2023年北京中考数学第一模拟考试卷

2023年中考数学第一次模拟考试卷（北京卷）

数学.全解全析

1.下列几何体中，是圆柱的为（）

【答案】B

【分析】根据圆柱体的特征进行判断即可.

【详解】圆柱体是由两个圆形的底面和一个侧面所围成的几何体，

因此选项B中的几何体符合题意，故选B.

2.卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场.世

界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世

界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（）

A.0.17×105B.1.7×105C.17×104D.1.7×106

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为"xlθ"的形式，其中l<∣α∣<∣0,〃为整数.确定〃的

值时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值≥10时，”是正数：当原数的绝对值<1时，"是负数.

【详解】170000=1.7×105.故选B.

3.如图，在数轴上表示实数√元-1的点可能是（）

PQMN

------1-----L---1----»j_»j_∙_>

Ola734

A.点PB.点。C.点MD.点N

【答案】B

【分析】先估算√元的值，即可判断.

【详解】V9<I5<16,

."∙3<√15<4,

∙'∙2<√15-1<3,

.∙.数轴上表示实数任-1的点可能是点Q,故选B.

4.如图，直线小6相交，/1=150°,贝∣J∕2+∕3=（）

A.150oB.120oC.60oD.30o

【答案】C

【分析】利用邻补角互补可得/2和N3的度数，进而可得答案.

【详解】：/1=150。，

ΛZ2=Z3=180o-I50o=30o,

.,.Z2+Z3=60o,故选C.

5.一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球

后再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）

A.AB.AC.AD.ɪ

9369

【答案】B

【分析】首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两个球都

是黑球的情况，再利用概率公式求解即可.

【详解】画树状图得：

开始

黑黑白

Z∖⅛z∖∕z∖

.∙.一共有6种等可能的结果，其中两个球都是黑球的有2种情况，

两个球都是黑球的概率为2=2.

63

故选B.

6.不解方程，判断下列方程中有实数根的是（）

A.2∕+4χ+3=0B.X2-2Λ∙+3=0C.2x2+5=0D.x2+x=0

【答案】D

【分析】计算出每个方程判别式的值与0的大小关系从而判断根的情况.

【详解】A.此方程判别式A=42-4x2x3=-8V0,无实数根，不符合题意；

B.此方程判别式A=（-2）2-4×l×3=-8<0,无实数根，不符合题意；

C.此方程判别式A=。？-4x2x5=-40V0,无实数根，不符合题意；

D.此方程判别式△=『-4x1x0=1>0,有两个不相等实数根，符合题意；

故选D.

7.研究与试验发展（R&D）经费是指报告期为实施研究与试验发展（R&D）活动而实际发

生的全部经费支出.基础研究活动是研究与试验发展（R&D）活动的重要组成.下面的

统计图是自2016年以来全国基础研究经费及占R&D经费比重情况.

2016-2021年全国基础研究经费

占R6D经费比重情况

6.202016-2021年全国基础研究经费情况

A.2016年至2021年，全国基础研究经费逐年上升

B.2016年至2021年，全国基础研究经费占R&O经费比重逐年上升

C.2016年至2021年，全国基础研究经费平均值超过IoOO亿元

D.2021年全国基础研究经费比2016年的2倍还多

【答案】B

【分析】根据统计图逐项分析可得答案.

【详解】由频数分布直方图得，2016年至2021年，全国基础研究经费逐年上升，故A

正确，不符合题意；

由条形统计图得，2016年至2021年，全国基础研究经费占R&D经费比重2017和2018

年持平，故B错误，符合题意；

2016年至2021年，全国基础研究经费平均值为(823+975+1090+1336+1467+1696)÷6

=123I.2>1000,故C正确，不符合题意；

823×2=1646<1696,故D正确,不符合题意,

故选B.

8.将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管

沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度〃(cm)与注水时间f(min)

的函数图象大致是()

----------

【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现

用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度八（Cm）与注水时间/

（min）的函数图象.

【详解】将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃

杯内的水原来的高度一定大于0,则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁

匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯

水平时，开始向小杯中流水，人随/的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度

h不再变化.

故选B.

二.填空题（共8小题）

9.若√羡在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是x≥5.

【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案.

【详解】式子√荔在实数范围内有意义，则χ-5X）,

故实数X的取值范围是：於5.

故答案为：x≥5.

io.方程—⅞―=3的解为X=>.

3χ-lX7

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【详解】去分母得：2x=9χ-3,

移项合并得：-7x=-3,

解得：x=3,

7

经检验X=旦是分式方程的解，

7

故答案为：X=旦

7

11.因式分解∕nr2+2fftr+∕n=m(x+l)).

【分析】提公因式，“后，再利用完全平方公式进行计算即可.

【详解】原式=〃7(X2+2X+1)

—m(x+l)2,

故答案为：，"(X+1)2.

12.若(-1,yι),(-3,”)在反比例函数y=K(⅛>0)的图象上，则yι<y2.(选

X

填：或“=”)

【分析】根据反比例函数的增减性解答即可.

【详解】∙.,⅛>o,

，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随X的增大而减小，

又；(-1,y),(-3,*)在反比例函数y=K(QO)的图象上，且-3<7<0,

X

.*.yi<>2.

故答案为：‹.

13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调

查了该校IOO名学生，其中68名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统

计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有1360人.

【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的人数所占比例即可得.

【详解】估计该校喜欢甲图案的学生有200OX里=1360(人)，

IOO

故答案为：1360.

14.如图，射线。C是NAOB的平分线，P是射线OC上一点，夕。，。4于点。，OP=6,

若E是射线OB上一点，0E=4,则AOPE的面积是12.

【分析】过点P作P∕ΛL08于点H,根据角平分线的性质得到PH=OP=6,根据三角形

的面积公式计算，得到答案.

【详解】过点尸作尸”，OB于点H,

「OC是NAoB的角平分线，OP_LOA,PHLOB,

.".PH=DP=G,

则SA0PE=∙10EXPH=∙1X4X6=12,

22

故答案为：12.

15.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=5,E点为BC边延长线一点，且CE=3.连接

AE交边CD于点F,过点。作。AE于点从贝1」。〃=_遍_.

【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段FC的长，进而求得。尸的长，利用勾股

定理和三角形的面积公式列出关于DH的方程，解方程即可得出结论.

【详解】四边形ABC。为矩形，

.,.CD∕∕AB,DC=AB=4.

：.ZEFC^ZEAB,

"：NE=NE,

：.MFCs∕∖EAB.

.ECFC__FC1

"EB"AB'

ΛFC=1.5,

：.DF=DC-FC=25.

Λ^=√DF2+AD2=∣√5∙

VZADC=90o,DHlAE,

.∙.SA=工×AD∙DF=∑χAF∙DH.

22

.∖AD∙DF=AF∙DH,

5x2.5=∙∣√ξxDH.

ΛDW=√5.故答案为：√5∙

16.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的唇

（guɪ）长损益相同（唇是按照H影测定时刻的仪器，辱长即为所测量影子的长度），二

十四节气如图所示.从冬至到夏至暑长逐渐变小，从夏至到冬至暑长逐渐变大，相邻两

个节气署长减少或增加的量均相同，周而复始.若冬至的号长为13.5尺，夏至的岳长为

1.5尺，则相邻两个节气辱长减少或增加的量为二L尺，立夏的唇长为J_尺.

冬至270

唇长逐海变大

二十四节气

【分析】根据相邻两个节气署长减少或增加的量相同，观察从冬至到夏至号长变化次数

即可求出相邻两个节气辱长减少或增加的量，从而可得立夏的鞋长.

【详解】•••相邻两个节气唇长减少或增加的量均相同，从冬至到夏至署长变化12次，

相邻两个节气皆长减少或增加的量为（13.5-1.5）÷12=1（尺），

立夏的辱长为1.5+3xl=4.5（尺立

故答案为：1,4.5.

Ξ.解答题（共12小题）

17.计算：（兀-I）O+4Sin45°-悯+I4T卜

【分析】直接利用零指数基的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝时值

的性质分别化简，进而合并得出答案.

【详解】（兀-I）°+4sin45°-Vδ+|V3-1|

=I+4×χ2.-2√2+√3-1

=l+2√2-2√2+√3-1

=Vs-

18.先化简，再求值：(2x-3)2+(X+4)(X-4)+5X(2-x),其中x---ɪ.

【分析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式运算法则分别化简，进而合并同类项，再

把已知数据代入得出答案.

［详解］原式=4χ2-12x+9+x2-16+10χ-5/

=-2χ-7,

当=，时，

2

原式=-2Λ∙-7

=-2×（-A）-7

2

=1-7

=-6.

19.已知：线段AB.

求作：RtAABC,使得N8AC=9O。，ZC=30°.

作法：

①分别以点4和点8为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点。；

②连接BD,在BD的延长线上截取DC=BDi

③连接AC.

则AABC为所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接AD

"：AB=AD=BD,

.∙∙∆ABD为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）.（填推理的依据）

ΛZB=ZΛDB=60o.

'JCD=BD,

.".AD=CD

：.ZDAC=ZDCA（等边对等角）.（填推理的依据）

二NADB=ZC+ZDAC=60o.

ΛZC=30°.

⅛∆ABCΦ,

ZBAC=180o-（ZB+ZC）=90°.

AB

【分析】（1）根据要求作出图形；

（2）证明B是等边三角形，可得结论.

【解答】⑴解:图形如图所示：

(2)证明：连接AD

YAB=AD=BD,

・・・AABO为等边三角形(三边相等的三角形是等边三角形).(填推理的依据)》

，NB=NAoB=60。.

•：CD=BD,

/.AD=CD

：.ZDAC=ZDCA(等边对等角).(填推理的依据)

ΛZADB=ZC+ZDAC=60°.

ΛZC=30°.

在ZiABC中，NftAC=180。-(ZJ5+ZC)=90°.

故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，ZDCA,等边对等角.

20.已知关于X的方程7-2∕HΛ÷∕H2-9=0.

(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；

(2)设此方程的两个根分别为川，Xi,若XI+∕2=6,求相的值.

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出A=36>0,由此可证出此方程

有两个不相等的实数根；

(2)利用分解因式法解方程可得出方程的根Xi=m+3,X2=ιn-3,结合XI+Λ2=6,即可

找出关于相的一元•次方程，解之即可得出结论.

【解答】(1)证明：VΔ=(-2m)2-4×(/??2-9)=4w2-4∕w2+36=36>0,

.・・此方程有两个不相等的实数根.

(2)解：X2-2mx+tn2-9=0,即(x-w+3)Cx-m-3)=0,

解得：j∏=∕n+3,X2=tn-3.

∙.∙J∏+JC2=6,

•♦2A77=6,

解得：/〃=3.

21.如图，点A、F、C、。在同一直线上，点3和点E分别在直线AD的两侧，且AB=。R

NA=ND,AF=DC.

(1)求证：四边形BeEF是平行四边形;

(2)若/DEF=90。，DE=8,EF=6,当AF为-ɪl时，四边形BCEF是菱形.

—5-

【分析】(1)由AB=DE,ZA=ZD,AF=DC,易证得AABCgOf■尸(SAS),即可得

BC=EF,且BC〃EF,即可判定四边形BeEF是平行四边形；

(2)由四边形8CE尸是平行四边形，可得当8E1.CF时，四边形8CE尸是菱形，所以连

接BE,交CF与点G,求出FG的长，则可求出答案.

【解答】(1)证明：IAF=DC,

.'.AC=DF,

,AB=DE

在A4BC和△£)£下中，.ZA=ZD-

AC=DF

Λ∆ABC^∆DEF(S4S),

.,.BC=EF,ZACB=ZDFE,

J.BC//EF,

.∙.四边形BCEF是平行四边形;

当BE_LCF时，四边形BCEF是菱形,

丁NQEF=90。，DE=8,EF=6,

∙∙∙DF≈√DE2+EF2=V82+62=1°,

：.FG=CG=BC∙cosZBCA=6×l=^-,

55

,AF=CO=QF-2FG=10-逊=11.

55

故答案为：1⅛.

5

22.在平面直角坐标系XOy中，一次函数y=fcr+8(⅛≠0)的图象经过点A(0,-1),B(1,

0).

(1)求鼠6的值；

(2)当x>l时，对于X的每一个值，函数y=-2x+〃的值小于一次函数y=⅛x+6的值，

直接写出〃的取值范围.

【分析】(1)通过待定系数法将A(0,-1),B(1,0)代入解析式求解.

(2)解含参不等式-2x+n<kx+b.

【详解】(1)将A(0,-1),B(1,0)代入解y=⅛x+b得，

卜。，解得Ik=1,

IO=k+bIb=-I

(2)由(1)得y=χ-1,

解不等式-2x+n<x-1得x≥止L

3

由题意得更工1,即於2.

3

故答案为：，W2.

23.2022年是中国共产主义青年团建团IOO周年.某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，

七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级

各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析.下面给出了部分信息：

七年级学生的成绩整理如下(单位：分)：

57676975757577777878808080808686888889

96

从八年级学生成绩的频数分布直方图如图(数据分成四组：60<r<70,70≤x<80,80。

<90,90<x<100):

其中成绩在80≤r<90的数据如下(单位：分)：

80808182838485868789

c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:

年级平均数中位数众数

七年级79.0579m

八年级79.2n74

根据所给信息，解答下列问题：

(1)In=80,n=80；

(2)估计八年级学生的成绩高于平均分的人数更多:

(3)若成绩达到80分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数.

【分析】(I)根据众数和中位数的定义可得出答案.

(2)分别求出七、八年级的成绩在平均数以上的占比，再乘以总人数可得七、八年级学

生的成绩高于平均分的总人数，比较即可.

(3)由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为上，八年级成绩优秀的人数占比为旦，

220

再根据3OOXJL+3OOXaI计算求解即可.

220

【详解】(1)根据七年级的成绩可知，

/W=80,

由题意知，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是80,80,

."=80+80=80.

2

故答案为:80；80.

(2)由题意知，七年级成绩在平均分以上的有10人，占总数的工，

2

.∙.估计七年级学生的成绩高于平均分的人数为300×l=150(人)，

2

八年级成绩在平均分以上的有11人，占总数的旦，

20

.∙.估计八年级学生的成绩高于平均分的人数为300x」l=165(人)，

20

V150<165,

估计八年级学生的成绩高于平均分的人数更多.

故答案为：八.

(3)由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为上，八年级成绩优秀的人数占比为旦，

220

.∙.估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为300x1+300x11=315(人).

220

答：估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为315人.

24.如图，A是。。上一点，BC是。。的直径，BA的延长线与。O的切线CO相交于点。,

E为CQ的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点尸.

(1)求证：AP是OO的切线；

(2)若OC=CP,AB=2√3>求C。的长.

D

【分析】(1)由圆周角定理得出/BAC的度数，再直角三角形的性质得AE的长，再由

切线的性质可得答案；

(2)先证明AAOC是等边三角形，得出NACO=60。，再利用三角函数可得答案.

【解答】(1)证明：连接A。，AC,

是。。的宜径，

：.ZBAC=90°,

.".ZCAD=Wo,

为CO的中点，

：.AE=I.CD=CE=DE,

2

：.AECA=AEAC,

∙.Q=0C,

：.ZOAC=ZOCA,

:c。是。。的切线，

'CDLOC,

NECA+/OCA=90。，

.∖ZEAC+ZOAC=90o,

：.0ArAP,

：A是。。上一点，

.∙.AP是。。的切线；

(2)解：由(1)知OA_L4P,

在RtAOAP中，

VZOΛP=90o,OC=CP=AO,BP0P^20A,

，sinP=∙2Δ∙=工，

OP2

.∙.ZP=30o,

NAoP=60。，

'."OC==OA,

：.Z∖AOC是等边三角形，

，NACo=60。，

在Rt∆BAC中，

VZfiAC=90o,ΛB=2√3(ZACO=60°,

...A—=AB==2,

tan/ACOtan6O°

∖∙NCAO=90°,ZACD=90°-NACO=30°,

/,CD=AC=2=

COSNACDco≡3003

25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经

空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部

分.这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着

陆坡底端B到点。的水平距离.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程

中，运动员的竖直高度y(单位：加)与水平距离X(单位：m)近似满足函数关系y=-

J-v⅛+c.已知OA=70"?,OC=60m,落点尸的水平距离是40根，竖直高度是30〃?.

16

(1)点4的坐标是(0,70),点P的坐标是(40,30)；

(2)求满足的函数关系y=-表乂2+法+小

(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接

写出此时的水平距离.

【分析】(1)根据题意可知直接求出A,P坐标；

(2)把A,P坐标代入y=-J-χ2+fcv+c,用待定系数法求函数解析式即可；

16

(3)作MN〃y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出8C的关系式，再分别表示

出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案.

【详解】(1)根据题意得，A(0,70),P(40,30),

故答案为:(0,70),(40,30)；

2

(2)把A(0,70),P(40,30)代入y=-J^γ+bx+c^t

16X

'c=70

，1,

-⅛×1600+40b÷c=30

16

八且

解得｛"2，

c=70

所以二次函数的表达式为y=-Xr2+Λr+70;

162

(3)如图，作MN〃y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，

,/OC=60m,

：.C(0,60),

设线段BC的关系式为y=kx+m,则［k60

I40k+m=30

解得：Jk=^4.

m=60

所以线段BC的关系式为y=-l.t+6O,

4

设M(4,-ɪɑ2+2a+7O),则N(α,-‰6O),

1624

222

贝I]MN=-A-a+Λz+7O+Λfl-60=--JLα+Λα+10=-工(4-18)+30.25,

162416416

；_J-<0,

16

.∙.当X=I8时，MN有最大值，最大值为30.25,

答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18»/.

26.在平面直角坐标系xθy中，点A(xι,川)、点B(必”)为抛物线y=αx2-2ax+cι(«/0)

上的两点.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)当-2VXlV-I且1VΛ2<2时，试判断)，1与”的大小关系并说明理由；

(3)若当f<xι<f+l且f+2<x2<f+3时，存在yι=)2,求f的取值范围.

【分析】(1)先化抛物线的表达式为y="(X-I)2+1,依此可求抛物线的对称轴；

(2)利用二次函数性质即可求得答案；

(3)利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与8到对称轴的距离相等即可解答.

【详解】(1)y-ax1-2ax+a-a(X-I)2,

抛物线的对称轴为x=l;

(2)；-2<xι<-1,∖<X2<2,

1-Xi>1-%2»

ΛA离对称轴越远，

若〃>0,开口向上，则yι>y2,

若“V0,开口向下，则y∣Vy2,

(3)Vr<xι<r+I,/+2<Λ2<Z+3,

存在yi="，则f+l<l且f+2>l,

•1V0且01,

Vγι=y2,

存在l-χι=xι-1，

即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，

,ɪ-t>t+2-1且I-(什1)<r+3-I,

/.-l<r<0.

27.已知：如图，OB=BA,/084=150。，线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段AC.连

接8C,OA,OC,过点O作OOJ_AC于点D

(1)依题意补全图形；

(2)求/OOC的度数.

【分析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；

(2)过。点作于”点，如图，先计算出/。8，=30。，ZBA0=∖5o,则OH=

LOB,NoAD=75°,再根据旋转的性质得到AB=4C,NBAC=90。，则OH=∙1∙AC,接

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