高中数学线性回归

关于高中数学线性回归两个变量之间的关系确定性的函数关系随机性的相关关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．正方形边长x面积S确定关系一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系：水稻产量施肥量气候情况浇水除虫不确定关系第2页,共20页，2024年2月25日，星期天

相关关系是一种非确定性关系．对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：当施肥量x一定时，水稻产量y的值带有一定的随机性455450445405365345330水稻产量y

45403530252015施化肥量x

回归分析第3页,共20页，2024年2月25日，星期天455450445405365345330水稻产量y

45403530252015施化肥量x

散点图图中各点，大致分布在某条直线附近。在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？第4页,共20页，2024年2月25日，星期天一般地，设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，我们来求在整体上与这n个点最接近的一条直线．设所求的直线的方程为偏差偏差的符号有正有负，相加相互抵消，所以和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度.

采用n个偏差的平方和

回归直线的计算步骤叫做回归直线方程第5页,共20页，2024年2月25日，星期天Q取得最小值的a，b的求值公式我们将所得到的方程叫做回归直线方程，相应的直线叫做回归直线，而对两个变量所进行的上述统计分析叫做线性回归分析．第6页,共20页，2024年2月25日，星期天455450445405365345330水稻产量y

45403530252015施化肥量x

第7页,共20页，2024年2月25日，星期天因此所求的回归直线方程是第8页,共20页，2024年2月25日，星期天于是提出一个问题：所求得的回归直线方程，在什么情况下才能对相应的一组观测值具有代表意义呢？如图是一组观测值的散点图．我们看到，图中的各点并不集中在一条直线的附近，但是按照上面的方法，同样可以就这组数据求得一个回归直线方程．这显然是毫无意义的．变量的相关性第9页,共20页，2024年2月25日，星期天对于变量y与x的一组观测值来说，我们把叫做变量y与x之间的样本相关系数，（简称相关系数），可以证明，|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．第10页,共20页，2024年2月25日，星期天第11页,共20页，2024年2月25日，星期天

一般地，当|r|与1接近到什么程度才表明y与x之间具有线性相关关系呢？为明确这一点，通常采用对相关系数r进行显著性检验（简称相关性检验）的方法．其中待检验的统计假设是两个变量不具有线性相关关系，检验的步骤如下．第12页,共20页，2024年2月25日，星期天1．在附表3(P.59)中查出与显著性水平0.05与自由度n－2（n为观测值组数）相应的相关系数临界值r0.05。2．根据公式⑤计算r的值．

3．检验所得结果．第13页,共20页，2024年2月25日，星期天

如果|r|≤r0.05，那么可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设．

如果|r|>r0.05，表明一个发生的概率不到5％的事件在一次试验中竟发生了．这个小概率事件的发生使我们有理由认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设，也就是表明可以认为y与x之间具有线性相关关系．第14页,共20页，2024年2月25日，星期天

按照上述步骤，我们来检验一下第35页水稻产量与施化肥量之间是否存在线性相关关系．1．在附表3中查出与显著性水平0.05和自由度7－2相应的相关系数临界值r0.05=0.754．

2．前面已求得r≈0.9733．

3．因为r>r0.05，这说明水稻产量与施化肥量之间存在着线性相关关系．第15页,共20页，2024年2月25日，星期天

这个结论表明，前面求得的关于这两个变量之间的回归直线方程是有意义的．又如，在第38页产品月总成本与月产量关系的例子中，查得相应于显著性水平0.05和自由度12－2的r0.05为0.576，又算得r=0.998，由r>r0.05，可知，y与x之间存在显著的线性相关关系．第16页,共20页，2024年2月25日，星期天

通常，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验，在确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线．第17页,共20页，2024年2月25日，星期天

我们看到，由部分观测值得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性问题转化成确定性问题来进行研究．由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．第18页,共20页，2024年2月25日，星期天

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．

相关关系与函数关系的异同点：

相关关系函数相同点不同点对具有相关关系的两个变量进