2023年中考数学几何模型-几何图形的旋转变换（讲+练）（原卷版）

专题09几何图形的旋转变换

知识点：（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）

（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等

腰直角三角形）

题型一、求点的坐标

例1.如图，在平面直角坐标系中，4（1,0）,5（-2,4）,AB绕点A顺时针旋转90°得

到AC,则点C的坐标是（）

例2.如图，比△AOS中，NAO8=90°,0A=3,OB=4,将△A08沿x轴依次以三角形三

个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是

【变式训练11如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1,2）,过点B作BA±y

轴于点A,连接OB将AAOB绕点O按顺时针方向旋转45°,得到△A，OB一则点B的坐标

为（）

2

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，AAOB的顶点8在第一象限，点A在y轴的

正半轴上，AO=AB=2,ZOAB=\20°,将AAOB绕点。逆时针旋转90°,点5的对应

点）的坐标是（)

A.(-2--^,V3)

B.(-

C.(-3,2--^)

D.(-3,V3)

【变式训练3】如图，AAOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2,述），底边OB在x轴上。

将aAOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A9B,点A的对应点A，在x轴上，则

点（/的坐标为（)

C.D.

【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，将正方形OA8C绕点。逆时针旋转45°后得

到正方形OAiBiCi,依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形QA2O2O32O2OC2O2O,如

果点A的坐标为（1,0）,那么点82020的坐标为（）

(-V2,0)C.(-1,-1)D.(0,-V2)

例1.如图1,已知点8、C、。在同一条直线上，△ABC和△CQE都是等边三角形，BE交

AC于点凡AD交CE于点H.

（1）求出NACE的度数：

（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；

（3）若将△CCE绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成

立，说明理由.

BDB

图1图2

例2.如图1,正方形ABC。与正方形A£PG的边A3、AE(/山<AE)在一条直线上，正方

形用G以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为a.在旋转过程中，两个正方形只有

点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.

(1)当正方形的G旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；

(2)当点C在直线BE上时，连接FC,直接写出NFCD的度数：

(3)如图3,如果a=45。，AB^2,AE=4后,求点G到3E的距离.

例3.在Rt^ABC中，AC±AB,D为内平面内一动点，CD=a,CB=b,其中a,b为常数，

且a<b,WAADC沿射线AB方向平移，得到ABEF,点A、C、D的对应点分别为点B、E、

F,连接AF.

(1)如图，若D在aABC内部，请在图中画出aBEF；

(2)在(1)的条件下，若CD_LAF,求AF的长(用含a,b的式子表示)；

(3)若ZABC=a试探究当线段AF的长度取最小值时NACD的大小(用含a的式子表示).

备用图

【变式训练1］已知：在RtAABC中，/ACB=90°,AC=BC,D是线段AB上一点，连结CD,

将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连结DE,BE.

(1)依题意补全图形；

(2)若/ACD=a,用含a的代数式表示NDEB；

(3)若4ACD的外心在三角形的内部，请直接写出。的取值范围.

C

ADB

【变式训练2】阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边△A8C内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求N

AP2的度数.

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△4CP'处，此时△4CP'这

样就可以利用旋转变换，将三条线段PA,PB、PC转化到一个三角形中，从而求出/AP8

-150°；

(2)基本运用

请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②，ZVIBC中，NC4B=90°,AB=AC,E、尸为BC上的点且/£4尸=45°,求

证：EF2=BE2+FC2：

（3）能力提升

如图③，在RtZ\4BC中，ZC=90°,AC=1,NABC=30°,点。为RtZiABC内一点,

连接A。，BO,CO,且NAOC=/COB=NBOA=120°,求OA+OB+OC的值.

【变式训练3】在△/1BC中，AC=BC,在中，AD=ED,点。、E分别在C4、AB

上.

⑴如图①，若Z4cB=/4£>E=90。，则CO与防的数量关系是:

(2)若/4CB=NAZ)E=120。，将"区)绕点4旋转至如图②所示的位置，则8与3E的

数量关系是;

(3)若ZACB=NAOE=2a(0<a<90。)，将△曲绕点A旋转至如图③所示的位置，探究

线段C。与环的数量关系，并加以证明(用含a的式子表示).

图①图②图⑤

课后训练

1.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABC。的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、

x轴的负半轴上，其中A(0,-4),C(-2,0),将矩形ABCQ绕点。逆时针旋转得到矩

形AECO,点B恰好落在x轴上，线段8A与CQ交于点E的坐标为()

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A.(-2,—2)B.(-2,—[)C.(-2,-2)D.(-2,—^)

2.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(逐，—),将线段OP1绕点。按顺时针方

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向旋转45°,再将其长度伸长为OPi的2倍，得到线段OP2;又将线段OP2绕点O按顺时

针方向旋转45°,长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3;如此下去，得到线段OP4,OP5,…，

OPn(7?为正整数)，则点尸2020的坐标是

3.如图，在4ADE中，ZDAE=80°,将4ADE绕点A顺时针旋转S得△ABC,若AC平分N

DAE,则a=；若AC平分NBAE,则a=.

4.如图，在AABC中，NBAC=90°,B=AC=10,点D为AABC内一点，ZBAD=15°,

AD=6,连接BD,将AABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应

点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为.

5.如图，△ABC中，NABC=45°,AHJ_BC于点H,点D在AH上，且DH=CH,连结

BD,将ABHD绕点H旋转，得到aEHF（点B、D分别与点E、F对应），连结AE,当点

F落在AC上时（F不与C重合），若BC=4,tanC=3,则AE的长为.

6.如图，在人钻。中，AB^AC,且/班C=30。，以Afi为腰作等腰直角三角形他。以AC

为斜边作等腰直角三角形4CE,连接。£＞、成交于点F，求NW话的度数.

A

7.如图1,已知AABC是等腰直角三角形，ABAC=90。，点。是BC的中点.作正方形DEFG,

使点A、C分别在OG和DE上，连接AE,BG.

(1)试猜想线段3G和他的数量关系是；

(2)将正方形DEFG绕点、D逆时针方向旋转a(0°<«<360°),

①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若BC=DE=4,当AE取最大值时，求AF的值.

8.阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求N

APB的度数.

为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到△ACP处，此时△ACP'9XABP,这

样就可以利用旋转变换，将三条线段PA.PB、PC转化到一个三角形中，从而求出NAPB

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