6.4 立方根 人教版数学七年级下册知识讲解

专题6.4立方根（知识讲解）【学习目标】1.了解立方根的含义；2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质特别说明：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【典型例题】类型一、立方根➽➼概念的理解➻➸平方根✬✬立方根 1．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键．举一反三：【变式1】下列说法正确的是（

）A．的立方根是 B．的平方根是C．一定有平方根 D．表示的算术平方根【答案】C【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的概念解答即可解：A、64的立方根是，故本选项不合题意；B、的平方根是，故本选项不合题意；C、因为，所以一定有平方根，故本选项符合题意；D、的算术平方根是，故本选项不合题意；故选：C【点拨】本题考查了平方根，立方根以及算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键．【变式2】下列说法中，不正确的是（）A．是的平方根 B．的平方根和立方根都是C．负数没有立方根 D．的算术平方根和立方根都是它本身【答案】C【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，即可一一判定．解：A.，是的平方根，故该选项正确，不符合题意；B.的平方根和立方根都是，故该选项正确，不符合题意；C.负数有立方根，故该选项不正确，符合题意；D.的算术平方根和立方根都是它本身，故该选项正确，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，若一个数的平方等于，则这个数叫做a的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0；若一个数的立方等于，则这个数叫做a的立方根．类型二、立方根➽➼求一个数的立（平）方根✬✬已知立（平）方根求原数2．求下列各式中x的值：； (2)．【答案】(1)或5(2)【分析】（1）利用平方根的性质解答，即可求解；（2）利用立方根的性质解答，即可求解．（1）解：∴，即，解得：或5；（2）解：，∴，解得：．【点拨】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】求下列各式中的x的值． (2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用平方根解方程；（2）利用立方根解方程．（1）解：∵，∴，∵，∴，解得：或；（2）解：∵，∴，∵，∴，解得：．【点拨】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握平方根和立方根的概念，是解题的关键．【变式2】求下列各式中的值：【答案】（1）x=4；（2）【分析】（1）根据立方根的定义解答；（2）根据平方根定义解答．解：（1）x+2=6，x=4；（2）．【点拨】此题考查了利用立方根定义及平方根定义解方程，正确求一个数的立方根及平方根是解题的关键．类型三、立方根➽➼平方根✬✬立方根➽➼综合应用3．已知a是2的平方根，b是（﹣13）2的平方根，c的立方根是﹣3，d的算术平方根是，回答下列问题．分别求出a，b，c，d的值；d的另外一个平方根落在图中的．（填“段①”“段②”“段③”“段④”）【答案】(1)a=±，b=±13；c=-27，d=2(2)段②【分析】（1）根据平方根和立方根的知识可求得此题结果；（2）先求得d的另外一个平方根为，再比较出它在数轴中所在的位置．解：（1）∵（±）2==，（±13）2=（13）2，（3）3=27，（）2=2，∴±是的平方根，±13是（13）2的平方根，27的立方根是3，2的算术平方根是，∴，b=±13，c=27，d=2；（2）解：∵2的平方根是±，而，∴d的另外一个平方根落在图中的“段②”，故答案为：“段②”．【点拨】此题考查了运用平方根和立方根解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．举一反三：【变式1】已知正数的两个平方根分别是和，的立方根为-2．计算：_________；_________；_________；求的算术平方根．【答案】(1)1；-1；25(2)1【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数以及立方根的定义进行求解即可；（2）先求出，然后根据算术平方根的定义求解即可．(1)解：∵正数的两个平方根分别是和，的立方根为-2，∴，∴，∴，故答案为：1；-1；25；(2)解：∵，∴，∴的算术平方根为1．【点拨】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，熟知三者的定义是解题的关键．【变式2】己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，求a，b，c的值求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．（1）解：∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴；（2）把：代入得：，∵，∴的平方根是：．【点拨】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．类型四、立方根➽➼生产生活中的应用4．在一个长、宽、高分别为8，4，2的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【答案】4cm【分析】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．解：由于装满水的长方体容器中的水，全部倒入正方体容器中，恰好倒满，所以它们的体积相等，而长方体容器的体积，所以正方体容器的体积为64，所以此正方体容器的棱长为．【点拨】本题主要考查了立方根的概念的运用以及应用，解决本题的关键是熟练掌握立方根的应用．举一反三：【变式1】一个正方体的体积是，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的边长及其表面积．【答案】边长，表面积【分析】根据题意知大正方体的体积为，则其边长为体积的立方根，可求得表面积．解：正方体的体积为：，即正方体的边长为：，则正方体的表面积为：，答：边长，体积．【点拨】本题主要考查了有理数的乘法运算以及立方根的知识，掌握正方体的体积公式和表面积公式是解答本题的关键．【变式2】李叔叔将8个正方体魔方，放入到一个容积为的正方体纸箱中，恰好填满．求这个魔方的棱长．【答案】【分析】先算出1个魔方的体积，然后根据体积公式算出魔方的棱长即可．解：1个魔方的体积为：．则这个魔方的棱长为．答：这个魔方的棱长为．【点拨】本题主要考查了立方根的实际应用，解题的关键是熟练掌握正方体的体积公式，准确进行计算．类型五、立方根➽➼能力拓展5．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：=；若，则；已知，且与互为相反数，求的值．【答案】(1)(2)3(3)，；，；，【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；（3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．（1）解：因为，，所以是两位数，因为；猜想的个位数字是9，接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；最后再依据“负数的立方根是负数”得到；（2）解：∵，∴和互为相反数，∴，∴；故答案为：3．（3）解：，即，∴或1或解得：或3或1∵与互为相反数，即，∴，即，∴时，；当时，；当时，．【点拨】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．举一反三：【变式1】观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，已知，求的值；已知，，求的值；根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；（2）根据算术平方根规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；（3）根据立方根的规律，根号内扩大1000倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；解：（1），．（2），．．（3），．．，即．【点拨】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键．【变式2】类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果，那么x叫做a的四次方根；②如果，那么x叫做a的五次方根；请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：81的四次方根为____________；-32的五次方根为____________；若有意义，则a