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专题14圆锥曲线(选填题8种考法)考法一曲线的定义及应用【例1-1】(2023·北京·统考高考真题)已知抛物线的焦点为,点在上.若到直线的距离为5,则(

)A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】因为抛物线的焦点,准线方程为,点在上,所以到准线的距离为,又到直线的距离为,所以,故.故选:D.【例1-2】.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知椭圆C:的左、右焦点分别是,,为椭圆C上一点,则下列结论不正确的是(

)A.的周长为6 B.的面积为C.的内切圆的半径为 D.的外接圆的直径为【答案】D【解析】由题意知,,,,由椭圆的定义知,,,∴的周长为,即A正确;将代入椭圆方程得,解得,∴的面积为,即B正确;设的内切圆的半径为r,则,即,∴,即C正确;不妨取,则,,∴的面积为,即,∴,由正弦定理知,的外接圆的直径,即D错误,故选:D.

【变式】1.(2023·河南开封·统考三模)已知点是椭圆上一点,椭圆的左、右焦点分别为、,且,则的面积为(

)A.6 B.12 C. D.【答案】C【解析】由椭圆,得,,.

设,,∴,在中,由余弦定理可得:,可得,得,故.故选:C.2.(2023·全国·统考高考真题)设为椭圆的两个焦点,点在上,若,则(

)A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】方法一:因为,所以,从而,所以.故选:B.方法二:因为,所以,由椭圆方程可知,,所以,又,平方得:,所以.故选:B.3.(2023·北京·101中学校考三模)已知分别是双曲线的左右焦点,是上的一点,且,则的周长是.【答案】34【解析】因为,所以,故,则,又,故,则,,所以的周长为.故答案为:34.4.(2023·全国·模拟预测)已知,分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,的面积为8,则到双曲线的渐近线的距离为.【答案】2【解析】由题意及双曲线的定义知,则,由余弦定理可得,所以,因为,所以,,因为的面积为8,所以,所以,所以,因为点到该双曲线渐近线的距离为,所以点到该双曲线渐近线的距离为2.故答案为:2.考法二曲线的标准方程【例2-1】(2022·天津·统考高考真题)已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点,与双曲线的渐近线交于点A,若,则双曲线的标准方程为(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】抛物线的准线方程为,则,则、,不妨设点为第二象限内的点,联立,可得,即点,因为且,则为等腰直角三角形,且,即,可得,所以,,解得,因此,双曲线的标准方程为.故选:C.【例2-2】(2022·全国·统考高考真题)已知椭圆的离心率为,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】因为离心率,解得,,分别为C的左右顶点,则,B为上顶点,所以.所以,因为所以,将代入,解得,故椭圆的方程为.故选:B.【例2-3】(2022·全国·统考高考真题)过四点中的三点的一个圆的方程为.【答案】或或或.【解析】[方法一]:圆的一般方程依题意设圆的方程为,(1)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;(2)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;(3)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;(4)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;故答案为:或或或.[方法二]:【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)设(1)若圆过三点,圆心在直线,设圆心坐标为,则,所以圆的方程为;(2)若圆过三点,设圆心坐标为,则,所以圆的方程为;(3)若圆过三点,则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,联立得,所以圆的方程为;(4)若圆过三点,则线段的中垂线方程为,线段中垂线方程为,联立得,所以圆的方程为.故答案为:或或或.【例2-4】(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知抛物线的焦点为,准线为,点是抛物线上一点,于.若,则抛物线的方程为(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】如图,连接,设准线与轴交点为

抛物线的焦点为,准线:又抛物线的定义可得,又,所以为等边三角形,所以,所以在中,,则,所以抛物线的方程为.故选:C.【变式】1.(2023·吉林白山·统考模拟预测)若抛物线的焦点到准线的距离为3,且的开口朝左,则的标准方程为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可设的标准方程为,因为的焦点到准线的距离为3,所以,所以的标准方程为.故选:A2.(2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,则双曲线的标准方程为(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,故抛物线的准线方程为,即抛物线焦点为,渐近线方程过,则,双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是,则左顶点为,即.故双曲线方程为.故选:B.3(2023·全国·校联考模拟预测)已知椭圆的左顶点为A,上顶点为B,左、右焦点分别为,,延长交椭圆E于点P.若点A到直线的距离为,的周长为16,则椭圆E的标准方程为(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意,得,,,则直线的方程为,所以点A到直线的距离①.由的周长为16,得,即a+c=8②,联立①②,解得③.因为,所以④.联立②④,解得a=6,c=2,所以,故椭圆E的标准方程为是.故选:B.4.(2022·全国·统考高考真题)设点M在直线上,点和均在上,则的方程为.【答案】【解析】[方法一]:三点共圆∵点M在直线上,∴设点M为,又因为点和均在上,∴点M到两点的距离相等且为半径R,∴,,解得,∴,,的方程为.故答案为:[方法二]:圆的几何性质由题可知,M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为:5.(2023·北京·统考高考真题)已知双曲线C的焦点为和,离心率为,则C的方程为.【答案】【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为,显然双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距,由双曲线的离心率为,得,解得,则,所以双曲线的方程为.故答案为:考法三离心率【例3-1】(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知椭圆的左、右焦点分别为,,点是椭圆短轴的一个端点,且,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知,,在中,由余弦定理得,化简得,则,所以,故选:C.【例3-2】.(2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)已知为双曲线:的右焦点,平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点,,且,,则的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线:的渐近线方程为.设,联立方程组,解得.因为,所以,即,可得.又因为点在双曲线上,所以,将代入,可得,由,所以,所以,即,化简得,则,所以双曲线的离心率为.故选:B.

【变式】1.(2023·湖南郴州·统考一模)已知点是椭圆的左右焦点,点为椭圆上一点,点关于平分线的对称点也在椭圆上,若,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可作图如下:

由图可知:,由平分,则,所以,由,则解得,由是关于直线的对称点,则共线,,,,所以,在中,,可得,解得,,在中,由余弦定理,可得,代入可得:,化简可得:,所以其离心率.故选:C.2.(2023·贵州·校联考模拟预测)已知右焦点为的椭圆:上的三点,,满足直线过坐标原点,若于点,且,则的离心率是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】设椭圆左焦点为,连接,,,设,,结合椭圆对称性得,由椭圆定义得,,则.因为,,则四边形为平行四边形,则,而,故,则,即,整理得,在中,,即,即,∴,故.故选:A

3.(2023·甘肃酒泉·统考三模)已知双曲线的右焦点为,过点的直线与双曲线的右支交于,两点,且,点关于原点的对称点为点,若,则双曲线的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为,连接,,,如图所示,

又因为,所以,所以四边形为矩形,设,则,由双曲线的定义可得:,,又因为为直角三角形,所以,即,解得,所以,,又因为为直角三角形,,所以,即:,所以,即.故选:D.4(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)“”是“方程表示椭圆”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程表示椭圆,所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件,故选:B.考法四折线段距离最值【例4-1】.(2023·江苏南通·统考三模)已知为椭圆:的右焦点,为上一点,为圆:上一点,则的最大值为(

)A.5 B.6 C. D.【答案】D【解析】依题意,设椭圆的左焦点为,圆的圆心为,半径为,,当三点共线,且在之间时等号成立.而,所以,当四点共线,且在之间,是的延长线与圆的交点时等号成立.故选:D

【例4-2】(2023秋·北京)已知,分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则的最小值为(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以要求的最小值,只需求的最小值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时,最小,最小值为.故的最小值为.

故选:C【例4-3】(2023·湖南)设点P是圆上的一动点,,,则的最小值为(

).A. B. C.6 D.12【答案】B【解析】设,则点P的轨迹为以A,B为焦点,为实轴长的双曲线的上支,∴点P的轨迹方程为,依题意,双曲线与圆有公共点,将圆的方程代入双曲线方程得,即,判别式,解得,当时,,且,∴等号能成立.∴.故选:B【变式】1.(2023秋·黑龙江大庆)已知定点,点为椭圆的右焦点,点M在椭圆上移动,求的最大值和最小值为(

)A.12, B.,C.12,8 D.9,【答案】C【解析】令椭圆的左焦点为,有,由椭圆定义知,

显然点在椭圆内,,直线交椭圆于,而,即,当且仅当点共线时取等号,当点与重合时,,则,当点与重合时,,则,所以的最大值和最小值为12,8.故选:C2.(2023·宁夏中卫·统考一模)已知双曲线C:的左右焦点为,,点P在双曲线C的右支上,则(

)A.-8 B.8 C.10 D.-10【答案】A【解析】设双曲线的实半轴长为,则,所以,因为双曲线C的左右焦点为,,点P在双曲线C的右支上,所以,故选:A3.(2023·广西)已知,双曲线的左、右焦点分别为,,点是双曲线左支上一点,则的最小值为()A.5 B.7 C.9 D.11【答案】C【解析】由双曲线,则,即,且,由题意,,当且仅当共线时,等号成立.故选:C.4.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线的焦点为F,点,若点A为抛物线任意一点,当取最小值时,点A的坐标为(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】设点A在准线上的射影为D,如图,

则根据抛物线的定义可知,求的最小值,即求的最小值,显然当D,B,A三点共线时最小,此时点的横坐标为1,代入抛物线方程可知.故选:B.5.(2023春·河南周口)已知点是抛物线上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,若,则的最小值为(

)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】由抛物线可知其焦点为,准线方程为记抛物线的焦点为,

所以,当且仅当点在线段上时等号成立,所以的最小值为3.故选:A.考法五直线与曲线的位置关系【例5-1】.(2023·全国·高三专题练习)直线l:与椭圆C:的位置关系是(

)A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定【答案】A【解析】将直线l:变形为l:,由得,于是直线l过定点,而,于是点在椭圆C:内部,因此直线l:与椭圆C:相交.故选:A.

【例5-2】(2023·上海)已知双曲线,直线,若直线与双曲线的交点分别在两支上,求的范围.【答案】【解析】联立双曲线、直线方程,消去整理得,由题意,设方程的两根为,则,解得.故答案为:

【变式】1.(2023·上海)已知双曲线,直线,若直线与双曲线的右支有两个交点,求的取值范围.【答案】或【解析】依题意,联立方程,消去,得,设直线与双曲线的右支的两个交点为,,

则,解得或,所以或.故答案为:或.2.(2024·全国·高三专题练习)直线与双曲线有且只有一个公共点,则实数.【答案】或【解析】由消去y,整理得,当时,由得;又注意到直线恒过点,且渐近线的斜率为时,直线与渐近线平行时也成立.故答案为:或

3.(2023·全国·高三专题练习)过抛物线上一点的抛物线的切线方程为.【答案】【解析】解法一:设切线方程为.由⇒⇒,由,得,∴.故切线方程为,即.故答案为:.解法二:由得,∴.∴.∴切线方程为,即.故答案为:.4.(2023·全国·高三专题练习)设直线和椭圆有且仅有一个公共点,求和的取值范围.【答案】,【解析】令,则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线,要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点,只要相应的直线与圆相切.由直线和圆相切的充要条件可知,即,故得,即,解得.考法六弦长【例6-1】(2023·全国·统考高考真题)已知双曲线的离心率为,C的一条渐近线与圆交于A,B两点,则(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】由,则解得,所以双曲线的一条渐近线不妨取,则圆心到渐近线的距离,所以弦长.故选:D【例6-2】.(2022·全国·统考高考真题)设F为抛物线的焦点,点A在C上,点,若,则(

)A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由题意得,,则,即点到准线的距离为2,所以点的横坐标为,不妨设点在轴上方,代入得,,所以.故选:B【变式】1.(2023·北京大兴·校考三模)已知抛物线顶点在原点,焦点为,过作直线交抛物线于、两点,若线段的中点横坐标为2,则线段的长为【答案】6【解析】是抛物线的焦点,准线方程,设,线段的中点横坐标为2,.,线段的长为6.故答案为:6.2.(2022·天津·统考高考真题)若直线与圆相交所得的弦长为,则.【答案】【解析】圆的圆心坐标为,半径为,圆心到直线的距离为,由勾股定理可得,因为,解得.故答案为:.3(2023·广西钦州)已知椭圆与直线交于A,B两点,且,则实数m的值为(

)A.±1 B.±C. D.±【答案】A【解析】由,消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0.设,则,.由题意,得,解得.故选:A考法七中点弦【例7-1】.(2023·河南·校联考模拟预测)已知直线与椭圆交于两点,若点恰为弦的中点,则椭圆的离心率是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意,直线的斜率为,设,则,且,由两式相减得:,于是,解得,此时椭圆,显然点在椭圆内,符合要求,所以椭圆的离心率.故选:A【例7-2】.(2023·贵州·统考模拟预测)已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】设,则,由已知有,,作差得,则,所以,解得,则的方程为.故选:D.【例7-3】.(2023·河南郑州·统考二模)已知椭圆的上顶点为B,斜率为的直线l交椭圆于M,N两点,若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】设,的中点为,因为都在椭圆上,所以,作差可得,即,所以,即,因为,所以,又因为为△BMN的重心,所以,所以,则,所以,整理得,即,所以,则,所以离心率.故选:A.【变式】1.(2023·陕西渭南·统考二模)已知直线过双曲线的左焦点,且与的左、右两支分别交于两点,设为坐标原点,为的中点,若是以为底边的等腰三角形,则直线的斜率为(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】设,由均在上,为的中点,得,则,∴,∴,设直线的倾斜角为,则,不妨设为锐角,∵是以为底边的等腰三角形,∴直线的倾斜角为,则.∴,∴,解得,∴由对称性知直线的斜率为.故选:D2.(2023·河南·校联考模拟预测)已知双曲线的离心率为,直线与交于两点,为线段的中点,为坐标原点,则与的斜率的乘积为(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】设,,,则,两式作差,并化简得,,所以,因为为线段的中点,即所以,即,由,得.故选:B.3.(2023·四川成都·校考模拟预测)已知抛物线,直线与抛物线交于、两点,线段的中点为,则的方程为(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】设点、,则,若直线轴,则线段的中点在轴上,不合乎题意,则直线的斜率存在,由已知,两式作差可得,所以,直线的斜率为,因此,直线的方程为,即.故选:A.4.(2023·陕西商洛·统考三模)如图,已知过原点的直线与双曲线相交于两点,双曲线的右支上一点满足,若直线的斜率为-3,则双曲线的离心率为.【答案】/【解析】如图,取的中点,连接,则,所以,设直线的倾斜角为,则,所以,所以直线的斜率为.设,则.由,得到.,所以,所以,则.故答案为:5.(2023·四川内江·统考模拟预测)若双曲线上存在两个点关于直线对称,则实数的取值范围为.【答案】【解析】依题意,双曲线上两点,,,,若点A、B关于直线对称,则设直线的方程是,代入双曲线方程化简得:,则,且,解得,且又,设的中点是,,所以,.因为的中点在直线上,所以,所以,又所以,即,所以所以,整理得,所以或,实数的取值范围为:故答案为:.考法八综合运用【例8-1】.(2023·全国·统考高考真题)(多选)设O为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(

).A. B.C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形【答案】AC【解析】A选项:直线过点,所以抛物线的焦点,所以,则A选项正确,且抛物线的方程为.B选项:设,由消去并化简得,解得,所以,B选项错误.C选项:设的中点为,到直线的距离分别为,因为,即到直线的距离等于的一半,所以以为直径的圆与直线相切,C选项正确.D选项:直线,即,到直线的距离为,所以三角形的面积为,由上述分析可知,所以,所以三角形不是等腰三角形,D选项错误.故选:AC.

【例8-2】(2023·湖南·模拟预测)(多选)已知O为坐标原点,,分别是双曲线E:的左、右焦点,P是双曲线E的右支上一点,若,双曲线E的离心率为,则下列结论正确的是(

)A.双曲线E的标准方程为B.双曲线E的渐近线方程为C.点P到两条渐近线的距离之积为D.若直线与双曲线E的另一支交于点M,点N为PM的中点,则【答案】ACD【解析】根据双曲线的定义得,,故,由,得,所以,所以双曲线E的标准方程为,渐近线方程为,即,所以A正确,B不正确;设,则点P到两条渐近线的距离之积为,所以C正确;设,,因为P,M在双曲线E上,所①,②,①-②并整理得,,即,所以,所以D正确.故选:ACD.【变式】1(2023·云南·校联考模拟预测)设O为坐标原点,,是双曲线C:的左、右焦点,过作圆O:的一条切线,切点为T.线段交C于点P,若的面积为,且,则C的方程为(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】

由圆的方程知,,又,在直角△中,,且.在△中,则,故.在△中,,由正弦定理,,则,∴由双曲线定义,,又,,则,∴,即.∵为直角,易知为钝角,由知,,在△中,由余弦定理,,∴,∴,整理得,∴.又,将代入,解得.∴双曲线C的方程:.故选:A2.(2022·全国·统考高考真题)(多选)双曲线C的两个焦点为,以C的实轴为直径的圆记为D,过作D的切线与C交于M,N两点,且,则C的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】AC【解析】[方法一]:几何法,双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支,依题意不妨设双曲线焦点在轴,设过作圆的切线切点为B,所以,因为,所以在双曲线的左支,,,,设,由即,则,选A情况二若M、N在双曲线的两支,因为,所以在双曲线的右支,所以,,,设,由,即,则,所以,即,所以双曲线的离心率选C[方法二]:答案回代法特值双曲线,过且与圆相切的一条直线为,两交点都在左支,,,则,特值双曲线,过且与圆相切的一条直线为,两交点在左右两支,在右支,,,则,[方法三]:依题意不妨设双曲线焦点在轴,设过作圆的切线切点为,若分别在左右支,因为,且,所以在双曲线的右支,又,,,设,,在中,有,故即,所以,而,,,故,代入整理得到,即,所以双曲线的离心率若均在左支上,同理有,其中为钝角,故,故即,代入,,,整理得到:,故,故,故选:AC.一、单选题1.(2023·全国·统考高考真题)设椭圆的离心率分别为.若,则(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由,得,因此,而,所以.故选:A2.(2023·全国·统考高考真题)已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线与C交于A,B两点,若面积是面积的2倍,则(

).A. B. C. D.【答案】C【解析】将直线与椭圆联立,消去可得,因为直线与椭圆相交于点,则,解得,设到的距离到距离,易知,则,,,解得或(舍去),故选:C.3.(2022·全国·统考高考真题)椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线的斜率之积为,则C的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】[方法一]:设而不求设,则则由得:,由,得,所以,即,所以椭圆的离心率,故选A.[方法二]:第三定义设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知:故,由椭圆第三定义得:,故所以椭圆的离心率,故选A.4.(2023·浙江·模拟预测)已知圆和点,由圆外一点向圆引切线,切点分别为,若,则的最小值是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】设,连接,则,可得,所以,即,可得,所以,当时,.故选:C.

5.(2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测)已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为,直线与椭圆C交于A,B两点,且线段的中点为,则椭圆C的方程是(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】设,,则,,两式作差并化简整理得,因为线段AB的中点为,所以,,所以,由,得,又因为,解得,,所以椭圆C的方程为.故选:A.6.(2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测)已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合,且抛物线的准线截椭圆的弦长为3,则椭圆的标准方程为(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的焦点为,准线为,设椭圆的方程为,椭圆中,,当时,,故又,所以,故椭圆方程为,故选:B7.(2023·重庆万州·统考模拟预测)已知椭圆E:的焦距为4,平行四边形ABCD内接于椭圆E,且直线AB与AD的斜率之积为,则椭圆E的方程为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】设,由对称性可得,则,所以两式相减可得,因为直线AB与AD的斜率之积为,所以,即,所以,设椭圆的半焦距为,因为椭圆的焦距为4,所以,所以,又,所以,所以椭圆的标准方程为,故选:A.

8.(2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测)已知集合,则集合的真子集的个数为(

)A.3 B.7 C.15 D.31【答案】A【解析】方法一:联立,解得或,,集合的真子集的个数为.方法二:在同一直角坐标系中画出函数以及的图象,由图象可知两图形有2个交点,所以的元素个数为2,进而真子集的个数为.

故选:A.9.(2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测)设分别是双曲线的左、右焦点,为坐标原点,过左焦点作直线与圆切于点,与双曲线右支交于点,且满足,,则双曲线的方程为(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】∵为圆上的点,,,∴是的中点,又是的中点,,且,又,,是圆的切线,,又,,,∴双曲线方程为.

故选:D10.(2023·天津南开·统考二模)已知拋物线的准线过双曲线的左焦点,点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点,若到抛物线焦点的距离为5,则双曲线的方程为(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知,拋物线的准线方程为,所以双曲线的左焦点坐标为,所以双曲线的.又因为点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点,若到抛物线焦点的距离为5,所以,所以,代入抛物线方程即可得.因为在双曲线的渐近线方程上,所以,又因为双曲线中,,所以,所以双曲线的方程为:.故选:D11.(2023·全国·校联考三模)若双曲线与双曲线有相同的焦距,且过点,则双曲线的标准方程为(

)A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】因为和有相同的焦距,又双曲线的焦距为,所以双曲线的焦距,又过点,当的焦点在x轴上,设双曲线的方程为,若将点代入,得①,又②,联立①②两式得,,所以双曲线的标准方程为.当的焦点在y轴上,设双曲线的方程为,将点代入,得③,又④,联立③④两式得,,所以双曲线的标准方程为,综上所述,双曲线的标准方程为或.故选:C.12.(2023·全国·统考高考真题)已知实数满足,则的最大值是(

)A. B.4 C. D.7【答案】C【解析】法一:令,则,代入原式化简得,因为存在实数,则,即,化简得,解得,故的最大值是,法二:,整理得,令,,其中,则,,所以,则,即时,取得最大值,法三:由可得,设,则圆心到直线的距离,解得故选:C.13.(2023·全国·统考高考真题)设O为坐标原点,为椭圆的两个焦点,点P在C上,,则(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一:设,所以,由,解得:,由椭圆方程可知,,所以,,解得:,即,因此.故选:B.方法二:因为①,,即②,联立①②,解得:,而,所以,即.故选:B.方法三:因为①,,即②,联立①②,解得:,由中线定理可知,,易知,解得:.故选:B.14.(2023·全国·统考高考真题)设A,B为双曲线上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】设,则的中点,可得,因为在双曲线上,则,两式相减得,所以.对于选项A:可得,则,联立方程,消去y得,此时,所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;对于选项B:可得,则,联立方程,消去y得,此时,所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误;对于选项C:可得,则由双曲线方程可得,则为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;对于选项D:,则,联立方程,消去y得,此时,故直线AB与双曲线有交两个交点,故D正确;故选:D.15.(2023·天津·统考高考真题)双曲线的左、右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线,垂足为.已知,直线的斜率为,则双曲线的方程为(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】如图,

因为,不妨设渐近线方程为,即,所以,所以.设,则,所以,所以.因为,所以,所以,所以,所以,因为,所以,所以,解得,所以双曲线的方程为故选:D16.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知点是直线:和:的交点,点是圆:上的动点,则的最大值是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线:,即,令,解得,可知直线过定点,同理可知:直线过定点,又因为,可知,所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点,半径的圆,因为圆的圆心,半径,所以的最大值是.故选:B.17.(2023·湖南永州·统考一模)已知椭圆的左、右焦点分别是,点是椭圆上位于第一象限的一点,且与轴平行,直线与的另一个交点为,若,则的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由令,得,由于与轴平行,且在第一象限,所以.由于,所以,即,将点坐标代入椭圆的方程得,,,所以离心率.故选:B

18.(2023·浙江·模拟预测)费马原理是几何光学中的重要原理,可以推导出圆锥曲线的一些光学性质,如:点为椭圆(为焦点)上一点,则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点,是点处的切线,过左焦点作的垂线,垂足为,则为(

)A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】依题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,代入得,整理得,由于直线和椭圆相切,则,整理得,所以直线的方程为,对于椭圆,,所以,所以直线的方程为,由解得,所以.故选:A

19.(2023·浙江·模拟预测)已知椭圆的左右焦点分别是,过的直线交椭圆于两点,若(为坐标原点),,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示:

设,因为,所以.又因为,所以,即.因为,所以.因为,所以.在中,,解得,即,所以,即.所以,.故选:B二、多选题20.(2022·全国·统考高考真题)已知O为坐标原点,过抛物线焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点,若,则(

)A.直线的斜率为 B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A,易得,由可得点在的垂直平分线上,则点横坐标为,代入抛物线可得,则,则直线的斜率为,A正确;对于B,由斜率为可得直线的方程为,联立抛物线方程得,设,则,则,代入抛物线得,解得,则,则,B错误;对于C,由抛物线定义知:,C正确;对于D,,则为钝角,又,则为钝角,又,则,D正确.故选:ACD.21.(2022·全国·统考高考真题)已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则(

)A.C的准线为 B.直线AB与C相切C. D.【答案】BCD【解析】将点的代入抛物线方程得,所以抛物线方程为,故准线方程为,A错误;,所以直线的方程为,联立,可得,解得,故B正确;设过的直线为,若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,所以,直线的斜率存在,设其方程为,,联立,得,所以,所以或,,又,,所以,故C正确;因为,,所以,而,故D正确.故选:BCD22.(2023·河北保定·统考二模)已知直线,圆的圆心坐标为,则下列说法正确的是(

)A.直线恒过点B.C.直线被圆截得的最短弦长为D.当时,圆上存在无数对点关于直线对称【答案】ABD【解析】直线,恒过点,所以A正确;圆的圆心坐标为,,,所以B正确;圆的圆心坐标为,圆的半径为2.直线,恒过点,圆的圆心到定点的距离为:,直线被圆截得的最短弦长为,所以C不正确;当时,直线方程为:,经过圆的圆心,所以圆上存在无数对点关于直线对称,所以D正确.故选:ABD.23.(2023·广西柳州·统考模拟预测)已知双曲线的上焦点为,过焦点作的一条渐近线的垂线,垂足为,并与另一条渐近线交于点,若,则的离心率可能为(

)A. B. C. D.【答案】AC【解析】当时,两渐近线的斜率为,此时直线与另一渐近线平行,不满足题意.当时,如图1所示,

.,又,解得,,,,即渐近线的斜率为,当时,如图2所示,设与轴交于点P,

,,又,解得,即渐近线的斜率为,综上,双曲线的离心率为或.故选:AC.24.(2023·辽宁锦州·校考一模)设双曲线的右焦点为,若直线与的右支交于两点,且为的重心,则(

)A.的离心率的取值范围为B.的离心率的取值范围为C.直线斜率的取值范围为D.直线斜率的取值范围为【答案】AC【解析】为的中点,根据重心性质可得,因为,则,因为直线与的右支交于两点,所以点在双曲线右支内部,故有,解得,当直线斜率不存在时,的中点在轴上,故三点不共线,不符合题意舍,设直线斜率为,设,所以,,因为在双曲线上,所以,两式相减可得:,即,即有成立,即有,因为不共线,即,即,即,所以的离心率的取值范围为,因为,因为,即,所以,所以.故选:AC25(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)设,为椭圆:的两个焦点,为上一点且在第一象限,为的内心,且内切圆半径为1,则(

)A. B. C. D.【答案】ABD【解析】如下图所示,设切点为,,,对于A,由椭圆的方程知:,由椭圆的定义可得:,易知,所以,所以,故A正确;对于BCD,,又因为,解得:,又因为为上一点且在第一象限,所以,解得:,故B正确;从而,所以,所以,而,所以,故C错误;从而,故D正确.故选:ABD.

26.(2023·重庆·统考模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为,过点作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,若为直角三角形,则(

)A.B.双曲线的离心率C.双曲线的焦距为D.的面积为【答案】BD【解析】如图所示:

若为直角三角形,由双曲线的对称性可知:,且.设,则由双曲线的定义得:,.所以在直角三角形中,由勾股定理得:.解得:,所以,所以的面积为:.故D正确;,所以,故C不正确;由可知,,,所以,故A不正确;,故B正确.故选:BD.三、填空题27.(2023·全国·统考高考真题)已知点在抛物线C:上,则A到C的准线的距离为.【答案】【解析】由题意可得:,则,抛物线的方程为,准线方程为,点到的准线的距离为.故答案为:.28.(2023·天津·统考高考真题)过原点的一条直线与圆相切,交曲线于点,若,则的值为.【答案】【解析】易知圆和曲线关于轴对称,不妨设切线方程为,,所以,解得:,由解得:或,所以,解得:.当时,同理可得.故答案为:.29.(2023·全国·统考高考真题)已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上,点在轴上,,则的离心率为.【答案】/【解析】方法一:依题意,设,则,在中,,则,故或(舍去),所以,,则,故,所以在中,,整理得,故.方法二:依题意,得,令,因为,所以,则,又,所以,则,又点在上,则,整理得,则,所以,即,整理得,则,解得或,又,所以或(舍去),故.故答案为:.30.(2023·全国·统考高考真题)已知直线与交于A,B两点,写出满足“面积为”的m的一个值.【答案】(中任意一个皆可以)【解析】设点到直线的距离为,由弦长公式得,所以,解得:或,由,所以或,解得:或.故答案为:(中任意一个皆可以).31.(2022·浙江·统考高考真题)已知双曲线的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点,交双曲线的渐近线于点且.若,则双曲线的离心率是.【答案】【解析】过且斜率为的直线,渐近线,联立,得,由,得而点在双曲线上,于是,解得:,所以离心率.故答案为:.32.(2022·全国·统考高考真题)已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为.【答案】【解析】[方法一]:弦中点问题:点差法令的中点为,设,,利用点差法得到,设直线,,,求出、的坐标,再根据求出、,即可得解;解:令的中点为,因为,所以,设,,则,,所以,即所以,即,设直线,,,令得,令得,即,,所以,即,解得或(舍去),又,即,解得或(舍去),所以直线,即;故答案为:[方法二]:直线与圆锥曲线相交的常规方法解:由题意知,点既为线段的中点又是线段MN的中点,设,,设直线,,,则,,,因为,所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中,∴AB中点E的横坐标,又,∴∵,,∴,又,解得m=2所以直线,即33.(2022·全国·统考高考真题)设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是.【答案】【解析】关于对称的点的坐标为,在直线上,所以所在直线即为直线,所以直线为,即;圆,圆心,半径,依题意圆心到直线的距离,即,解得,即;故答案为:34.(2022·全国·统考高考真题)记双曲线的离心率为e,写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值.【答案】2(满足皆可)【解析】,所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点,只需,即,可满足条件“直线与C无公共点”所以,又因为,所以,故答案为:2(满足皆可)35.(2022·全国·统考高考真题)若双曲线的渐近线与圆相切,则.【答案】【解析】双曲线的渐近线为,即,不妨取,圆,即,所以圆心为,半径,依题意圆心到渐近线的距离,解得或(舍去).故答案为:.36.(2022·北京·统考高考真题)已知双曲线的渐近线方程为,则.【答案】【解析】对于双曲线,所以,即双曲线的标准方程为,则,,又双曲线的渐近线方程为,所以,即,解得;故答案为:37.(2022·全国·统考高考真题)写出与圆和都相切的一条直线的方程.【答案】或或【解析】[方法一]:显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为,于是,故①,于是或,再结合①解得或或,所以直线方程有三条,分别为,,填一条即可[方法二]:设圆的圆心,半径为,圆的圆心,半径,则,因此两圆外切,由图像可知,共有三条直线符合条件,显然符合题意;又由方程和相减可得方程,即为过两圆公共切点的切线方程,又易知两圆圆心所在直线OC的方程为,直线OC与直线的交点为,设过该点的直线为,则,解得,从而该切线的方程为填一条即可[方法三]:圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,如图,当切线为l时,因为,所以,设方程为O到l的距离,解得,所以l的方程为,当切线为m时,设直线方程为,其中,,由题意,解得,当切线为n时,易知切线方程为,故答案为:或或.38.(2023·陕西汉中·校联考模拟预测)设为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,若,则.【答案】2【解析】因椭圆方程为,则.因,则.又由椭圆定义,可得,则.故答案为:2

39.(2023·河南·校联考模拟预测)写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.【答案】(或或,写出一个即可)【解析】由题意得,圆,可得圆心,半径为,圆,可得圆心,半径为,因为,可得,所以圆与圆相外切,将两圆的方程相减,可得,此方程为圆与圆的公切线,又由圆与圆的半径相等,故外公切线与直线平行,因为,所以圆C与圆D的外公切线

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