2024届广东省六校高三第四次联考数学试卷及答案

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第四次六校联考试题数学命题人：惠州一中数学备课组审题人：惠州一中数学备课组8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.展开式中第项的系数是A.B.C.，则公差D.2.在等差数列中，若，A.B.C.D.3.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为A.B.C.D.4.在中，“”是“为钝角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．已知三棱椎PABC，ABC是以AC为斜边的直角三角形，PAC为边长是2的等边三角形，且平面ABC平面PAC，则三棱椎PABC外接球的表面积为162121A．B．C．D．3326．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%St)S0eKt描述血氧饱和度St)随给氧时间tS0为初始血氧饱和度，K为参数．已知S060%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（参考数据：269ln310）B．0.5C．0.7A．0.3D．0.9ab0)的左，右焦点分别为F,F，过F的直线与双曲线C分别x2y27．已知双曲线C:2b2121a233,B两点，ABF内切圆的半径为r|BF2a，raC21的离心率为2133253A．7B．C．D．238．函数f(x)sin3xsin2x在开区间()的零点个数为A.5B.6C.7D.83小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给定数集AR，B(0,)，x,y满足方程2y0，下列对应关系为函数的是xfA.f:AB,yf(x)C.f:AB,xf(y)B.f:BA,yf(x)D.f:BA,xf(y)10．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为，，，其中为坐标原点，则A.B.C.D.第1页共4页11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数f(x)有两个不相等的实根b,c，其中cb．在函数f(x)图像上横坐标为1的点处作曲线yf(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x；用x代替x，重复以上的过程得到x；一直下去，得到数列{x}．记2213nxnbanln，且a1，xc，下列说法正确的是1nxncecbe1A．1C．a6（其中lne1）B．数列an}是递减数列11D．数列an}的前n项和Sn2nn132an三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将1到10这10个正整数平均分成甲、乙两组，每组5个正整数，且甲组的中位数比乙组的中位数小1，则不同的平分方法共有_________种．13．已知圆A:(x2)2y21，圆B:(x2)2y4，直线3x4yt0上存在点P，过点P2向圆A引两条切线PC和PDC和DP向圆B引两条切线PE和PFE和F，若CPDEPF，则实数t的取值范围为_________．14图，已知锐角ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于点若AB3，则sinPAC_________；若AC:AB:BC6:5:4，则PAPBPC的值为_________．四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）已知椭圆C，抛物线C的焦点均在x轴上，C的中心和C的顶点均为坐标原点O，从C，C上分1别取两个点，将其坐标记录于下表中：212122x122223y0222（1）求C和C的标准方程；12（2）若C和C交于不同的两点,B，求OAOB的值.12第2页共4页1615分）如图，在四棱锥PABCD中，PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，ADCD,AD2BCCD3,PB6．（1）求证：平面平面ABCD；（2）点M为棱PC的中点，求PCD.1715分）31间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立．24（1）随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率．（2）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．第3页共4页1817分）已知函数fxexcosx2，gxsinx．（1）求证：当x，g(x)xf(x)；，（2）若xfxgx恒成立，求实数a的取值范围．1917分）已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①xyz；②xyz；③xyz为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn,2}(nnnNnS的非空子集BS中存在三个互不相同的*,4)元素a,b,c，使得ab,bc,ca均属于B，则称集合B是集合Sn的“期待子集”.（1）试判断集合A是否具有性质P，并说明理由.（2）若集合B}具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”.（3）证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合Sn的“期待子集”.第4页共4页东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第四次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题2134567891011ABCCABADABDABAD1．A解：展开式的通项公式为则第项的系数为：2．B解：因为则由等差数列的性质可知，．故选A．，，，所以3．C，公差．故选B．解：因为所以，且，所以，即，，所以向量在向量上的投影向量为．故选：4．C解：为钝角三角形．所以在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件．5．A解：223，故外接球表面积为S=4πR2=16π易知外接球球心为∆PAC外心，故外接球半径R==．π2sin3336．B解：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要t1小时，由题意可得60e80，60eKt90，两边同时取自然对数并整理，得K804903K4ln32ln2ln3，Ktln32，603602ln322ln2ln320.691.101.100.69则t1.5，则给氧时间至少还需要0.5小时7．A解：不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R∴|AP|=|AR|，|BP|=|BQ|，|퐹Q|=|퐹R|22∵点A在双曲线上∴|AF|-|AF|=2a12又∵|BF|=2a∴|AB|=|AF|12∴|BP|=|F2R|∴|BQ|=|QF2|∵点B在双曲线上∴|BF|-|BF|=2a21∴|BF2|=4a2024届高三第四次六校联考数学答案第1页共8页1∴|QF|=|BF|=2a222|IQ|3设内切圆圆心为I，连接IQ、IF，如图所示∵tan∠IFQ==22|QF2|3ππ∴∠QF2I=6即∠BF2A=3π∴∆ABF为等边三角形∴|AF|=6a，|AF|=4a，|FF|=2c，∠FAF=21212123在∆AFF由余弦定理得：|퐹퐹|2=|퐴퐹|2+|퐴퐹|2−2|퐴퐹|∙|퐴퐹|∙푐표푠∠퐹퐴퐹1212121212即：4푐2=36푎2+16푎2−24푎2=28푎2푐284∴푒===7푎8．D解：∵푓(푥)=푠푖푛2푥푐표푠푥+푐표푠2푥푠푖푛푥−푠푖푛2푥=2푠푖푛푥푐표푠2푥+푐표푠2푥푠푖푛푥−2푠푖푛푥푐표푠푥=푠푖푛푥(2푐표푠2푥+2푐표푠2푥−1−2푐표푠푥)=푠푖푛푥(4푐표푠2푥−2푐표푠푥−1)令푓(푥)=0，则푠푖푛푥=0或4푐표푠2푥−2푐표푠푥−1=01±√5即：푠푖푛푥=0或푐표푠푥=4由图像可知，函数f(x)共8个零点515115另法：因为f(x)sin(xx)sin(xx)2sinxcosx22222215由f(x)0，得sinx0，或cosx022所以1x，或x，即x2，或x52，kZ22255因为x311379所以x0，或x,,,,,,共8个零点5555559．ABD解：对于yf(x)2x，对于xA，均有唯一确定f(x)(0,)B，符合函数定义，故选项A正确对于yf(x)2x，对于xB，均有唯一确定f(x))B，符合函数定义，故选项B正确对于xf(y)log2y，取y1A，x0B，不符合函数定义，故选项C错误对于xf(y)log2y，对于yB，均有唯一确定f(y)RA，符合函数定义，故选项D正确10．AB解：设，则，，所以，，，对于对于，，，A正确；，所以，B正确对于，，，所以对于而不一定成立，C错误，，，与不一定成立，所以不一定平行，D错误；故选AB．2024届高三第四次六校联考数学答案第2页共8页11．AD解：对于A选项，由푎1=푙푛푥1−푐=1푥1−푏푥1−푏푒∙푐−푏푒−1得=푒，所以푥1=，A正确．푥1−푐∵二次函数푓(푥)有两个不等式实根b，c∴不妨设푓(푥)=푎(푥−푏)(푥−푐)∵푓′(푥)=푎(2푥−푏−푐)∴푓′(푥)=푎(2푥−푏−푐)푛푛∴在横坐标为x的点处的切线方程为：푦−푓(푥)=푎(2푥−푏−푐)(푥−푥)令y=0，n푎∙푥(2푥−푏−푐)−푓(푥)푛푛푎푥푛−푎푏푐푎(2푥푛−푏−푐)푥푛−푏푐푥푛+1−푏푥2−푏푐−푏(2푥−푏−푐)푥2−2푏푥+푏2(푥푛−푏)2(푥푛−푐)2푛푛푛푛2푛푛푛푛则푥푛+1=푥===∵===푎(2푥푛−푏−푐)2푥푛−푏−푐푥푛+1−푐푥−푏푐−푐(2푥−푏−푐)푛푥−2푐푥+푐2푛2푛푥푛+1−푏푥푛−푏∴푙푛=2푙푛即：푎푛+1=2푎푛푥푛+1−푐푥푛−푐∴{푎푛}为公比是2，首项为1的等比数列．∴푎푛=2푛−1故BC错．111푛−11−2푛1−1−21对于D选项，由푎푛+=2푛−1+()，得푆푛=+2푛=2푛−1+2−2푛=2푛+1−，故D正确．푎푛21−2122푛−15分，共15分）1312147234107036；[−,]33412.36解：依题意，甲组的中位数必为5，乙组的中位数必为6所以甲组另外四个数，可从1,2,3,4和7,8,9,10这两组数各取2个，共有C42C4236107013.[−,]33解：连接圆心和切点，如图所示：即有∠퐴푃퐶=∠퐵푃퐹=휃PFCADBE휋AC=1，BF=2∠퐴퐶푃=∠퐵퐹푃=∵|푃퐴|푠푖푛휃=퐴퐶=1|푃퐵|푠푖푛휃=퐵퐹=22|푃퐴||푃퐵|122222∴=设P(x,y)∵2|푃퐴|=|푃퐵|∴2(푥+2)+푦=(푥−2)+푦3010649∴푥2+푦2+푥+4=0化简得：(푥+)2+푦2=23108∴P的轨迹为以圆心（−，0为半径的圆．∵P在直线4푦+3푥+푡=0上331064|−10+푡|8310703∴直线4푦+3푥+푡=0与(푥+)2+푦2=有交点∴≤∴−≤푡≤395314．；解：设外接圆半径为由正弦定理，可知，则，，即，由于是锐角，故的垂心，即，又由题意可知为三角形，故，所以设；，2024届高三第四次六校联考数学答案第3页共8页则，由于，不妨假设，由余弦定理知，设，，为三角形的三条高，由于，，故则得，所以，同理可得，所以，故答案为：；四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）解：（1）设抛物线C2的标准方程为y22px(p0)y2则2px因为22(22)2412所以点(2,22)在抛物线C2上，且2p4，解得p2…3分…4分所以抛物线C2的标准方程为y24x．23x2y2将点(1,),(2,0)代入椭圆1的标准方程ab0)中22a2b2312a22b2，解得a2b21…6分…7分得12ax2所以椭圆1的标准方程为y2.12（2）根据对称性，可设,B两点坐标分别为(x,y),(x,y)00002y4x，消y得x28x20…9分联立方程组x22y22解得x432，x43212y2因为x042024届高三第四次六校联考数学答案第4页共8页所以0324所以OAOB0…11分2y0202x24)24)50362.…………13分2401615分）（1）证明：如图，取的中点K，连接,，AD2．∵PAD为正三角形，，∴3,且…1分…2分∵2，K,又∵底面ABCD为直角梯形，BC,四边形BKDC为平行四边形AD,3又PB6,PK2BK2PB2PKBK.又………………4分………………5分,K,,,∴.∵PK平面PAD,平面PAD平面ABCD………………6分(2)由（1）易知PK平面ABCD，BKAD，如图，以K为坐标原点,KB,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，…7分1233则(0,0,3),(0,3,0),C(3,0),(，M(PBD)，,,22133CD(0,3,0),PD(3)BM(,,)…………9分222设平面的法向量为n(x,y,z)，3y0n0由得，令x3，则yz1，n(3,0,，……………11分，nx3z00PCD……………12分……………14分33|||n|722sin|n|n|213)2(3)2321(22221∴与平面PCD所成角的正弦值为……………15分.7（方法不唯一，若考生从几何法入手，依据实际情况酌情给分）17.（15分）1）用事件A表示选择甲种无人运输机，用事件A表示选择乙种无人运输机，12用事件B表示“选中的无人运输机操作成功”…………………2分…………………4分则P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)112213115为所求．2422…………………6分8（2）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X，Y，则X，Y的所有可能取值均为0，1，2，……………7分13111324222418方案一：PX01，1112024届高三第四次六校联考数学答案第5页共8页13113311311115242244224222321，PX11113311113224422232，………10分PX1151341所以EX012．………………11分8323232方案二：方法一：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，134121254所以EY22，………………13分2方法二：133111244222325PY1，0111123344121122167PY12121，1C1C13311113PY，22442223257135所以EY012．………………13分3216324所以EXEY，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………………15分1817分）（1）证明：设Gxxg(x)xsinx，x0则G'x1cosx0，所以Gx在区间上单调递增，………2分分……………3所以GxG00，即g(x)x．设F(x)f(x)xe则F'(x)exsinx1由x0时，g(x)x，即sinxxxxxcos2，x0……………4分……………5分所以F'(x)esinx1ex1xx设hxexx1，则hxex1，当x0时，hx，所以函数在区间上单调递增，0hx故在区间上，hxh00，即在区间上，exx1，…………、6分所以F'(x)exx10所以F(x)在区间上单调递增所以F(x)F(0)0，即F(x)x……………7分所以g(x)xf(x)得证．（2）由fxgx在区间上恒成立，即ecosx2sinxax0在区间上恒成立，x设xexcosx2sinxax，则x0在区间上恒成立，而xexsinxcosxa…………8分令mxx，则mxexcosxsinx，由（1）知：在区间上，exx1sinxcosx，，所以在区间上函数单调递增，…………10分0x即mxexcosxsinx①当a时，，2a2002024届高三第四次六校联考数学答案第6页共8页故在区间上函数，所以函数x在区间上单调递增，x0x0fxgx在区间上恒成立．………13分00又2时，02a，②当aπ4a2a2sina2cosa2a2sina2…………15分20故在区间a2上函数x存在零点x，即x0，00又在区间上函数x单调递增，故在区间0上函数x00，所以在区间0上函数x单调递减，，所以在区间x上x00，与题设矛盾．00由0综上，a的取值范围为,2．…………17分（矛盾区间找点用极限说明扣1分）19.（17分）1）集合A不具有性质P，理由如下：………1分（i）从集合A中任取三个元素x,y,