2023年高中自主招生数学模拟试题

一、选择题

1.方程x。-l）（x-2）=x的根是（）

A.xi=l,X2=2B.X1=O,X2=lX3=2

c3+石3-石为=0,桁源，定U

C.X\=-----,X2=-----D.

2222

2.反比例函数y=4，当xW3时,x的取值范围是（)

x

2222

A.工〈一B.工》一C.—或xVOD.OVxW-

3333

3.如图，在平面直角坐标系中，ZAOB=90°,ZOAB=30°,反比例函数y=%的图象经过

x

点A,反比例函数j,=-的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是（)

X

A.m=-3nB.m=-yJ3nC.m=-——nD.m=——n

33

x+15、°

----->x-3

4.关于x的不等式组222只有4个整数解，则。的取值范围是（）

-----<x+a

3

1414

A.---B.-5^a<--C.-5VW—-D.5<fl<-

333-T

5.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30。到正方形ABCD,则图中阴影

部分的面积为（）

A.1一且B.且C.1-3D.1

3342

6.如图，AB是。。的直径，。。交BC的中点D,DE_LAC于E,连接AD,则下列结论

正确的个数是（）①AD_LBC；②NEDA=NB；③OA=12AC；@DE是。0的切线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，已知人〃/2〃/3,相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角aABC的三个项点

分别在这三条平行直线上，则sina的值是

A1C-T。・噜

B

8.如图，在直角三角形ABC(ZC=90°),放置放置边长分别3,4,x的三个正方形，则

x的值为.

A.5B.6C.7D.12

9.如图，Rt^ABC中，AC=BC=2,正方形CDEF顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD

的长度为x,AABC与正方形CDEF重叠部分的面积为x,则下列图象中能表示x与x

之间的函数关系的是()

10.我们知道，一元二次方程/=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1.若

我们规定一个新数“r'，使其满足12=-1(即方程彳2=一1有一个根为j).并且进一步

规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则照旧成立，于是有

3=?•，?=-],尸=j2Xj=(-1)Xi=-i,I4=(产)2=(-1)2=],从而对于随意正

整数〃，我们可以得到产"+1=»4"Xi=(〃)"Xi,,同理可得，4"+2=-1,//3=-j,i

4"=1.那么计产炉记+…+产侬+/侬的值为()

A.0B.1C.-1D.i

二、填空题

11.假如关于x的方程a(x+m)2+6=0的解是制=-2,及=1(a，m,b均为常数，aWO),那

么方程a(x+m+2)2+b=0的解是

12.如图，已知AD〃BC,AB1BC,AB=2,点E为射线BC上一个动点，连接AE,WAABE

沿AE折叠，点B落在点B，处，过点B，作AD的垂线，分别交AD,BC于点M,N.当

点B，为线段MN的三等分点时，BE的长为.

13.如图，已知。O是以坐标原点0为圆心，1为半径的圆，NAOB=45。，点P在x轴上运

动，若过点P且与OA平行的直线与。。有公共点，设PG,0),则x的取值范围是

14.若****।=4,则—+，■+[=

Xx-

15.已知一组正数朴及、》3、X4、X5的方差S2=-(X\2+jC22+-V32+A：42+^52-20),则关于数据

5

xi+2,X2+2,X3+2,足+2,*+2的说法：①方差为S2；②平均数为2；③平均数为4；

④方差为4s2.其中正确的说法有个。

16.甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打竞赛，另一人当裁判.每一局输

者当下一局的裁判，而原来的裁判与赢者竞赛.一天训练结束时，统计甲共打12局，

乙共打21局，而丙共当裁判8局.那么整个竞赛中第10局的输方确定是

17.若化简"乂一/爪―8x+16的结果为聚-5,则x的取值范围是

18.一切不小于2的自然数〃，关于4的一元二次方程(〃+2)X-2A?2=0的两个

根记作an9bn(n>2),则

111

______________________—

(-2)-2

(a2-2)(ft2-2)(a3-2)(h3-2)(«2>i7)(*2)i7)

三、解答题

19.如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60。，沿山坡向上走到P

处再测得C的仰角为45。，已知OA=200米，山坡坡度为工(即ta〃NPAB=1)，且O,

33

A,B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度.(侧

倾器的高度忽视不计，结果保留根号)

3

20.如图，一次函数的图象与反比例函数,=-士(x〈0)的图象相交于A点，与x轴、x轴分

x

别相交于B,C两点，且C(2,0),当x<-l时，一次函数值大于反比例函数值，当x

>-1时，一次函数值小于反比例函数值.

(1)求一次函数的解析式；

(2)设函数y,=A(x>0)的图象与乂=一』*<0)的图象关于x轴对称，在必=固。>0)的

~XXX

图象上取一点点的横坐标大于2),过P点作轴，垂足是Q,若四边形BCQP

的面积等于2,求尸点的坐标.

21.“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗.某班学生在“端午节”前组织了一次综合

实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自

己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们.统计全班学生制作粽子的个数，将制作粽

子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A,B,C,D四个组，各组每人制作的

粽子个数分别为4,5,6,7.依据如图不完整的统计图解答下列问题：

(1)请补全上面两个统计图；(不写过程)

(2)该班学生制作粽子个数的平均数是、

(3)若制作的粽子有红枣馅(记为M)和蛋黄馅(记为N)两种，该班小明同学制作这两种粽

子各两个混放在一起，请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率.

22.阅读下面一段对话，并解决后面的问题:

视察下面一列数：1，2,4,8,……我们发觉这一列数从第2项起，每一项与它的前一

项的比都等于2.一般地，假如一列数从其次项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个

常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.

(1)等比数列3,-9,27,……的第4项是

(2)假如一列数可，42,03,44,……是等比数列，且公比为q,那么依据上述规定，

有——=q,——=q,—―=q,...所以cti-ai.q,a2.q=ai.q.q—ci\Q,GA-ciz,q

ata,a}

—(ai/).q=4i/...,an=(用s与q的代数式表示).

(3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项和第7项.

23.如图，在正方形ABCD中，AD=2,E为AB的中点，将aBEC绕点B逆时针旋转90。

后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针

旋转90。得线段FG,连接EF,CG.

(1)求证：EF〃CG；

(2)求点C,点A在旋转过程中形成的AC,AG与线段CG所围成的阴影部分的面

24.某公司某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件、B产品100件.已知甲种

设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备

每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件.

(1)若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多

少天恰好完成生产任务？

(2)若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成

生产任务，确定租赁这两种设备合计10天(两种设备的租赁天数均为整数)，问该公司共有

哪几种租赁方案可供选择?所需租赁费最少是多少？

25.已知，在aABC中，NBAC=90。，/ABC=45。，点D为直线BC上一动点（点D不与

点B,C重合）.以AD为边做正方形ADEF,连接CF