2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下册期中数学模拟试题

（含解析）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

z_2（2-i）

1.复数l-i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【正确答案】A

【分析】应用复数除法化简复数，即可得复平面上对应点，进而确定所在象限.

2（2-i）（2-i）（l+i）3+i

【详解】由题意得三一＜=2xk=3+i,

l-i+2

所以Z在复平面内对应的点为（3,1）,位于第一象限.

故选：A

2.若a为平面，有下列命题，其中真命题的是（）

A.若直线/平行于平面a内的无数条直线，贝U〃a

B,若直线a在平面。外，则。平面a

C.若直线a6,直线bu平面a,则。平面a

D.若直线。〃仇b平面a,则〃平行于平面1内的无数条直线

【正确答案】D

【分析】根据线面位置关系可直接判断.

【详解】A项还可能/ua,故A错误：

B项还可能。与平a交，故B错误；

C项还可能aua,故c错误；

由直线与平面平行的性质以及平行的传递性可知D正确.

故选：D.

3.已知圆锥的体积为其中S为圆锥的底面积，〃为圆锥的高.现有一个空杯子，盛水

3

部分为圆锥（底面半径为4cm,高为8cm）,现向杯中以8cm?/s的速度匀速注入水，则注

水Mo</<io)s后，杯中水的高度为()

D.2；怪cm

V兀

【正确答案】D

【分析】根据已知条件及圆锥的体积公式即可求解.

【详解】假设注水［0<，<10)s后，杯中水的水面半径为xcm,则

Q

杯中水的高度〃=-x=2xcm,

4

所以17tx2x2x-8t,31?/

解得

3

故杯中水的高度〃=2

故选：D.

4.如图，在正四棱锥。中，侧棱长均为4,且相邻两条侧棱的夹角为30°,E，F

分别是线段08,。。上的一点，则4E+M+ED的最小值为()

C.272D,472

【正确答案】D

【分析】将正四棱柱的侧面展开，可知NE+即+尸。的最小值为Z。，然后在中

求解即可

【详解】如图，将正四棱柱的侧面展开，

则++的最小值为AD•

在△04。中，04=00=4,N4O£>=90。,

则AD=&OA=472.

故选：D

5.如图所示，HB'C'是水平放置的Z8C的斜二测直观图，其中O'C'=OW=2O'8'=2,

则以下说法正确的是（）

C'/O'rx'

A.Z8C是钝角三角形B./8C的面积是HB'C'的面积

的2倍

C.8点的坐标为（0,JI）D.N8C的周长是4+4J5

【正确答案】D

【分析】将N'8'C'还原成原图依次分析选项可得答案.

【详解】根据题意，将H6'C'还原成原图，如图，

对于A,中，有OC=O/=O8=2,AC工0B,所以BC=AB=2g，AC=4,

故Z8C是等腰直角三角形，A错误；

1./?

对于B,N8C的面积是一N8xO8=4,HB'C'的高为O'8'xsin45°=注，

22

所以HB'C'的面积为,力。&也=正，的面积是A'B'C'的2近倍，B错误;

22

对于C,因为。6=2,8的坐标为（0,2）,C错误；

对于D,Z8C的周长为BC+/8+ZC=4+40，D正确

故选：D.

B

6.已知4/2eCjz「Z2|=2&,|zJ=2jz2|=2,则区+22|=()

A.272B.2C.1D.y

【正确答案】A

【分析】设Z1=a+6i,Z2=〃?+〃i,根据已知可得/+/,/+总2am+2bn,代入

匕।+z2|=J(a+—)2+(>+〃)-计算可得答案，

【详解】设4=a+6i(a,6eR),z2=m+m[r)i,nGR),

所以/+/=4，m2+/?2=4»

因为%—Z21二2日，所以(a-加『+(b1=8,

即2am+2hn=0,所以

2

|zt+z2|=Q(a+m)~+(6+〃『-J/+b+加?+/+2ab+2nm=2^2•

故选：A.

7.如图所示，在空间四边形中，点E,H分别是边,力。的中点，点尸，G分

CC7

别是边8C,上的点，且——=—=；,则下列说法正确的是()

CBCD3

A.EF与GH平行

B.EF与GH异面

C.EE与GH的交点”可能在直线/C上，也可能不在直线NC上

D.ER与GH的交点A/一定在直线ZC上

【正确答案】D

【分析】根据题意，连接E，，FG,由线面的平行关系，即可得到结果.

【详解】如图所示：

因为凡G分别是边BC,8上的点，且丝=更=],

CBCD3

2

所以GF//BD,且Gb=-8O.

3

因为点E,，分别是边N8,的中点，

所以EH//BD,且

2

所以EH//GF,且EH羊GF,

所以EF与G4相交，设其交点为例，

则Mw平面ABC,同理“e平面ACD.

又平面ABCc平面ACD=AC,

所以M在直线4C上.

故选:D

22

8.已知锐角45C中，内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,a=b+bc，若

cos(C-8)+；lcosZ存在最大值，则实数4的取值范围是()

A.(0,V2)B.(1,V3)C.(0,2)D.(2,4)

【正确答案】C

【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出4=28,根据Z8C为锐角三角形可求得

角8的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出

cos(C-5)+2cos^=-2cos225+Acos25+l,求出cos23的取值范围，根据二次函

数的基本性质可得出关于实数2的不等式，解之即可.

【详解】由余弦定理可得/=〃+/-2bccos/=〃+A，则c-2bcos/=b,

由正弦定理可得sin8=sinC-2sin5cos^=sin(/+8)—2cos4sin8

=sinAcosB+cosAsinB-2cos力sin8=sinAcosB-cos4sin3=sin(4—8),

因为/8C为锐角三角形，则0</<W，0<5<-,所以，」<A_B<三,

2222

（兀兀）

又因为函数y=sinx在一5,5内单调递增，所以，A—B=B,可得4=25,

„兀„7T

0<A<—0<25<-

22

兀71兀兀

由于N8C为锐角三角形，则<0<B<~,即Q<B<—,解得一<8<—

2264

0<C<-0<7i-35<-

[2[2

cos（C一4）+4cosA=cos（兀-48）+Xcos25=2cos2B-cos4B

=-2cos?2B+A,cos2B+1，

TTTV1

因为一<26<一,则Ovcos2B<一,

322

21

因为—2COS?28+%cos28+1存在最大值，则0<一<—<解得0<4<2.

42

故选：C.

方法点睛：三角函数最值的不同求法：

①利用sinx和cosx的最值直接求；

②把形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Zsin（Q）X+夕）的形式求最值；

③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求最值：

④形如y-asin2x++=acos2x+bcosx+c转换成二次函数求最值.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知2=（1,3）》=（—2,1）1=（3,—5）,则（）

A.（a+2h）rcB.（5+26）//c

C.\a+c\=2D.|万+司=2忖

【正确答案】BD

【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标

表示逐项计算判断作答.

【详解】£=(1,3)1=(一2,1),"=(3,—5)

对于A,a+2b=(-3,5))(a+lb)-c=-3x3+5x(-5)0，a+2^与c不垂直,A不正

确：

对于B,a+2b=(-3,5)=-c>有(a+26//c,B正确;

对于C,a+c=(4,-2)，有|£+J|=j42+(—2)2=2#,C不正确；

对于D,|b|=7(-2)2+12=V5>由选项C知|£+"|=2jL|£+"=2向，D正确.

故选：BD

10.如图，在下列四个正方体中，48为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则

在这四个正方体中，直线Z8与平面0切平行的是()

【分析】对A,C,利用线面平行的判定定理即可判断；对C,将平面。£尸扩展，即可得

出与平面。EE相交；对D,由。产与其所在的对角线平行，而与对角线相交，可知

48与平面。EF相交.

【详解】解：对于A,AB//DE,AB(Z平面DEF,DEu平面DEF,

・•・直线与平面。E尸平行，故A正确；

对于B,如图，取正方体所在棱的中点G,连接FG并延长，交工8延长线于4,则N8与

平面。£尸相交于点”，故B错误；

D

对于C,AB//DF,46（Z平面。EHOEu平面。ER

r.直线与平面。E尸平行，故C正确；

对于D,45与。尸所在平面的正方形对角线有交点8,与该对角线平行，

直线48与平面OE/相交，故D错误.

故选：AC.

11.在Z8C中，角48,C所对的边分别为“c,下列说法中正确的是（）

A.若/>8,则sin/>sin8B.若仁=上-,则Z8C为等腰

cosBcosA

直角三角形

C.a=-----------------D.若tarU+taafi+tanCO,则

sinNsin5+sinC

N6C为钝角三角形

【正确答案】ACD

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比

性质的应用判断结论.

【详解】对于A,若A>B，所以。>b,利用正弦定理可得2Rsin/>2Rsin8,所以

sin4>sin8,故A正确;

对于B,由于4=工，利用正弦定理可得sin/cos4=sin8cos8,整理得

cosBcosA

]sin2Z=!sin28,即sin2/=sin23,所以2/=28或24+23=兀，所以4=8或

22

7T

A+B=~,所以48c为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

2

对于C,由正弦定理，一=▲—=」一=2火，所以

sinAsinBsinC

6+c2RsinB+2HsinCa

---------=--------------=2R=——,故C正确；

sinB+sinCsinB+sinCsiM

对于D,由于tarvl+tanS+tanCvO,

所以tan4+tan8+tanC=tan(4+8)(l-tanAtan8)+tanC

=-tanC+tanC+tarvitan5tanC=tarL4tan5tanC<0,

因为0〈4B,Cv兀，所以43。中必有一个钝角，故Z8C为钝角三角形，故D正确.

故选：ACD.

12.在N8C中，P,。分别为边/C,8C上一点，BP,AQ交于煎D,且满足N=f定,

丽=/1反，BD^juDP,AD-mDQ,则下列结论正确的为()

12

八.若/=—且义=3时，则加=—,〃=9

23

B.若〃=2且加寸，则4=1,t=-

32

,1212,

C.若-----=1时，则------=1

AtRt

tfj.Am

n--------------------------

(1+//)(1+Z)(l+/n)(l+2)

【正确答案】AD

2/+1IT)1ITJ

【分析】根据向量共线定理的推论，得到‘一———=1,

1+4tm+11+4加+1

1L."J——J=l,代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB

1+Z2〃+11+Z〃+1

tA+Z11121

选项，对上式变形得到一^一7+;-=1+—，假设-----=1成立，推导出一=0,得到

U+21+rpi2tA

2n+1m14+1,

矛盾，故c错误，根据向量共线定理的推论得到「••仁---------+-——匕一=1,

1+Z〃m+\\+m〃

M/n+1t1w+1,.tR_加〃

l+〃mZ+l+l+//m，乂形得到(1+4)(1+/)(l+m)(l+2)-

【详解】由题意得：AC^^-AP,而=如出力，BQ=AQC，

tm

AQ-AB^A（JC-AQ）,即而=——AC+——AB

1+丸1+4

口r加+1m4，+11~1,~

即------AD=-------------AP+------AB,

m14"?!t1+4

ll।m%E+1/71,~1H1-,rr

所以AD-------------------APH--------------AB,

1+丸tni+11+Az/7+1

因为民三点共线，

o---F1[

当且时37m1m

/=,2=3,---------幺-------------1----------------1,

21+31加+11+3加+1

2

2

解得：m=一,

3

「等而，心竽初

AP^tPC＜所以丽-丽=t网-丽）,

即旃=」一品+」-前，

1+£1+£

即壮前」.但取一双

〃l+Z21+Z

所以=------^—BA,

1+fA.〃+11+z〃+1

因为a。,。三点共线，

t2+1Ll1LI.

所以....................-+---------=1,

1+zZ〃+1\+t〃+1

1

当/=2且4=3时,23+1〃।1____

21+13〃+11+1〃+1

22

解得：〃=9,

故A正确；

AZ+l13t2+113

若"=2且加=1时,-------------+——=2,------------------------------二—

1+4t1+41+/X1+/2

解得：B错误;

23

A+l〃1〃tX+111

-------------------1----------------1,变形为:-------+——=1+

1+zA,〃+11+/〃+1"+A1+z5①

1211

若-----=1时，贝ijf-24=2f,代入①式得：--------二1

At〃1+，

121?

假设---1-成-立，则---=—,解得：t=—2，

〃t1+£t

此时—=0,显然无解,故假设不成立，故C错误;

A//+1m+14+1m+\t1m+1,

同理可得:=1,4--------------+---------------=1,

1+2"777+11+加〃1+〃mZ+l1+〃m

m1m^-\

所以一

1+4Z+1加+11+〃(加+1)(1+〃)，

2tn加〃一1

1+4加+1〃+11+用(加+1)。+")'

t/.iAm

所以

(1+4)(1+Z)(1+77?)(1+4)

D正确.

故选：AD

利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中

进行适当变形，然后找到等量关系

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知|万月3|=3,。是与向量B方向相同的单位向量，向量万在向量日上的投影向量为

3

-e,则2与方的夹角为

2

【正确答案】600##。

3

【分析】根据向量3在向量B上的投影向量为士巨，由夫;求解.

2\b\2

3

【详解】解：因为向量方在向量B上的投影向量为万)，

a-b3

所以

\b\网2

即COS(a,3)=5,

因为,

所以«&=60。,

故60°

14.棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将A/,N,C,Z)四

点两两相连，构成的几何体的表面积为.

【正确答案】2百

【分析】在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，即可得出。-朋NC为正

四面体，求出表面积即可.

【详解】在原正方体纸盒上，分别将N,N,C,。四点两两相连，如图所示，

因为MN,MC,MD,ND,NC,CD为正方体的面对角线，

所以MN=MC=MD=ND=NC=CD=4i，

所以0-MNC为正四面体，

所以表面积为：—x(V2)2x4=2V3.

4

故2百.

兀力/)1

15.在Z8C中，。是8C边上一点，且6=^,——=—,若。是8C的中点，则

6BD2

—=;若力。=4百，则A4OC的周长的最大值为.

AB

【正确答案】①.②.8+4G##4G+8

33

【分析】第一空，先在△Z60中利用余弦定理得到/8=且8。，再在Z8C中利用余

2

弦定理得到4C=也8D，从而得解；第二空，先求得=工，从而在△ZDC中,

23

利用余弦定理与基本不等式求得Z0+8W8,从而得解.

【详解】因为。是6C的中点，则/。=吆=生，B=j

246

在△Z80中，由余弦定理可得ZD?=8。2+工82—80・cos6，

即%=BD°+AB—ABBDx®，整理得AB2-超ABBD+-BD2=O,

424

解得-包8。=0,所以AB=曲BD，

22

在Z8C中，由余弦定理得AC?=8C2+/B2-2Z8.8C.COS8

,3当BDx2BDq=『D'

=4BD2+-BD27-2X

4

6ffD.AC圣BD而

即AC=®BD，

2施BBD3

2

若4c=46，B=gBD=2AD,由上述知Z8=中6。=6Z。，

62

TT?71

所以8。2=4/。2=/82工。2,则故,则4。。=—

33

在△NOC中，由余弦定理得/。2=/02+82一2/。.8405乙4。。，

即48=AD2+CD2+ADCD=(AD+CD\-ADCD

>(JZ)+CD)2-AD+CD

2

则（40+8）2W64,即ZO+C0W8,当且仅当CD=4时，等号成立,

故力。+CD+ZCW8+4百，即"DC的周长的最大值为8+4百.

故与；8+43

易错点睛：本题容易犯错的点是第一空的条件用于第

二空，或者在第二空的解析过程中被第一空的条件。是8C的中点误导，导致走了弯路.

16.已知N6C中，|而『+2万.％=9J豆4=3,则Z8C面积的最大值是.

【正确答案】3

【分析】利用条件结合余弦定理，求出2c2+〃=18，cosA=—,再求出

sinA=71-cos2A=Ql-=:x716c2-b2=:x7144-%2>代入面积公式

SABC二3灰^出工转化为关于^的二次函数即可求解•

【详解】由题知，/8C如图所示：

BaC

因为||2+2AB-AC=9，所以c?+2chcos/=9，

由余弦定理得：a2=b2+c2-26ccos4=9=b2+c2-2bccosA，

联立解得：2c2+/=18，cos/=3，

所以sinZ=A/1-COS2A=Jl-〔：,,=}xV16c2-b2=-^-xJ144-9"，

所以S--bcsmA=—xZ)xcx—xV144-9Z)2=—xA/144/)2-9/74,

ABC224c8

=1X^-9(62-8)2+576<3.

故3.

考查了解三角形中余弦定理，面积公式等相关知识点，对于范围问题可尝试转化为二次函数

或基本不等式来分析求解.

四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，三棱柱Z8C-481cl中，44i_L平面/BC,D、E分别为小囱、/4的中点，点尸

在棱48上，且/尸=248.

4

(1)求证：EP〃平面8DG；

(2)在棱力C上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：

15,若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)点G不存在，理由见解析

【分析】(1)取的中点根据“尸得到尸为/〃的中点，又E为/小的中点,

4

根据三角形中位线定理得EF〃小从而在三棱柱Z8C-45G中，小。8"为平行四边形,

进一步得出EF〃8D.最后根据线面平行的判定即可证出EF〃平面BGQ.

(2)对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱/C上存在一个点G,使得平面EEG将

三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15,再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出ZG与/C

的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在.

【小问1详解】

证明：取48的中点〃，

I

'：AF=-AB,

4

二尸为的中点，

又为44的中点，

：.EF//A\M

在三棱柱Z8C-48cl中，D,M分别为小用，的中点，

：.A\D//BM,A\D=BM,

...ZiOBM为平行四边形，.•.4W〃8。

J.EF//BD.

平面8G。，E/过平面8G。，

〃平面BCyD.

【小问2详解】

设力C上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为I：15,则

^E-AFG-叱SC-，/©=1，16,

r/-x^-AF-AGsinZGAF-AE

.•〃E-AFG_32___________________

y-1

ABC-A^C一4BACsin/CAB-AA,

X21

111/G1AG

=­X—X—X--------=-----------------

342AC24AC

.1AG_1

"24^C"16)

.AG3

••'-f

AC2

3

：.AG=-AOAC.

2

所以符合要求的点G不存在.

18.在A48C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c.已知6+0__4_=."+°二人_

sinBsinA

(1)证明：A=B.

（2）若。为8c的中点，从①4。=4,②cosC=—,③CZ>=2这三个条件中选取两个作

4

为条件证明另外一个成立.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证/=8；

（2）三种情况，在/CD中，利用余弦定理证明即可.

【小问1详解】

h2+c2-a2a2+c2-b2,.2bccosAlaccosB

已知------------------------由余弦定理可得----------=----------

sin5sin4sin5sin/

,bcosAacosB_,-__ba

即Dr--------------,又由正弦定理-----=------,"f#cosA-cosB,

sin5sinZsinBsinA

角48为A48C中内角，所以4=B.

【小问2详解】

△/8C中，A=B，。为8c的中点，如图所示，

C

A.

AB

⑴①②n③

己知/。=4,COSC=-,求证C£>=2.

4

、,日M八少八出「AC2+CD2-AD24CD2+CD2-\61

证明：AC=2CD，ACD中，cosC=-----------------=-------------；-------=—,

2ACCD4CD24

解得8=2.

⑵①③=>②

己知力。=4,CD=2,求证cosC=2.

4

1

.-pngicA而I”Amrh广AC+CD~-AD~16+4—161

证明：AACr-2CD=4,所以/CZ)中，cosC------------------=----------=—.

2ACCD2x4x24

⑶②③n①

己知cosC=LCD=2,求证./。=4

4

证明：NC=2C0=4,在4c。中，由余弦定理，

^Z)2=^C2+C£>2-2^C-C/)cosC=16+4-2x4x2x1=16,所以/。=4

4

19.在Z8C中，a、b、c■分别是角/、B、C所对的边，已知在。=而，b>c,

tn-(cosC,cosA),〃=(Q,c-2h)±n•

(1)求角力大小；

(2)若48。面积为36，BD=；DC,求4。的长.

兀

【正确答案】(1)

3

⑵半

【分析】(1)利用向量垂直充要条件及两角和的正弦公式即可求得cos/的值，进而求得角

A大小；

(2)先利用题给条件求得氏c的值，再利用向量的数量积求得0万进而得到工。的长

【小问1详解】

—•—•—►—»

m=(cosC,cosA),n=(a,c-26)且加_L〃，

则福・1=0,则acosC+(c-2b)cos4=0,

/.sinAcosC+(sinC-2sin5)cosA=0,则sin5-2sin3cos/=0

|jr

又sinB>0,cosA=一,又丁4w(0,it),A=—.

23

【小问2详解】

由//席=gbcsin4=；VJbc=3A/J,可得be=12

又由/=13=/+/-be，可得25=/+。2

联立《b~+c-25,解之得<6=4、或〈

、be=12c-=3、c=4

又b>c,则b=4,c=3

—•1—­—■1一2—

因为8。=—0C,所以ZQ=—ZC+—Z8

233

一21——24--24---------144176

所以=-AC+-AB+—/C/8=—xl6+—x9+—x3x4x—=一

99999929

所以I诟|=2M，即/£>=3叵

1133

20.在Z8C中，。力,c分别为/8C三个内角4民。的对边，已知2S=JOccos4

(1)求角A大小；

(2)若4=百，求〃+02+3儿的取值范围.

7T

【正确答案】(1)-

3

⑵(3,15]

【分析】(1)根据三角形的面积公式可得S=,besinZ,结合题设化简即可求解；

2

(2)由正弦定理可得6=2sin5,c=2sinC,由余弦定理可得从+c?=3+bc，进而结合

三角恒等变换化简可得/+c2+3bc=7+8sin(28-。再结合正弦函数的图象及性质求

解即可.

【小问1详解】

根据题意，2S=®ccosZ，且S=；bcsinN,

则2x』hesinA=y/3bccosA,

即tanZ=Ji，

在Z8C中，有4G(O,TI),

所以人字

【小问2详解】

jr

由(1)知，/=§，

可得siib4=——>B+C=H-A=—,

23

由。=君，则根据正弦定理有‘一=一也=上=2,得b=2sin5,c=2sinC,

sinAsiaffsinC

根据余弦定理有/=〃+/一accoU,得/+C2=3+命，

所以

〃+c?+3bc=3+4bc=3+16sin5sinC=3+16sia5sin----B=3+8>/3siii5cos5+8sin25

=7+4V3sin2S-4cos28=7+8sin25--,

k6)

因为所以28—]—2，?],

\3；6V66J

.(KW11

所以sin2B——G—,1,

\6Jk2_

所以〃++36c=7+8sinf25--1G(3,15].

21.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，48为地面，CD,CE

27t7T

为路灯灯杆，CD上4B,4DCE=—，在E处安装路灯，且路灯的照明张角AMEN=-,

33

已知CO=4m,CE=2m.

(1)当“，。重合时，求路灯在路面的照明宽度A/N；

(2)求此路灯在路面上的照明宽度A/N的最小值.

【正确答案】（1）亚；（2）U电

【分析】（1）先由余弦定理求出ME,再求出cosNCME,进而求出sinBEMW,最后根

据正弦定理求出答案；

（2）先用等面积法求出MV,E/,EN间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立

A/N,EM,EN之间的不等式，两者结合即可得到答案.

【详解】（1）当。重合时，

ADM

由余弦定理知，ME=y/CM2+CE2-2CM-CE-cosZMCE=2币

所以cos/C腔=空+叱—空=些,

2CMME14

因为ACME+ZEMN所以sin4EMN=cosACME=-

214

因为cosNEMN>0,所以cosZEMN=Jl-sii?NEMN=4，

sinNENM=sinJ-/EMN=包cosZEMN+-sinNEMN=冬？，

I3)227

...在EMN中，由正弦定理可知，MN—=.EM—,解得MN=£lm.

sinNMENsinZENM

2n7i

（2）易知E到地面的距离力=4+2sin

T~2

所以SF^=--MN-5=--EM-EN—>所以半MN=EM.EN

EMN222J3

又由余弦定理可知，

MN1=EM2+EN2-2EM-EN-->2EM-EN-EM-EN=EM-EN,

当且仅当EM=EN时“=”成立.

所以MN?2半MN,解得MN2©3m.

J3