(2"3)χ2"+3

【点睛】

本题主要考查了构利用定义法证明等差数列以及错位相减法求数列的前〃项和S“，证明时采用了构造的方法，错位相

减法主要用于数列的形式为等差乘等比。

21、(D证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：

⑴结合不等式的特征，两边平方，用分析法证明不等式即可；

⑵利用反证法，假设α,2∕τ,α+i这三个数没有一个大于或等于—:，然后结合题意找到矛盾即可证得

O

题中的结论.

试题解析：

(1)因为0+而和G+质都是正数，所以要证√Σ+JΓT<6+JΓδ,

只要证(+VrT)<(-s/ɜ+Vio,

展开得13+2后＜13+2回，

只要证后＜同,

只要证22＜30,

因为22<30成立