天津北仓第二中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

天津北仓第二中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（多选题）甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（

）A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B.甲的不同的选法种数为15C.已知乙同学选了物理，乙同学选技术概率是D.乙、丙两名同学都选物理的概率是参考答案：BD【分析】根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；故选BD.【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.2.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：A【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．3.已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()．参考答案：A略4.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为=7.19x+73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（

）A.身高一定是145.83cm；

B.身高在145.83cm以上；C.身高在145.83cm以下；

D.身高在145.83cm左右.参考答案：D5.在空间中，可以确定一个平面的条件是（）A．一条直线B．不共线的三个点C．任意的三个点D．两条直线参考答案：B略6.若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则的面积是（

） A．4 B．2 C．1 D．参考答案：C7.已知满足，则点的轨迹是（）A．离心率为的椭圆B．离心率为的椭圆C．离心率为的双曲线

D．离心率为的双曲线参考答案：B8.抛物线上到直线的距离最近的点的坐标（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略9.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由长方体的特点可得AB与AD所成的角即为异面直线AB，A1D1所成的角，由矩形的性质可求．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA∥A1D1，∴AB与AD所成的角即为异面直线AB，A1D1所成的角，在矩形ABCD中易得AB与AD所成的角为90°，故异面直线AB，A1D1所成的角等于90°故选：D【点评】本题考查异面直线所成的角，属基础题．10.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于()A.或

B.或2

C.或2

D.或参考答案：A由双曲线x2－＝1知渐近线方程为y＝±2x，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b2x2＋(b2＋5)y2＝(b2＋5)b2，联立直线与椭圆方程消y得，x2＝.又∵C1将线段AB三等分，∴×2＝，解之得b2＝二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将编号为1、2、3、4、5的五名同学全部安排到A、B、C、D四个班级上课，每个班级至少安排一名同学，其中1号同学不能安排到A班，那么不同的安排方案共有

种．参考答案：72【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，首先分析1号，易得1号可以放B、C、D班，有A31种方法，再分两种情况讨论其他4名同学，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：1号同学不能安排到A班，则1号可以放在B、C、D班，有A31种方法，另外四个同学有2种情况，①四人中，有1个人与1号共同分配一个班，即A、B、C、D每班一人，即在三个班级全排列A44，②四人中，没有人与1号共同参加一个班，这四人都被分配到1号没有分配的3个班，则这四人中两个班1人，另一个班2人，可以从4人中选2个为一组，与另2人对应2个班，进行全排列，有C42A33种情况，另外三个同学有A44+C42A33=72种安排方法，∴不同的分配方案有A21（A33+C32A22）=24，故答案为72．12.．向量a、b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b夹角的余弦值等于________．参考答案：－13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为

．参考答案：9π﹣﹣【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2），从而可求误差．【解答】解：扇形半径r=3扇形面积等于=9π（m2）弧田面积=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．故答案为：9π﹣﹣．【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．14.曲线方程，其图像与直线有两个不同的交点，则a的取值范围是_______

___.参考答案：15.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距mile此船的航速是________nmile/h.参考答案：3216.若直线（为实常数）与函数

(为自然对数的底数)的图象相切，则切点坐标为

▲

．参考答案：17.近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为、、、，则该选手进入第二轮答题的概率为_________；该选手最终获得奖金的概率为_________.参考答案：；

.【分析】选手要进入第二轮答题，则第一轮要全部回答正确，根据相互独立同时发生的概率，即可求出其概率；该选手要获得奖金，须两轮都要过关，获得奖金的概率为两轮过关的概率乘积，第二轮通过，答题中可能全部答对四道题，或答错其中一道题，分别求出概率相加，即可得出结论.【详解】选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，概率为，第二轮通过的概率为，该选手最终获得奖金的概率为.故答案为:；.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率以及互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1～4号的4名射箭运动员参加射箭比赛．（1）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有2名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（2）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，1，2，3，…，10）分别为P1，P2．根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：ξ012345678910P100000.060.040.060.30.20.30.04P200000.040.050.050.20.320.320.02①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率；②判断1号、2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把4名运动员安排到4个位置，从4名运动员中任取2名，其靶位号与参赛号相同，有C42种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，得到概率．（2）①至少有一人命中9环的对立事件是两人各射击一次，都未击中9环，先做出都未击中9环的概率，用对立事件的概率公式得到结果，②根据所给的数据做出两个人的击中环数的期望，比较两个期望值的大小，得到结论2号射箭运动员的射箭水平高．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把4名运动员安排到4个位置，从4名运动员中任取2名，其靶位号与参赛号相同，有C42种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，∴恰有2名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为P==0.25（2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P=（1﹣0.3）（1﹣0.32）=0.476∴至少有一人命中9环的概率为p=1﹣0.476=0.524②∵Eξ1=4×0.06+5×0.04+6×0.06+7×0.3+8×0.2+9×0.3+10×0.04=7.6Eξ2=4×0.04+5×0.05+6×0.05+7×0.2+8×0.32+9×0.32+10×0.02=7.75所以2号射箭运动员的射箭水平高．19.当n∈N*时，Sn=1－+－+…+－，Tn=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．参考答案：【考点】数学归纳法；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（Ⅱ）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．【解答】解：（Ⅰ）∵当n∈N*时，，Tn=+++…+．∴S1=1﹣=，S2=1﹣+﹣=，T1==，T2=+=（Ⅱ）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（n∈N*）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，已证S1=T1②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+则：Sk+1=Sk+﹣=Tk+﹣=+++…++﹣=++…+++（﹣）=++…++=Tk+1，由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．20.抛物线的顶点在原点O，它与双曲线的一个交点是,且抛物线的准线经过双曲线的一