七年级数学图形认识学生讲义

图形的认识4.1图形根本概念本章小结小结1本章内容概览本章的主要内容是多姿多彩的图形，直线、射线、线段以与角等有关的概念与其性质．其课标要求是：(1)理解线段、直线和射线的区别与联系，会比拟线段的大小，并进展计算．(2)理解角的概念，会比拟角的大小，会进展角的度数的计算．(3)了解互余、互补的概念，理解它们的性质．小结2本章重点、难点：本章的重点是线段和角的概念与其相关的性质；难点是对平面图形的概念与其相关性质的理解．小结3本章学法点津1．要通过直观感知，具体操作、确认等实践活动，区分图形，探索出图形的特征和性质，培养空间想象能力．2．要注意多观察、多分析实物，勤动手操作、勤动脑联想，同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用．3．要淡化概念识记、不能机械地套用公式模式，到达“在做中学，在学中做〞．4．要注重“简单说理〞推理能力的培养，养成言之有据的良好习惯．知识网络构造图重点题型总结与应用题型一计算几何图形的数量1．数直线条数例1n(n≥2)个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3＝3，S4＝6，S6＝10，…，由此推断，Sn＝.2．数线段条数例2如图4—4—1所示，C、D为线段AB上的任意两点，则图中共有多少条线段例3小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢小明通过认真思考得出了答案．为了解决一般问题，小明设计了以下图表进展探究：参加人数2345…握手示意图握手次数12＋1=33＋2＋1=64＋3＋2＋1=10…请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论．3．数直线分平面的块数例4豆腐是我们生活中的常见食品，常被分割成长方体或正方体的小块出售．现请你用刀切豆腐，每次切三刀，能将豆腐切成多少块题型二两角互补、互余定义与其性质的应用例5一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．例6如果一个角的补角是120°，则这个角的余角是()A．30°B．60°C．90°D．150°例7的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．….观察以上各组数据，你能得出怎样的结论请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论．题型三角的有关运算例8如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数．例9如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，假设∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．例10(1)用度、分、秒表示54．12°．(2)32°44′24″等于多少度(3)计算：133°22′43″÷3．方法总结角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．题型四钟表的时针与分针夹角问题例1115：25时钟面上时针和分针所构成的角是度．题型五图形的转化例12以下图形中不是正方体的平面展开图的是()例13如图4—4—6所示，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形〞的对应关系填空：A与对应；B与对应；C与对应；D与对应．题型六方位角例14如图4—4—7所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15°的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)．思想方法归纳1．分类讨论思想分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进展统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．注意分类时要做到按同一标准且不重不漏．例1线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．例2经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是()A．1或3B．3C．2D．12．数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数〞或“以数解形〞，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想表达的．例3如图4—4—11所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开场，在平面上沿着直线BC滚动一周，求B点转动的角度．3．转化思想解决一个问题，往往是由未知向转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终．例4将以下选项中的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到如图4—4—13所示立体图形的是()考点1线段考点突破：线段问题在中考题中一般难度不大，解题时要结合图形，认真分析，问题便会迎刃而解．例1〔2021广东佛山，12，3分〕线段AB=6，假设C为AB中点，则AC=．〔2021广西崇左，5，2分〕在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．如图4—4—14所示，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段的条数是()A．1B．2C．3例2〔2021清远，6，3分〕∠α＝35°，则∠α的余角是〔〕 A.35° B.55° C.65° D.145°〔2021•南通〕∠α=20°，则∠α的余角等于70°．〔2021福建福州，5，4分〕以下四个角中，最有可能与70°角互补的角是〔〕 A． B． C． D．例3如果∠α＝60°，则∠α的余角的度数是()A．30°B．60°C．90°D．120°30°角的补角是()考点3钟表上的角度问题考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考察形式为选择题或填空题．解决此类问题需明确：在钟表上，1分钟分针走6°，1小时时针走30°．例4从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是()A．30°B．60°C．90°D．120°考点4从不同方向看立体图形考点突破：从不同方向看立体图形是中考的热点问题，几乎每套中考题中都会出现，解决问题时应发挥空间想象能力，把立体图形转化为平面图形．例5如图4—4—15所示四个几何体中，从上面看得到的平面图形是圆的几何体共有()A．1个B．2个C．3个D．4个例6如图4—4—16所示的几何体是由7个大小一样的小正方体组成的，该几何体从上面看得到的平面图形为()综合验收评估测试题一、选择题1.以下说法正确的选项是()A．平角是一条直线B．周角是一条射线C．用2倍的放大镜看1cm的线段，这条线段变成了2cmD．用2倍的放大镜看30°的角，这个角变成了60°2．以下说法正确的选项是()A．直线AB与直线BA不是同一条直线B．线段AB与线段BA不是同一条线段C．射线OA与射线AO不是同一条射线D．射线OA与射线AO是同一条射线3.如图4—4—17所示，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是()A．AC＞BDB．AC＝BDC．AC＜BDD．不能确定4.如果线段AB＝6cm，BC=5cm，则A、C两点间的距离是()A．1cmB．5．5cmC．11cmD．11cm或1cm5.假设∠α的补角是42°，∠β的余角是52°，则∠α和∠β的大小关系是()A．∠α＞∠βB．∠α＜∠βC．∠α＝∠βD．不能确定6.如图4—4—18所示，∠1＝15°，∠AOC＝90°，B、O、D三点在一条直线上，则∠3等于()A．75°B．105°C．15°D．165°7.一个角和它的补角的度数比为1∶8，则这个角的余角为()A．10°B．20°C．70°D．80°8.如图4—4—19所示，∠AOC＝∠BOD=∠78°，∠BOC＝35°，则∠AOD等于()A．113°B．121°C．156°D．86°二、填空题9.29°30′=度，18．25°＝度分秒．10.15分钟时间，时钟上的时针转了度，分针转了度．11.如图4—4—20所示，由点B观测点A的方向是．12.一个画家有14个棱长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图4—4—21所示的形式，然后他把露出的外表都涂上颜色，则被涂上颜色的总面积为．三、解答题13.请仔细观察如图4—4—22所示的折纸过程，然后答复以下问题：(1)求∠2的大小．(2)∠1与∠3有何关系(3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系14.如图4—4—23所示，AC=CD＝DB，AC＝2AM，BN＝BM，如果MN＝5cm，求AB、CN的长．15.如图4—4—24所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东30°方向爬行2．5cm，碰到障碍物B后，又沿西北方向爬行3cm到达C处．(1)画出蚂蚁爬行的路线；(2)求∠OBC的度数；(3)测出线段OC的长度(准确到0．1cm)．3.2直线、射线、线段【本讲教育信息】一.教学内容：直线、射线、线段二.重点、难点：同学们初学几何直线、射线、线段都是几何中的根本元素，可以说几何中很大一局部图形是由它们构成的，所以掌握直线、射线、线段的各种特性对我们今后学习好几何起着决定性作用。三.复习1.知识构造图2.直线、射线、线段的联系与区别【典型例题】[例1]〔1〕直线有个端点，向方无限延伸；射线有个端点，向方无限延伸；线段有个端点延伸。〔2〕线段AB的端点是，射线OP的端点是。〔3〕直线的根本性质〔公理〕是：经过两点一条直线。〔4〕叫做两点的距离。〔5〕线段的公理是：所有联接两点的中，最短。说明：这些都是直线、射线、射线的根本性质，同学们要熟练掌握。[例2]〔1〕如图A、B、C、D是一条直线上，依次排列的四个点，AC=BC+，AD=BC+。〔2〕如图，B是AC的中点，C是BD的中点，则AB=BD，BC=AD。〔3〕：如图，线段AB=1.8cm，C点在AB的延长线上，AC=BC，则BC=cm。说明：对于几何题目要结合图形，很多证明，计算都要从图形入手。[例3]如图，图中共有条线段，共有条射线，分别是比拟图中线段的大小，ADAB，ACAE，点E在线段AB所在直线，点E在线段AC，点E是线段的交点。[例4]如图，图中共有条线段。[例5]在直线L的同一方向上作AB=5cm，AC=，AD=7cm，在DA的延长线上作DE=9cm，DF=，则C是或的中点，DC=，CEFE。[例6]以下图形中，可以度量长度的是〔〕A.直线B.射线C.线段D.点解析：直线无端点向两方无限延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸；点没有大小；线段有两个端点，故只有线段可以度量长度。[例7]如图，图中给出的是直线、射线、线段的位置关系，其中能相交的是〔〕A.直线AB和直线CD B.直线AB和射线CDC.线段AB和射线CD D.线段AB和线段CD[例8]如图，图中确定的虚线，表示线段OP的反向延长线的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[例9]线段AB=5cm，BC=3cm，则AC=〔〕A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.无法确定[例10]点D在线段EF上，在等式DE=DF，DE=EF，EF=2DF，DF=DE中，能表示D是线段EF三等分点的有〔〕A.一个B.两个C.三个D.四个[例12]：E、F两点把线段AB分成三局部，D是线段AB的中点，FB=12。求：〔1〕DF的长；〔2〕【模拟试题】〔答题时间：50分钟〕一.判断题：1.三条直线两两相交，交点必定是三个。〔〕2.连结AB，就是要画以A、B为端点的线段。〔〕3.射线是直线的一半。〔〕4.点B把线段AC分成两条线段，则说点B是AC的中点。〔〕5.直线BA与直线AB表示同一条直线。〔〕6.点和直线的位置关系有：点在直线上，点在直线外。〔〕7.线段AC=BC，则C是线段AB的中点。〔〕8.两点之间直线最短。〔〕9.反向延长线段AB到C，使BC=3AB。〔〕二.填空题：1.在几何里，一个点可以用一个表示，一条射线可能用一个表示，也可以用表示。2.过一点有条直线；过两点有条直线，并且条直线。3.叫做线段。4.线段AB，在BA的延长线取一点C，使CA=2AB，则线段CB是线段AB的倍。5.直线是向无限延伸的。6.如图〔1〕，线段AB=AD++，线段CB=AB－。〔1〕7.如图〔2〕，从甲地到乙地有三条路线，其中最近的是，根据的公理是。〔2〕8.如图〔3〕，如果AB=BC=CD，则线段AC的中点是，BC=BD。〔3〕9.过三点中的每两点画直线，可以画。10.根据图形填空〔1〕〔〕=〔〕－〔〕；〔2〕BD=CD+〔〕=AD－〔〕；〔3〕AB+BC=〔〕－CD；〔4〕AB=AC－()=AD－〔〕－〔〕。11.如图，AB=BC=CD=DE，则，〔1〕AE=AB；〔2〕AC=AE；〔3〕AB=AD；〔4〕AE=AC；〔5〕AE=AD。12.如图，如果AM=BM，CM=DM，则AC=，AD=。13.如图，如果AB=CD，则AC=；如果AC=BD，则AB=。14.延长线段AB到C，使BC=AB，延长BC到D，使CD=BC，假设，则AB=。三.选择题：1.以下图形中，是平面图形的为〔〕A.方砖、圆罐、足球 B.体、面、线、点C.长方体、圆柱体、球体 D.直线、长方形、圆2.如图〔4〕，在以下语句中，能正确表示出图形特点的个数有〔〕①直线经过点A、B ②点A、点B都在直线上③是一条由A、B两点所确定的直线 ④是一条直线，A、B是任意点A.1个B.2个C.3个D.4个〔4〕3.以下说法中，正确的选项是〔〕A.射线AB和射线BA表示同一射线B.直线BA和直线AB等长C.线段AB和线段BA表示同一线段D.射线AB有两个端点4.在直线上有A、B、C、D四点，假设图中的射线条数为，线段条数为，则〔〕A.B.C.D.不能确定5.线段AB=5，在直线AB上画线段BC=2，则AC长为〔〕A.7B.3C.7或3D.不能确定6.以下说法正确的选项是〔〕A.过A、B两点的直线的长度是A、B两点间的距离B.线段AB就是A、B两点的距离C.连接A、B两点的所有线中，其中最短的线的长度是A、B两点间的距离D.乘火车从上海到北京要走1462千米，这就是说上海站与北京站间的距离为1462千米7.四条直线两两相交，交点的个数是〔〕A.1个或4个B.6个C.1个或6个D.1个或4个或6个8.以下说法中，正确的选项是〔〕A.直线比射线长 B.两条直线相交，只有一个交点C.画射线AB=10cm D.延长直线AB9.下面说法中，正确的选项是〔〕A.连结两点的线的长叫做两点间的距离B.连结两点的线段叫做两点间的距离C.连结两点的线段的长叫做两点间的距离D.连结两点的直线的长叫做两点间的距离10.A、B是平面上两点，AB=10cm，P为平面上一点，假设PA+PB=20cm，则P点〔〕A.只能在直线AB外 B.只能在直线AB上C.不能在直线AB上 D.不能在线段AB上11.如图，以下关系式中与图形不符合的是〔〕A. B.C. D.12.延长线段AB到C，使BC=AB，则以下结论不正确的选项是〔〕A.B.C.D.13.如图，，则AC与BD的大小关系是〔〕A. B.C. D.AC与BD的大小关系不能确定14.如图，线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，则，AE等于AB的〔〕A.B.C.D.四.解答题：1.线段AB=4cm。〔1〕在线段AB上画线段BC=3cm，并求线段AC的长；〔2〕在直线AB上画线段BC=3cm，并求线段AC的长。2.如图，线段AB=5cm，BC=2cm，M是AC的中点，求BM的长。4.3平面图形【本讲教育信息】一.教学内容：平面图形〔一〕二.学习目的：1.通过实例了解点线面体的几何特征，感受它们之间的关系2.了解直线、射线、线段的概念、表示方法与画法；3.掌握点与直线的位置关系；掌握直线公理；4.了解直线、射线、线段之间的关系；5.理解线段的和、差与线段的中点等概念，会比拟线段的大小；6.理解两点间的距离的概念，会度量两点间的距离。三.技能要求：1.会比拟线段的大小，理解线段的和差与线段中点等概念。2.会用直尺、圆规、刻度尺等工具画线段，画线段的和差、线段的中点。3.逐步掌握学过的几何图形的表示方法，懂得学过的几何语言，能用这些语言准确，整洁地画出图形。认识学过的图形，会用语言描述这些简单的几何图形。【教学过程】一.重要数学思想1.数形结合的思想。建立位置关系与数量关系的联系，即由形的背景建立数量关系，和由数量关系研究位置关系的思想。2.方程的思想。本章中一些角与线段的计算问题要通过设元，列方程解出未知数来解决。通过这种训练初步形成方程的思想。3.分类与分类讨论的思想。通过本章中一些命题确定的题设条件产生的不唯一结论的讨论，初步形成分类讨论的思想。二.重要数学能力1.培养几何术语的表达能力。本章是平面几何的第一章，要学习许多几何术语的表达，如“有且只有〞、“经过〞、“无限延长〞等，掌握它们需要有一个过程。因此，要了解它们的含义，逐步培养表达能力。2.图形的观察记忆等能力，观察图形的特征。并在一些稍复杂的图形中分辨出几何概念定义的根本图形。三.知识点讲解1.体、面、线、点〔1〕只考虑物体的形状，大小和位置的物体叫做几何体。体是由面围成的，面与面相交于线，线与线相交于点。对于面、线、点应认识到它们是不定义的原始概念，只给一个形象上的、描述性的认识。〔2〕面有平面和曲面。如桌面可以想象为一个平面。皮球的外表可以想象为一个曲面。现实的世界中是找不到几何中的面的。它是从实际物体中抽象出来的图形。几何重点研究平面，把它看成是一个到处平直，没有厚度，向各个方向无限延展的面。〔3〕线有直线和曲线之分。如一束光线，可以想象成直线。一个圆桌的边可想象成曲线。同样几何中说的线，也只能从实物中想象。要把线看成没有宽窄，其中直线又是可以向两个方向无限延伸的。〔4〕对于点，有时我们在纸上画一个红点就代表一个点，在地图上把一个城市看成一个点，这些都想象为点。几何中的点在现实中也是找不到的。几何中的点看成是没有形状和大小，只有位置的元素。〔5〕一条线上有无数多点，一个面内有无数多点。2.直线、射线、线段〔1〕直线是不给定义的，但射线和线段是有定义的。例：数轴，数轴的作用是：所有的实数都可以用数轴上的点表示〔到代数开方一章后把数从有理数扩大到实数〕，由于实数是无穷多的，而实数与数轴上点又是一一对应的，且数轴本身是一条直线，因此我们很容易想到它是如何地向两方无限延伸的，同时可知直线是由无穷多点集合而成。如图：〔3〕这样一条数轴上包含着直线、射线、线段。也可以说射线，线段均为直线上一局部。小结为：a：直线向两方无限延伸，无端点，不可说延长直线。b：射线向一方无限延伸，有一个端点，向一方不可说延长射线，而可由端点处作反向延长线：线段有确定的长度，有二个端点，可向两方作延长线。注意：延长线段是指按从A到B或者从B到A的方向延长；延长用虚线；有时也说反向延长。如延长线段EF，反向延长线段BC等；连结AC，就是要画出以A、C为端点的线段，因此连结这个词是线段专用的；〔3〕直线、射线、线段的联系和区别：a．三者的联系是：射线和线段都是直线的一局部，在直线上取一点，可以分成两条射线，取两点可以得到一条线段和四条射线，把射线反向延长线或把线段两方延长就可得到直线。b．三者的区别：除前面讲到的端点个数和可无延伸外，再从表示方法上区别。在表示方法上射线AB和射线BA是两条不同的射线，而直线AB和直线BA却表示同一条直线。线段AB和线段BA表示同一条线段，但A和B是线段的端点。直线AB和直线BA中的A、B两点是直线上的任意两点。3.线段的中点：因为点M是线段AB中点，所以AM=MB=AB；AB=2AM=2MB；反之，因为点M在线段AB上，且有AM=MB=AB或AB=2AM=2MB，所以M是线段AB的中点。4.关于线段的计算：两条线段长度相等，这两条线段称为相等的线段，记作AB=CD，平面几何中线段的计算结果仍为一条线段。即使不知线段具体的长度也可以作计算。〔1〕线段的和差例：如图：AB+BC=AC，或说：AC-AB=BC〔2〕线段的倍分例：AC=CD=DB，即AB=3AC=3CD=3BD或AC=AB，AD=AB，AB=AD5.线段n等分点如果(n-1)个点把线段分成n条相等的线段，这(n-1)个点叫做线段的n等分点.6.线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成：过两点有且只有一条直线注意：经过一点有无数条直线7.线段比拟大小一种是度量的方法；另一种是叠合的方法；第三种是对线段大小的估计和观察的方法。【典型例题】例1.过三点A、B、C可以画几条直线？例2.过A、B、C三点中的任意两点画直线，共可画几条？例3.在图中，共有几条线段？分别把它们表示出来