浙江省杭州市太炎中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析

浙江省杭州市太炎中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为(

)A． B． C． D．参考答案：A2.函数的值域是

（

）

A．(0，＋∞)B．(0,1)

C．(0,1]

D．[1，＋∞)参考答案：C3.给出以下四个数：6，-3，0，15，用冒泡排序法将它们按从大到小的顺序排列需要经过几趟（

）A．1B．2C．3D．4参考答案：C4.定义集合运算：A☆B=.设集合，，则集合A☆B的元素之和为（

）A．2

B．1

C．3

D．4参考答案：C5.过点且倾斜角为30o的直线方程为（）A．. B．. C． D．.参考答案：C【考点】直线的点斜式方程．【分析】由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：∵直线的倾斜角为30°，∴其斜率为tan30°=，由直线过点（2，3），∴直线方程为y﹣3=（x﹣2），即y=x+1，x﹣3y+3=0，故选：C．6.若复数，复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B7.若函数在区间单调递增，则的取值范围是(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D8.数列{an}的首项为a1=1，数列{bn}为等比数列且bn=，若b10b11=2015，则a21=(

)A．2014 B．2015 C．2016 D．2017参考答案：B【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知结合bn=，得到a21=b1b2…b20，结合b10b11=2015，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：由bn=，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…an=b1b2…bn﹣1．∴a21=b1b2…b20．∵数列{bn}为等比数列，∴a21=（b1b20）（b2b19）…（b10b11）=．故选：B．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题．9.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a5·a9=-8，b2+b5+b8=6π，则cos的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C由题意得a1·a5·a9=，b2+b5+b8=，所以=，选C.4.若向量=（1，x），=（2x+3，－x）互相垂直，其中x∈R，则|－|等于（

）A.-2或0

B.2

C.2或-2

D.2或10【答案】D【解析】同两向量垂直可得或x=-1,当x=3时=，当x=-1时，=，选D.10.已知函数，则其在点处的切线方程（

）A

B

C

D参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线l与圆x2+y2=1交于P、Q两点，P、Q的横坐标为x1，x2，△OPQ的面积为（O为坐标原点），则x12+x22=．参考答案：1【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，联立方程由韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，由三角形的面积可得∠POQ=90°，进而可得?=0，可得2b2=k2﹣1，代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，化简可得．【解答】解：当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，和圆的方程联立消y并整理得（1+k2）x2+2kbx+b2﹣1=0，由韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，∵△OPQ的面积为，∴×1×1×sin∠POQ=，∴sin∠POQ=1，∠POQ=90°，∴?=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=（1+k2）+kb+b2=0，化简可得2b2=k2﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==1验证可得当直线斜率不存在时，仍有x12+x22=1故答案为：1【点评】本题考查直线和圆的位置关系，涉及三角形的面积公式和韦达定理以及向量的垂直，属中档题．12.向量，若向量与向量共线，则_______.参考答案：13.若x,y满足则为

.参考答案：-214.直线与坐标轴围成的三角形的面积为

▲

.参考答案：略15.函数的最大值是______________.参考答案：【分析】通过导数的符号得到函数的单调性，从而得到函数的最大值.【详解】，当，，所以在上单调递增；当，，所以在上单调递减；所以.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．16.对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数,都有，则的值是______________参考答案：417.定义运算x?y，若|m﹣1|?m=|m﹣1|，则m的取值范围是

．参考答案：m≥考点：绝对值不等式．专题：计算题；新定义．分析：由题意知，|m﹣1|?m的结果是取|m﹣1|和m中的较小者，故得到|m﹣1|和m的不等关系，最后解此绝对值不等式即得m的取值范围．解答： 解：由题意得：|m﹣1|≤m，①∴m≥0，①式平方得：m2﹣2m+1≥m2，即：m≥．故答案为：m≥．点评：本小题主要考查绝对值不等式、函数的概念、绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b是两条异面直线，a?α，b?β且a∥β，b∥α，求证：α∥β参考答案：【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】先过直线b做平面γ根据线面平行的性质定理得到b∥c，进而得到c∥β；再结合a∥β即可证明α∥β．【解答】证明：如图所示，过直线b做平面γ，面γ与面α相交于直线c，则：∵α∩γ=c，β∩γ=b，b∥α，∴b∥c又∵b?面β，c?面β∴c∥β又∵a∥β且a∩c=P∴α∥β19.如果有穷数列（，）满足条件

即，我们称其为“反对称数列”。（1）请在下列横线上填入适当的数，使这6个数构成“反对称数列”：－8，

，－2，

，4，

；（2）设是项数为30的“反对称数列”，其中构成首项为-1，公比为2的等比数列.设是数列的前n项和，则=

参考答案：略20.设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2E：复合命题的真假．【分析】（1）利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化简命题p，q，命题p与q都为真命题，即可得出．（2）p是q的必要不充分条件，可得，即可解出．【解答】解：（1）当a=1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由．解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）p是q的必要不充分条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．21.直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】首先根据函数的导数求出函数的单调区间，然后画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况．【解答】解：先求函数f（x）的单调区间，由f′（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，∴在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上，f（x）=x3﹣3x是增函数，在（﹣1，1）上，f（x）=x3﹣3x是减函数，由此可以作出f（x）=x3﹣3x的草图（如图）．由图可知，当且仅当﹣2＜a＜2时，直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点．22.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200