辽宁省沈阳市2023年数学中考试卷

辽宁省沈阳市2023年数学中考试卷

一、单选题

1.2的相反数是（）

A.2B.-2C.1D.-

2.如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

正面

3.我国自主研发的500m口径球面射电望远镜CFAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为

2500000m2.用科学记数法表示数据250000为（）

A.0.25XIO6B.25XIO4C.2.5XIO4D.2.5×IO5

4.下列计算结果正不用的是（）

A.a8÷a2=a4B.Sab—2ab=3

C.(α—b)2=α2—b2D.(-αb3)2=a2b6

5.不等式工≥1的解集在数轴上表示正确的是（)

）1______I1)1______

A____I___I(Ru∙____I

-1O2-1O2

II,

C__________IIt，■1A⅛Γ)_________I_______I

-1O2-1O2

6.某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包.为此，活动负责人征求了班

内同学的意向，得到了如下数据:

容量/L232527293133

人数3252122

则双肩包容量的众数是（）

A.21LB.23LC.29LD.33L

7.下列说法正确的是（）

A.将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件

B.抛出的篮球会下落是随机事件

C.了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式

2

D.若甲、乙两组数据的平均数相同，Sφ=2,S3=2.5,则甲组数据较稳定

8.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k,b的取值范围是（)

A.k>O,b<OB.ZVO,b<OC.k<O,b>OD.k>O,b>O

第8题图第10题图

9.二次函数y=-（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.如图，四边形ABCn内接于O。，。。的半径为3,4。=120。，则AC的长是（）

A.πB.ATrC.2πD.4π

二、填空题

11.因式分解：a3+2a2+a=.

12.当α+b=3时，代数式2（。+26）—（3。+56）+5的值为.

13.若点4（一2,%）和点B（-l,Z）都在反比例函数y=（的图象上，则为为•（用“<'"'>''或"="

填空）

14.如图，直线ABIlCD,直线EF分别与AB,CD交于点E,F,小明同学利用尺规按以下步骤作图:

⑴点E为圆心，以任意长为半径作弧交射线EB于点M,交射线EF于点N；

⑵分别以点M,N为圆心，以大于4MN的长为半径作弧，两弧在NBEF内交于点P；

⑶作射线EP交直线CD于点G；若乙EGF=29°,则4BEF=度.

第14题图第15题图第16题图

15.如图，王叔叔想用长为60巾的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙足够

长，当矩形4BCD的边AB=m时，羊圈的面积最大.

16.如图，在Rt△ABC中，∆ACB=90o,AC=BC=3,点。在直线力C上，AD=1,过点。作DEIlAB直

线BC于点E,连接BD,点O是线段BD的中点，连接OE,则。E的长为

三、解答题

17.计算：(Tr—2023)θ+/(—2)2+(今-4sin30o∙

18.为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分

别用4B,C依次表示这三类比赛内容）.现将正面写有4B,C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，

由选手抽取卡片确定比赛内容.选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅

再随机抽取一张，记下字母.请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率.

19.如图，在中，AB=AC,ZO是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE,过点C作CFIl

BE交力。的延长线于点F,连接BACE,求证：四边形BECF是菱形.

20.“书香润沈城，阅读向未来“，沈阳市第十五届全民读书季启动之际.某中学准备购进一批图书供学生

阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查.问卷设置了五种选

项：∕Γ艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱

的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

学生最喜爱图书类别的人数条形统计图学生最喜爱图书类别的人数

扇形统计图

40

35

30

25

20

15

105

O

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为名;

（2）请直接补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，4'艺术类”所对应的圆心角度数是度;

（4）据抽样调查结果，请你估计该校1800名学生中，有多少名学生最喜爱C“科普类”图书.

21.甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与

乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件.

22.如图，ZB是。。的直径，点C是0。上的一点（点C不与点4,B重合），连接AC、BC,点。是4B上的

一点，AC=AD,BE交CD的延长线于点E,^.BE=BC.

（1）求证：BE是OO的切线；

（2）若。。的半径为5,t<mE=｝则BE的长为

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象交无轴于点4(8,0)，交y轴于点8.直线y

；%-|与丁轴交于点。，与直线AB交于点C(6,α).点M是线段BC上的一个动点(点M不与点C重合)，过点

M作％轴的垂线交直线CO于点N.设点M的横坐标为m∙

(1)求α的值和直线ZB的函数表达式;

(2)以线段MN,MC为邻边作DMNQC,直线QC与4轴交于点E.

①当0≤τn<g时，设线段EQ的长度为1,求/与Jn之间的关系式;

②连接OQ，AQ,当AZOQ的面积为3时，请直接写出小的值.

24.如图1,在平行四边形ABCD纸片中，AB=10,AD=6,=60。，点E为BC边上的一点(点E

不与点C重合)，连接AE,将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C,。的对应点分别为C,、。'，

射线C'E与射线4。交于点F.

(2)如图2,当EF_L4F时，DF的长为；

(3)如图3,当CE=2时，过点尸作尸MlAE,垂足为点M,延长尸M交C'D'于点N,连接AN、EN,求4

ANE的面积.

25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=9/+纵；+。的图象经过点4(0,2),与K轴的交点为点

B(√3,0)和点C.

备用图

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)点E,G在y轴正半轴上，OG=20E,点:。在线段OC上，OD=近0E.以线段。。，OE为邻边作矩形

ODFE,连接GD,设0E=α.

①连接FC,当AGOD与AFDC相似时，求α的值;

②当点。与点C重合时，将线段G。绕点G按逆时针方向旋转60。后得到线段GH,连接FH,FG,将△GFH绕

点尸按顺时针方向旋转α((T<α≤180。)后得到AG/4"点G,H的对应点分别为G‘、H,，连接DE.当4

G'FH'的边与线段。E垂直时，请直接写出点的横坐标.

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：2的相反数是-2.

故答案为：B.

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：该几何体的主视图为：I口.

故答案为：A.

【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：250000=2,5×lO5.

故答案为：D.

【分析】科学记数法的表示形式为axlθn的形式，其4jlW∣a∣<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；

当原数的绝对值小于1时，n是负数.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A、a8÷a2=a6,故错误；

B、5ab-2ab=3ab,故错误；

C、(a-b)2=a2-2ab+b2,故错误；

D、(-ab3)2=a2b6,故正确.

故答案为：D.

【分析】同底数基相除，底数不变，指数相减，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所

得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据完全平方公式可判断C；积的乘方，先将

每一项进行乘方，然后将结果相乘；幕的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：∙.∙χ≥l,

.F处是实心原点，且折线向右.

故答案为：A.

【分析】根据％≥1直接在数轴上画出解集即可。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：由表格中数据可得：29L出现了21次，出现的次数最多，故众数是29L.

故答案为：C.

【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故错误；

B、抛出的篮球会下落是必然事件，故错误；

C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故错误；

D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S单2=2,S乙2=2.5,则甲组数据较稳定，故正确.

故答案为：D.

【分析】根据必然事件的概念可判断A、B；根据抽样调查与普查适宜的条件可判断C；方差越小，数据

越稳定，据此判断D.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：由图象可得k>0,b<0.

故答案为：A.

【分析】由图象可得：y随X的增大而增大，与y轴的交点在负半轴，据此判断.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故错误；

B、抛出的篮球会下落是必然事件，故错误；

C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故错误；

D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S,2=2,S乙2=2.5,则甲组数据较稳定，故正确.

故答案为：D.

【分析】根据必然事件的概念可判断A、B；根据抽样调查与普查适宜的条件可判断C；方差越小，数据

越稳定，据此判断D.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：；四边形ABCD内接于。O,ND=120。，

ΛZB=60o,

ΛZAOC=120°,

,AC=*爵3=2兀

故答案为：C.

【分析】由圆内接四边形的性质可得NB+ND=180。，结合ND的度数可得NB的度数，由圆周角定理可得

ZAOC=2ZB,然后利用弧长公式进行计算.

11.【答案】a(a+l)2

【解析】【解答】解：a3+2a2+a,

=a(a2+2a+l),…(提取公因式)

=a(a+l)2....(完全平方公式)

故答案为：a(a+l)2.

【分析】先提取公因式a,再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式.完全平方公式：a⅛2ab+b⅛

(a+b)2.

12.【答案】2

【解析】【解答】解：2(a+2b)-(3a+5b)+5=2a+4b-3a-5b+5=-a-b+5=-(a+b)+5=-3+5=2.

故答案为：2.

【分析】首先去括号，然后合并同类项可得原式=-(a+b)+5,接下来将a+b=3代入计算即可.

13•【答案】›

【解析】【解答】解：∙∙∙y[,

.∙.反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随X的增大而减小.

V-2<-l,

Λy∣>y2.

故答案为：>.

【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随X的增大而减小，据

此进行比较.

14.【答案】58

【解析】【解答】解：由作图可得：EG平分/BEF,

ΛZBEF=2ZBEG.

∙.,AB∕∕CD,

ΛZBEG=ZEGF=29o,

ΛZBEF=2ZBEG=58o.

故答案为：58.

【分析】由作图可得：EG平分/BEF,贝∣J∕BEF=2∕BEG,根据平行线的性质可得NBEG=/EGF=29。，

据此求解.

15.【答案】15

【解析】【解答】解:设AB=x,面积为S,由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450,

.∙.当x=15时，羊圈的面积最大.

故答案为：15.

【分析】设AB=x,面积为S,则BC=(60-2x),根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x),然后根据二次函数

的性质进行解答.

16.【答案】器或李

【解析】【解答】解：当点D在线段AC上时，连接OC,过0作ONLBC,

VAD=1,AC=BC=3,

ΛCD=AC-AD=2,

∙'∙BD=√cp2_βc2=√13∙

：点O是线段BD的中点，

.,.OC=OB=ODdBD=巫

22

VONlBC,

ΛCN=BN=iβC=∣.

VDE½zAB,

ΛZCOE=ZA,ZCBA=ZCED=45o,

ΛCE=CD=2,

.∙.NE=2招.

^∙,ON=√co2-CN2=1>

,OE=√0∕V2+WE2ɪɪ

当点D在CA的延长线上时，则CD=AD+AC=4,

∙.∙0是BD的中点,ZBCD=90o,

.*.OC=OB=OD=∣BD.

VONlBC,

ΛCN=BN=∣BC=∣.

VOB=OD,

ΛON=∣CD=2.

VDEAB,

ΛZCBA=ZCED=45o,NCAB=NCOE,

ΛCE=CD=4,

ΛNE=4-∣=∣,

∙'∙OE=JoN2+NE2=粤.

故答案为：溶或缘.

【分析】当点D在线段AC上时，连接OC,过O作ONj_BC,由已知条件可得CD=AC-AD=2,根据勾

股定理可得BD的值，由直角三角形斜边上中线的性质可得OC=OB=OD=JBD=半，根据等腰三角形的性

质可得CN=BN=；BC=*,由平行线的性质可得NCOE=NA,ZCBA=ZCED=45O,则CE=CD=2,然后求

出NE、利用勾股定理可得ON、0E；当点D在CA的延长线上时，同理进行解答.

22o

17.【答案】解：(π_2023)°+J(-2)+(1)-4sin30

1

=l+2+32-4×^-

乙

=3+9-2

=10.

【解析】【分析】根据O次基以及负整数指数基的运算性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值可得原

式=1+2+9-4X5然后计算乘法，再根据有理数的加减法法则进行计算.

18.【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有3种,

所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为5=/

【解析】【分析】画出树状图，找出总情况数以及小明和小梅抽到同一类比赛内容的情况数，然后根据概率

公式进行计算.

19.【答案】证明：∙.∙48=4C,AD是BC边上的中线，

•••4。垂直平分BC,

：・EB=EC,FB=FC,BD=CD,

VCFIlBE,

•■乙BED=乙CFD,乙EBD=/-FCD,

在^EBD和^FCD中，

NBED=乙CFD

Z.EBD=乙FCD,

.BD=CD

.∙∙ΔEBD≤ΔFCO(AAS),

.∙.BE=FC,

：.EB=BF=FC=EC,

二四边形EBFC是菱形.

【解析】【分析】由题意可得AD垂直平分BC,则EB=EC,FB=FC1BD=CD,由平行线的性质可得

ZBED=ZCFD,ZEBD=ZFCD,利用AAS证明△EBD四4FCD,得至IjBE=FC,进而推出

EB=BF=FC=EC,然后根据菱形的判定定理进行证明.

20.【答案】(I)Ioo

(2)。类的人数为：Ioo-IO-20-40-5=25(名)，

补全条形统计图如下：

学生最喜爱图书类别的人数条形统计图

40

35

30

25

20

15

150

O

4。J

(4)180OX孤XIOo%=720(名),

答：估计该校1800名学生中，大约有720名学生最喜爱C“科普类”图书.

【解析】【解答］解：(1)20÷20%=100.

故答案为：100.

(3)10÷100×360o=36o.

故答案为：36.

【分析】(1)利用B的人数除以所占的比例可得总人数；

(2)根据总人数可求出D类的人数，据此可补全条形统计图；

(3)利用A类的人数除以总人数，然后乘以360。即可；

(4)利用C类的人数除以调查的总人数，然后乘以1800即可.

21.【答案】解：设乙每小时加工X个这种零件，则甲每小时加工(4+2)个这种零件，

根据题意得：黑=多，

解得：X=8,

经检验，％=8是所列方程的解，且符合题意.

答：乙每小时加工8个这种零件.

【解析】【分析】设乙每小时加工X个这种零件，则甲每小时加工(x+2)个这种零件，甲加工25个这种零

件所用的时间为备，乙加工20个这种零件所用的时间为型，然后根据时间相等建立方程，求解即可.

x+zX

22.【答案】(1)证明：是0。的直径，

・∙・Z.ACB=90°,

・・・∆ACD+乙BCD=90°,

-AC=AD,

・•・∆ACD=∆ADC,

VZ-ADC=Z.BDE,

Z.ACD=Z-BDE,

•・•BE=BC9

・•・乙BCD=乙E,

・・・乙BDE+4E=90°,

・・・乙DBE=180°-QBDE+乙E)=90°,

即OB1BE.

∙∙∙AB为。。的直径，

∙∙∙BE是。。的切线；

(2)8

【解析】【解答】解：⑵VtanE=I,

.DB_1

,,现=W

设DB=x,贝IJBE=2x,

ΛBC=BE=2x,AD=AB-BD=IO-X.

VAC=AD,

，AC=10-x.

VAB为直径，

，∕ACB=90°,

ΛAC2+BC2=AB2,

Λ(10-x)2+(2x)2=102,

解得x=0(舍去)或x=4,

ΛBE=2x=8.

故答案为:8.

【分析】(1)由圆周角定理可得NACB=90。，根据等腰三角形的性质可得NACD=NADC,由对顶角的性

质可得NADC=/BDE,贝UNACD=NBDE,由等腰三角形的性质可得NBCD=NE,结合

NACD+∕BCD=90°可得NBDE+/E=90。，利用内角和定理求出/DBE的度数，据此证明；

(2)根据三角函数的概念可设DB=x,则BE=2x,BC=BE=2x,AC=AD=IO-X,由圆周角定理可得

ZACB=90o,根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2,代入求解可得X的值，进而可得BE.

23.【答案】(1);点C(6,α)在直线y=9一I上，

1/33

ʌα=2×6-2=2,

次函数y=kx+b的图象过点2(8,0)和点C(6,|),

C8k+ð=0

[6k÷b=ɪ*

解得k=T,

(b=6

，直线的解析式为y=—jχ+6;

(2)①∙∙∙M点在直线"=一,%+6上，且M的横坐标为小，

∙∙∙M的纵坐标为：一年爪+6，

・・・可点在直线'=2%-5上，且N点的横坐标为血，

・,.N点的纵坐标为:ɪm—

.»,a,∣31-11315

∙∙∙∣MNI=—^m+6-2^÷2ZZZ,^2—

∙∙∙点C(6,∣),线段EQ的长度为，,

∙∙∙∖CQ∖=l+^3

V∖MN∖=ICQI,

Z4L

即T-讪

②MAOQ的面积为3,

1

・・..0A∙EQ=3,

即卜8XEQ=3，

解得

EQ=qɪ,

由Q)知，EQ—ɪ,-

1353

∙'∙T-4m=4,

解得τn=争，

即m的值为等.

【解析】【分析】(1)将C(6,a)代入y=∕x-∣中求出a的值，得到点C的坐标，然后将A、C的坐标代

入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线AB的解析式；

(2)①由题意可得M(m,-∣m+6),N(m,人多，表示出MN,易得ICQl=P⅛然后根据MN=CQ就

4,ZZZ

可得到1与m的关系式；

②由三角形的面积公式可得EQ的值，然后代入①的关系式中求解可得m的值.

24.【答案】(1)证明：••・四边形ABCD是平行四边形，

.-.ADHBC,

.∙.∆FAE+∆AEC=180°,

由折叠性质可知，^AEC=∆AEC,

,

Λ∆FAE+∆AEC=180°,

・・・∆AEF+∆AEC,=180°,

.∙.∆FAE=Z-AEF,

・・・AF=EF；

(2)5√3-6

(3)解：如图2,作4QJ.CB,交CB的延长线于Q,作M7J.AF于T,交HO的延长线于G,作HR1MT于

R,

•••四边形/BCD是平行四边形，

：.AB=CD=10,AD=BC=6,AB∣∣CD,CB∣∣AD,

・∙・Z-ABQ=乙DAB=60°,

在RtUQB中，BQ=AB-cos60o=10×ɪ=5.AQ=AB-sin60o=10×ɪ=5√3-

VCE=2

.∙.EQ=BC+BQ-CE=6+5-2=9,

在Rt△4QE+1，AE=AQ2+EQ2=J(5√3)2+92=2√39-

由(1)可知：AF=EF,

•・,FM1AEf

Λ½M=EM=∣√1E=√39,

又・・,EMBCD纸片沿AE所在直线折叠，点C,D的对应点分别为C‘，6,

・・・HM=MN,

•・•ADHBC,

・∙•Z-DAE=∆AEQ»

・•・cos∆DAE=CosZ-AEQ,sin∆DAE=SinzTlEQ,

ATEQMT_AQ

ʌAM=AEfAM=AE

.AT=9MT二SB

*,√39~2√39,图—2国

.Λrr—9八∕τ5v'3

••力，-MT=-ɔ-,

乙Z

Q3

DT=AD-AT=6-=

-ABHCD,

・••乙GDT=∆DAB=60°,

ΓrΓ

在Rt△DGT中，tanzGP7,=tan60o=拚，

・・・GT=DT∙tan60o=孚，

...MG=GT+MT=竽+学=4√3,

•・•KFMT+∆AMT=90o,∆DAE+∆AMT=180o-∆ATM=90°,

・・・∆FMT=∆DAE,

∙∙∙NFMT=∕AEQ,

Ytem乙FMT=tan∆AEQ,

HRAQ5√3

^RM=EQ=~f

，设HR=Sak,RM=9k,

VMGLAF,HG1MG,

・♦.HRHAF9

.・.Z.GHR=乙GDT=60°,

・••tan乙GHR=tan乙GDT,

rp_

ʌ丽=tan60o=V3，

.∙.GR=√3W∕?=√3×5√3∕c=15k，

-：GR+RM=MG,

：.15k+9k=4√3,

.√3

・•・K=-T",

O

ʌHR=5√3∕c=∣,

Vsin∆FMT=sin∆AEQ,

HRAQ

λHM=AE，

,f5√3.

"'HM^一2√39,

；.HM=√13,

.∙.MN=√13,

11

ʌSAANE=^AE-MN=^×2√39×√13=13√3∙

【解析】【解答］解：（2）作AGLGB,交CB的延长线于点G,

•；四边形ABCD为平行四边形，

ΛAD√BC,

.*.ZABG=ZDAB=60o,ZFEG=I80o-ZF=90o,

.∙.AG=AB∙sin/ABG=IOX空=5g，四边形AGEF为矩形.

由（1）得AF=EF,

.∙.矩形AGEF为正方形，

.∙.AF=AG=5V3>

.∙.DF=AF-AD=5存6.

故答案为：5∖∕3-6.

【分析】（1）由平行四边形以及平行线的性质可得NFAE+/AEC=I80。，由折叠可得∕AEC=∕AEC,贝IJ

ZFAE+ZAEC,=180o,由邻补角的性质可得NAEF+NAEC=I80。，则NFAE=NAEF,据此证明；

（2）作AGLGB,交CB的延长线于点G,由平行四边形以及平行线的性质可得NABG=NDAB=60。，

ZFEG=180o-ZF=90o,由三角函数的概念可得AG的值，由（1）得AF=EF,推出四边形AGEF为正方

形，得到AF=AG,然后根据DF=AF-AD进行计算；

（3）作AQLCB,交CB的延长线于Q,作MT,AF于T,交HD的延长线于G,作HR,MT于R,由

平行四边形的性质可得AB=CD=10,AD=BC=6,AB〃CD,AD〃BC,由平行线的性质可得

ZABQ=ZDAB=60o,由三角函数的概念可得BQ、AQ,然后求出EQ、AE,由（1）可得AE=EF,结合

等腰三角形的性质可得AM=EM=IAE=病，由折叠可得HM=MN,由平行线的性质可得∕DAE=∕AEQ,

结合三角函数的概念可得AT、MT,然后求出DT,同理可得GT、MG、GR的值，易得

/FMT=NAEQ,结合三角函数的概念可设HR=5bk,RM=9k,由GR+RM=MG可得k的值，据此可得

HR,然后求出MN,再根据三角形的面积公式进行计算.

25.【答案】⑴二次函数y=卜2+bx+c的图象经过点A（0,2），与X轴的交点为点8（国，0）.

（c=2

ʌIl+√36+2=0,'

解得：,=一/

(c=2

.・•此抛物线的解析式为y=∣x2-√3x+2

(2)①令y=0,贝号/一√3x÷2=0

解得：X=√3⅛Kx=2Λ∕3>

ΛC(2√3,0)

.∙∙OC—2y[3∙

'：OE=a,OG=2OE,OD=巾OE,

∙"∙OG=2a,OD-V3α

∙.∙四边形。。FE为矩形，

JEF=OD=V3α,FD=OE=a

.∙.E(0,α),D(√3α,0),F(√3α,a),G(0,2α)

.,∙CD=OC-OD=2√3-√3α

I.当AGODSZkFDC时，

.OG_FD

"OD=CD

.2a_a

"√3a^2√3-√3a

.3

∙∙a=2

∏.当乙GOD-ΔCDF时，

.OG_CD

''OD=^FD

♦2ct_2yj3-yj3cι

"√3a^ɑ-

6

Q=-

5

综上，当AGOC与AFDC相似时，α的值为9或会

(2)•••点。与点C重合，

.".OD=OC=2遮

:∙0E=2,OG=20E=4,EF=OD=2√3,DF=OE=2

：.EG=OE=2

y

ɪ

θ∖D

・・・EG=DF=2,

vEGIlDF,

・・・四边形GEDF为平行四边形，

2222

.・.FG=DE=yJθE+OD=J2+(2√3)=4,

・・・(GFE=30°,

・•・乙EGF=60°,

VZJ)GH=60°,

・・・乙EGF=LDGH,

・•・(OGD=Z.FGH.

在AGOD和AGFH中，

(GO=GF=4

<∆OGD=LFGH,

IGD=GH

/.△GOD三AGFH(SAS),

•・・FH=OD=2√3,(GOD=乙GFH=90°.

・•・GH=√GF2÷FH2=J42+(2√3)2=2√7.

I、当G'F所在直线与DE垂直时，如图，

・・・乙GFH=90o,GFHDE,

・・・∆G,FH,=90°,

・・.G,F,H'三点在一条直线上，

GH,=GF+FH'=FG+FH=4+2√3.

过点卬作HK1y轴于点K,则H,K||FE

・•・∆KH,G=乙EFG=30°,

.∙.H1K=H1G-cos3