函数的概念及其表示讲义-高考数学一轮复习

专题3.1函数的概念及其表示

・必背知识

i.函数的概念

函数

两个集合A,B设A,B是两个共半头数集

如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数X,

对应关系

在集合B中都有唯丁碰足的数y和它对应，则称

f.ATB

f-.AtB为从集合A到集合B的一个函数

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y=f(x),xe4中，x叫做自变量，光的取值范围4叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合e4］叫做函数的值域.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系：

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的

依据.

3.基本初等函数的值域

⑴y-kx+b(k*0)的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c(a*0)的值域是：当a>0时，值域为(»)；当a<0时，值域为(一8,.

(3)y=H0)的值域是{y|y彳0}.

(4)y=ax(a>0且aK1)的值域是(0,+oo).

(5)y=logax(a>0且aK1)的值域是R.

(6)y=sinx,y=cosx的值域是［-1,1］>y=tanx的值域是R.

【重要结论】

1.判断两个函数是否为相同函数：一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同：

2.判断图象是否为函数图象：直线x=a与图象至多有一个交点.

4.函数的三种表示法

解析法图象法列表法

就是把变量x,y之间的关系就是把x,y之间的关系绘制就是将变量x,y的取值列成

用一个关系式y=f(%)来表成图象，图象上每个点的坐标表格，由表格直接反映出两者

示，通过关系式可以由X的值就是相应的变量久，y的值.的关系.

求出y的值.

5.分段函数

(1)分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种

函数称为分段函数，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数；

(2)定义域：各段函数的定义域的并集；

(3)其值域:各段函数的值域的并集.

看教材改编

1.【人教A版必修一33P66］下列函数中，与〃幻=［坐二?'言，有相同图象的函数是()

A.y=x(x2-1)B.y=|x|(x-1)C.x(|x|-1)D.y=x2-|x|

2.【人教A版必修一习题3.1第7题P73］(多选)画出函数/(x)=［"二1'"1°的图象，并求出八―2),

(-2x,x<0

f(l)，f［/(2)］的值和f(x)的值域.

考点一求函数的定义域

【方法储备】

1.求函数的定义域：研究函数问题都应该注意“定义域优先”

(1)求具体函数的定义域

i)函数用解析式表示：求定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化.一般通过列不等

式(组)求其解集，列不等式的基本原则有：

①分式：分母不能为零；

②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0；若偶次根式作分母，偶次根式根号内的式子大于0；

③零次募：x°中底数XH0;

④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于1;

⑤三角函数：正切函数y=tanx的定义域为卜*力］+kn,kez},

⑥若/(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义

域的交集.

⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有

意义.

ii)函数用列表或图象表示：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数X的集合；用图象法表示的

函数的定义域，是指图象在X轴上的投影所对应的实数的集合.

注意：⑴不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；

⑵定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或"连接，而应该用并集符号

“U”连接.

(2)求抽象函数的定义域

①已知f(x)的定义域，求/(g(x))的定义域：

若/(x)的定义域为[a力],则/(g(x))中a<g(x)<b,解得x的取值范围即为f(gO))的定义域；

②已知/'(g(x))的定义域，求/(x)的定义域：

若/(g(x))的定义域为则由aWxWb确定g(x)的范围，即为f(x)的定义域;

③已知的定义域，求;"(Mx))的定义域：

可先由f(g(x))定义域求得代支)的定义域，再由/(x)的定义域求得/(h(x))的定义域；

④运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.

注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是x的取值范围，同一个/下括号内的范围是一样的.

2.已知函数的定义域求参数的取值范围：通常转化为恒成立问题解决.

【典例精讲】

例1.(2022•广东省佛山市月考)已知函数〃幻=扁扁+后予，则函数/窗的定义域为()

A.(-2,0)U(0,4]B.(-1,0)U(0,2]C.[-2,2]D.(-1,2]

例2.(2023•湖北省武汉市期中)若函数/(x)的定义域为[1,3],则函数=的定义域为()

A.(1,2]B.(1,5]C.[1,2]D.[1,5]

例3.(2023•浙江省温州市月考)若函数y=J一(1一m的定义域为R，则m的取值范围

是.

【拓展提升】

练1-1(2023•山东省青岛市期末)函数y=Ig(sinx)+Jcos久一)的定义域为.

练1-2(2022•湖南省长沙市模拟)(多选)已知函数/(mx)的定义域为(e,+8),值域为R,则()

A.函数/(x4+l)的定义域为RB.函数/(d+1)+1的值域为R

C.函数/(袈)的定义域和值域都是RD.函数/(/(*))的定义域和值域都是R

考点二求函数的解析式

【方法储备】

求函数的解析式的常用方法：

⑴待定系数法：

已知/(X)的类型，可先设出/(X)的表达式，再根据已知条件，求出待定的参数，求得f(x)的表达式.

⑵换元法：

已知f(g(x))的解析式，先设t=g(x)，转化为久=Mt)，再代入f(g(x))的表达式，得到外。的解析式，

即为f(x)的解析式.

⑶配凑法：

已知f(g(x))的解析式，将解析式配凑成g(x)的运算形式，从而得到/Q)的解析式.

注意：用换元法和配凑法求函数7"(%)的解析式，注意定义域的变化.

⑷构造方程组法：

已知出现f(x)与/G)的关系式、f(x)与f(-x)的关系式、一个奇函数与一个偶函数的关系式，可利

用;或-X“替换”原等式中的X,得到另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出/(X).

⑸利用函数的奇偶性求解析式：

已知为奇函数或偶函数，且已知x>0时/(X)的解析式，求x<0时八X)的解析式.先设x<0,

则-x>0,则可求出/'(-x)的解析式，再根据f(x)=f(-X)或/(X)=-/(-X),求得/(X).若f(x)为奇

函数，定义域内有0,则f(0)=0.

⑹赋值法：

当等式包含变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、

简单化，从而求得解析式.

【典例精讲】

例4.(2022•湖南省衡阳市月考)己知f(d+妥)=/+3，则/(尤)=.

例5.(2022•江苏省扬州市月考)若函数/(x)满足/(久)-2/&)=x+2,则/⑵=()

A.0B.2C.3D.-3

例6.(2022•辽宁省沈阳市期末)定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的x,y&R,都有f(x-y)=

f(x)-f(y)；②当时，/(x)>0,则函数f(x)的解析式可以是.

例7.(2022•湖南省考前押题卷)己知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+l)=f(x—3),当xe[0,2]

时,/(x)=3—1,则/(-2021)=；xe[2,4]时,f(x)=.

例8.(2022♦广东省中山市月考)已知函数f(x)=a/+2x+c,(a,ceN*)满足：①/⑴=5；

②6</(2)<11.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对任意的实数xe弓,|],都有/(x)-2mxW1成立，求实数小的取值范围.

【拓展提升】

练2-1(2023•江西省南昌市模拟)已知函数f(x)满足2f(?)+f(中)=1+x,其中xe且XH0,则

函数/(约的解析式为

练2-2(2023•河北省名校联考)已知函数y=f(久)的图象关于y轴对称，且对任意的xeR/(x+兀)=

f(x)恒成立，请写出一个满足以上条件函数y=的解析式(非常值函数).

练2-3(2023•广东省汕头市联考)若函数f(x)为R上的单调递增函数,且对任意实数xeR,都有-

ex]=e+1(e是自然对数的底数)，则/(/n2)=

考点三分段函数及其应用

【方法储备】

1.已知自变量的值求函数值：

根据自变量确定相应的定义域，选择正确的解析式，代值计算，求解时遵循由内到外的顺序进行.

2.已知函数值求自变量的值：

令各段解析式分别等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则

就舍去.

3.已知分段函数解析式求值域或最值：

求出各段函数的值域求并集，得到分段函数的值域；或求出各段函数的最值进行比较，得到分段函数的最

值.

4.分段函数与不等式的综合：

⑴解简单的分段函数不等式，分段求解不等式并与对应的定义域取交集，最后将得到的各段范围取并集即

可.

⑵若含参，要注意分类讨论，或求出的参数的值要验证是否符合要求.

强调：①“分段求解”是处理分段函数问题解的基本思路;

②多使用数形结合，帮助解决如零点、不等式等复杂问题.因此要熟练的作出分段函数的图象，分段作出

各段图象，注意端点处的虚实.

【典例精讲】

例9.（2。23・四川省重庆市期中）已知函数生）北器4…，则/—）+/⑴=（）

例10.（2022•江苏省盐城市月考）已知函数/（乃=卜2%：?＜：：2,若/（a）=f（a+2）,则

（一LX+o,XNZ

心=.

例11.（2023•北京市市辖区期中）已知函数/（乃=［1n彳;若IFQOlNax,则实数a的取值

范围是（）

A.（-8刈B.(-<»,1]C.[-2,1]D.[-2,0]

【拓展提升】

练3-1（2022•四川省绵阳市模拟）已知函数/（x）是定义在R上的偶函数，当xNO时，/（x）=x（l-x）.

则不等式x/（x）＞0的解集为.（）

A.(-1,0)U(l,+8)B.(-1.0)U(0,1)

C.(-<»,-1)u(0,1)D.(-co,-l)u(l,+oo)

若函数f=『］；：｝犯:::的值域为［2,+oo）,

练3-2（2023•山东省青岛市模拟）（多选）

贝|」（）

A./(3)>/(2)B.m>2

C.喈)<尼)D.Iogm(m+1)>log(m+i)(m+2)

-x)+l,x<0

练3-3（2022•湖北省武汉市模拟）（多选）,则下列结论中正确的

y[x,X>0

是（）r

A.（-8,0］是函数/（X）的一个单调减区间

B./(%)>1的解集为(L+8)

C.若/(x)=I，则x=%或x=1-y/~2

D.方程f(x)+x=O必有两个实数根

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1.(2022•辽宁省月考)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德・黎曼发现并提出，在高等数

学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在［0,1］上，其解析式为:

吃，当x=#,q都是正整数，浮既约真分数)

R(x)=

0,当x=0,1或［0,1］上的无理数

若函数f(%)是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有/'(2+x)+/(x)=0,当X6［0,1］时,f(x)=/?(x),

贝U/(-ln2022)-o/n?(?.)=()

信x+k—^,2k<x<2k+

2.(2023•浙江省联考)(多选)已知函数=f33化62)则()

(2%-2k-52k+§4％V2k+2,

A./(%)是单调递增函数B./(/(x+2))=x

C./(%)<%-1D./(%)+/(%+1)42%

【答案解析】

1.【人教A版必修一33P661

解：函数的定义域为R,各个选项中函数的定义域也都为R,

力.对应法则不相同，不是相同函数；

氏y=|尤|(%-1)=产。[1)*弓八，对应法则不相同，不是相同函数;

Cy=x(|x|-l)2n，对应法则相同，是相同函数；

’71，(-X[X+L),X<0

Dy=%2一田=广；一/"对应法则不相同，不是相同函数.

故选C.

2.1人教A版必修一习题3.1第7题P73]

解：f(x)的图象如下：

/(-2)=-1,/(1)=0,丹/(2)]=/(3)=8,

/(X)的值域是[-1,+8).

例1.

x+1>0

解：由，x+1力1,得一l<x<0或0<x42.

.4-x2>0

再由-1<]<0或0cls2,得一2<久<0或0cx<4.

••・函数/6)的定义域为(-2,0)U(0,4].

故选：A.

例2.

解：因为函数/(x)的定义域为[1,3],

所以在函数g(x)=勺^^中，

应满足｛；f2x-l<3(解得1<%=2,

所以函数g(x)的定义域为(1,2].

故选：A.

例3.

解：•••函数的定义域为R,

・,.不等式mx2-(1—m)x+mN0恒成立，

当m=0时，不等式等价为-久之0,不恒成立，此时不满足条件.

当m4O,要使不等式恒成立，则满足糖::)2_4涓go'解得加4’

即实数m的取值范围为小吟

故答案为废,+00).

【拓展提升】

练1-1.

sinx>0

{cosx--1>'>0n'

/二(2kn<%<7T4-2kn

得+2forSX线+2也比ez,

解得2/OT<x<2kn+|,keZ,

故原函数的定义域为{X|2/OT<x<2kn+l，keZ).

故答案为：{x\2kn<x<2kn+pfc6Z}.

练1-2.

解：己知函数/Six)的定义域为(e,+8),

由x6(e,+8),则Inxe(1,+8)

所以函数/(吗的定义域为(1,+8),

对于力，因为函数/'(X)的定义域为(1,+8),所以由/+1>1,可得X片0,

函数/(X4+1)的定义域为(一8,0)U(0,+8),故月错误；

对于8,函数/(x)的定义域为(1,+8),值域为R,

所以由选项A可得，函数/(x2+1)的定义域为(一oo,0)U(0,+co),

所以函数/(d+1)的值域也是R,所以函数/(d+1)+1的值域为R,故8正确；

对于C,令1=蒙，因为函数/(%)的定义域为(1,+8),

所以t=4=1+占>1,解得eX>0,

er

因为二>0对恒成立，所以函数/(蒙)的定义域为R,

又因为对于xe(l,+8)函数/(X)的值域为R,所以函数/«)的值域也是R,

即函数/(袈)的值域也是R,所以函数/(袈)的定义域和值域都是R,故C正确：

对于D,令f(x)=Iog2(x-1),则/(X)的定义域为(1,+8),

所以由Iog2(x-l)>l,可得x>3,所以函数f(f(x))的定义域为(3,+8),故。错误.

故选BC.

例4.

解：令t="+妥+2J/X妥=2,当且仅当工=±1时等号成立，

又因为%4+2=(X2+摄>—2,故/(C)=产—2,tE[2,+oo),

故/(x)=X2—2,xG[2,+00),

故答案为%2—2,xG[2,+oo).

例5.

解:由f(x)-2后)=x+2,可得6)一2/(*)=1+2,

联立两式可得/(x)=一g(%+§-2,代入x=2可得f(2)=-3.

故选D.

例6.

解：定义在R上的函数f(x)满足：

①对任意的x,y&R,都有/(x-y)=f(x)-f(y)；

当x=y=0时，/(0)=0,

当x=0时,/(-y)=-f(y),

所以函数为奇函数，

②当x<0时，/(x)>0,

则当久>0时，/(%)<0,

所以函数的解析式为/(%)=-x或-2x(不唯一).

故答案为：f(x)=-x或一2x.

例7.

解：由f(x+l)=/(x-3),得f(x+4)=/(x),

所以f(x)是以4为周期的周期函数，

所以/(-2021)=/(2021)=f(4x505+1)=/(I)=3-1=2；

设xe[—2,0],则一xe[0,2],

因为f(x)是R上的偶函数，所以当xe[-2,0)时，/(%)=/(-%)=3^-1,

当％6[2,4]时，x-4e[-2,0],所以f(x)=f(x-4)=3-(xT)-i=34T-l.

故答案为2；3”工一1.

例8.

解：⑴；/⑴=a+2+c=5,c=3—a.①

又•.•6</(2)<11,即6<4a+c+4<11,②

将①式代入②式，得一g<a<土

又,**Q,\c€N.,•*•(1-1,C—2f

・•・f(x)=x2+2x4-2；

⑵…弓1弓3］,

二当/'(x)-2mxW1时，2(l-m)w-(x+；),xe

令g(x)=-(%+；),xe［|,|］.

g(x)在百1］上单调递增，在［1,|］上单调递减，

八、5,3、135-13

"3=一展5(2)=-T-一/一丁

15

J・gQ)min=g(2)=-2f

・•・2(1-m)三一|,解得?nN*

、9

・•.m>>.

练2-1.

解：以一x代入可得2/(-^-)+f(上廿)=1—久，

与2f(汩+/")=l+x联立，可得f(gl)=A♦

令”手，t丰1，%==，，/(。=»占

•••/■(比)=2-六(义工1)-

故答案为/(%)=Nr(x#1)■

练2-2.

解：取函数y=cos2%,

函数y=cos2x为偶函数，图象关于y轴对称，

又cos2(x+TT)=cos(2x+2TT)=cos2x,满足％6R,f(x+兀)=f(%)恒成立.

故答案为y=cos2x.

练2-3.

解：设t=f(%)-e"

则f(x)=e%+t,f(t)=e+1,

令x=t,则f(t)=et+t=e+l,

■:函数/(x)为单调递增函数，t=1,

1,•/(x)=ex+1,

即/(Zn2)=eln2+1=24-1=3,

故答案为3.

例9.

解：-2)=sin(—27r+F)=si唯=今/⑴=21+1=3,

・・・/(-2)+/(1)=1"3=夕7

故选：C.

例10.

解：当0VQV2时，a+2>2,

所以/(a)=Q?+a/(a+2)=-2(a+2)+8,

因为f(a)=/(a+2),所以M+a=-2(a+2)+8,BPa2+3a—4=0,

所以a=1或a=-4(舍)，所以心=/(I)=2；

当QN2时，所以Q+2之4,因为f(x)=—2%+8为单调函数，

所以/(。)=/(a+2)不成立;

综上可得f(；)=/(l)=2.

故答案为2.

例11.

解：由y=|f(x)|的图象(如图所示)知,

①当》>0时，只有a<0时才能满足|/(x)|>ax.

②当工工0时，y—|/(x)|=|-%24-2x|=x2-2x.

故由|f(%)|>ax得％2-2x>ax.

当％=0时，不等式为0N0成立；

当％<0时，不等式等价为x-2<a.

vx—2<—2,/.a>—2.

综上可知，a6[—2,0].

故选D.

练3T.

解：根据题意，当xVO时，一%>0,

则/(—X)=(-x)(l+%)=-%(14-%),

又由/(%)为偶函数,则/(%)=/(-%)=-%(1+%),

xf(x)>0=[/(X)=x(l-x)>O^l-x(l+x)<O,

解可得：x<-l或0cx<1,即x的取值范围为(-8,-l)u(0,l).

故本题选C.

练3-2.

解：当工21时，因为/'(X)=%+1-济久，y，(x)=1—；=一■,

因为x21,则?20,即尸(x)20,所以f(x)在［1,+8)单调递增,

所以f(3)>f(2)正确；

/(x)>/(I)=1+1-Inx=2,则/(%)>2,

当％<1时，/(%)=-%3-x4-24-m,

/*(%)=—3%2—1<0,

所以/(%)在(一8,1)上单调递减，

因为苧且苧<;，所以〃竽)<6)错误,

因为/(%)的值域为[2,+8),所以一13—1+2+m22,故m22正确;

x/nx—(x+l)Zn(x+l)

令y=logx(x+1)(%>2),则y=-x(x+l)(Znx)2-

因为％N2,则汽+1>%之2,

ln(x4-1)>Inx>0,xlnx—(x4-l)Zn(x+1)<0,x(x4-l)(Znx)2>0,

即y'vo,函数在[2,+8)上单调递减，

因为m+1>m,则logmO+1)>log(m+i)0+2)正确.

故选

练3-3.

解：对于4当xWO时，/(%)=logi(l-%)4-1,是由y=log"+1与£=1-x(xW0)复合而成,

22

而y=logit4-1与t=1-x(x<0)都是减函数,

2

故/(x)=logl(l一%)+1在(-8,0］上单调递增，故/错误；

2

对于当工工0时，/(x)=logi(l-%)+1</(0)=1,

2

二当%>0时，f(%)>1,则Q>1,解得％>1,

・・・/(%)>1的解集为(1,+8),故B正确；

对于C,当工40时，/(x)=即嚏式1-x)+1=^,解得X=1-V"2，

乙2

当x>