专题14 圆锥曲线（选填题8种考法）（解析版）

专题14圆锥曲线（选填题8种考法）考法一曲线的定义及应用【例1-1】（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D.【例1-2】．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（

）A．的周长为6 B．的面积为C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为【答案】D【解析】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，∴，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.

【变式】1．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由椭圆，得，，.

设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.2．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.3．（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是．【答案】34【解析】因为，所以，故，则，又，故，则，，所以的周长为.故答案为：34.4．（2023·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，的面积为8，则到双曲线的渐近线的距离为.【答案】2【解析】由题意及双曲线的定义知，则，由余弦定理可得，所以，因为，所以，，因为的面积为8，所以，所以，所以，因为点到该双曲线渐近线的距离为，所以点到该双曲线渐近线的距离为2.故答案为：2.考法二曲线的标准方程【例2-1】（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.【例2-3】（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．【答案】或或或．【解析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，连接，设准线与轴交点为

抛物线的焦点为，准线：又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，所以，所以在中，，则，所以抛物线的方程为.故选：C.【变式】1．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意可设的标准方程为，因为的焦点到准线的距离为3，所以，所以的标准方程为.故选：A2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，故抛物线的准线方程为，即抛物线焦点为，渐近线方程过，则，双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是，则左顶点为，即.故双曲线方程为.故选：B.3（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，得，，，则直线的方程为，所以点A到直线的距离①．由的周长为16，得，即a+c=8②，联立①②，解得③．因为，所以④．联立②④，解得a=6，c=2，所以，故椭圆E的标准方程为是.故选：B．4．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．【答案】【解析】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为：5．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．【答案】【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：考法三离心率【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，在中，由余弦定理得，化简得，则，所以，故选：C.【例3-2】．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线：的渐近线方程为.设，联立方程组，解得.因为，所以，即，可得.又因为点在双曲线上，所以，将代入，可得，由，所以，所以，即，化简得，则，所以双曲线的离心率为.故选：B.

【变式】1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可作图如下：

由图可知：，由平分，则，所以，由，则解得，由是关于直线的对称点，则共线，，，，所以，在中，，可得，解得，，在中，由余弦定理，可得，代入可得：，化简可得：，所以其离心率.故选：C.2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设椭圆左焦点为，连接，，，设，，结合椭圆对称性得，由椭圆定义得，，则.因为，，则四边形为平行四边形，则，而，故，则，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故选：A

3．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，

又因为，所以，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即：，所以，即.故选：D.4（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程表示椭圆，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.考法四折线段距离最值【例4-1】．（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【解析】依题意，设椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为，，当三点共线，且在之间时等号成立.而，所以，当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.故选：D

【例4-2】（2023秋·北京）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以要求的最小值，只需求的最小值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，最小，最小值为.故的最小值为.

故选：C【例4-3】（2023·湖南）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．6 D．12【答案】B【解析】设，则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，将圆的方程代入双曲线方程得，即，判别式，解得，当时，，且，∴等号能成立．∴．故选：B【变式】1．（2023秋·黑龙江大庆）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【解析】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知，

显然点在椭圆内，，直线交椭圆于，而，即，当且仅当点共线时取等号，当点与重合时，，则，当点与重合时，，则，所以的最大值和最小值为12，8.故选：C2．（2023·宁夏中卫·统考一模）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（

）A．－8 B．8 C．10 D．－10【答案】A【解析】设双曲线的实半轴长为，则，所以，因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，所以，故选：A3．（2023·广西）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由双曲线，则，即，且，由题意，，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点A在准线上的射影为D，如图，

则根据抛物线的定义可知，求的最小值，即求的最小值，显然当D，B，A三点共线时最小，此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.故选：B.5．（2023春·河南周口）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由抛物线可知其焦点为，准线方程为记抛物线的焦点为，

所以，当且仅当点在线段上时等号成立，所以的最小值为3．故选：A．考法五直线与曲线的位置关系【例5-1】．（2023·全国·高三专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【解析】将直线l：变形为l：，由得，于是直线l过定点，而，于是点在椭圆C：内部，因此直线l：与椭圆C：相交．故选：A．

【例5-2】（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围．【答案】【解析】联立双曲线、直线方程，消去整理得，由题意，设方程的两根为，则，解得．故答案为：

【变式】1．（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围．【答案】或【解析】依题意，联立方程，消去，得，设直线与双曲线的右支的两个交点为，，

则，解得或，所以或.故答案为：或.2．（2024·全国·高三专题练习）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数．【答案】或【解析】由消去y，整理得，当时，由得；又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立．故答案为：或

3．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为.【答案】【解析】解法一：设切线方程为．由⇒⇒，由，得，∴.故切线方程为，即.故答案为：.解法二：由得，∴.∴.∴切线方程为，即.故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围．【答案】，【解析】令，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．由直线和圆相切的充要条件可知，即，故得，即，解得．考法六弦长【例6-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D【例6-2】．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B【变式】1．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为【答案】6【解析】是抛物线的焦点，准线方程，设，线段的中点横坐标为2,.，线段的长为6.故答案为：6.2．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则．【答案】【解析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.故答案为：.3（2023·广西钦州）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（

）A．±1 B．±C． D．±【答案】A【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．设，则，．由题意，得，解得．故选:A考法七中点弦【例7-1】．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，直线的斜率为，设，则，且，由两式相减得：，于是，解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，所以椭圆的离心率.故选：A【例7-2】．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，由已知有，，作差得，则，所以，解得，则的方程为.故选：D．【例7-3】．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，的中点为，因为都在椭圆上，所以，作差可得，即，所以，即，因为，所以，又因为为△BMN的重心，所以，所以，则，所以，整理得，即，所以，则，所以离心率.故选:A.【变式】1．（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设,由均在上，为的中点，得，则，∴，∴，设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.∴，∴，解得，∴由对称性知直线的斜率为.故选：D2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，，则，两式作差，并化简得，，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.故选：B.3．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设点、，则，若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，由已知，两式作差可得，所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：A.4．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为.【答案】/【解析】如图，取的中点，连接，则，所以，设直线的倾斜角为，则，所以，所以直线的斜率为.设，则.由，得到.，所以，所以，则.故答案为：5．（2023·四川内江·统考模拟预测）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为.【答案】【解析】依题意，双曲线上两点，，，，若点A、B关于直线对称，则设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：，则，且，解得，且又，设的中点是，，所以，．因为的中点在直线上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，实数的取值范围为：故答案为：.考法八综合运用【例8-1】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形【答案】AC【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

【例8-2】（2023·湖南·模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是（

）A．双曲线E的标准方程为B．双曲线E的渐近线方程为C．点P到两条渐近线的距离之积为D．若直线与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则【答案】ACD【解析】根据双曲线的定义得，，故，由，得，所以，所以双曲线E的标准方程为，渐近线方程为，即，所以A正确，B不正确；设，则点P到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；设，，因为P，M在双曲线E上，所①，②，①－②并整理得，，即，所以，所以D正确．故选：ACD．【变式】1（2023·云南·校联考模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】

由圆的方程知，，又，在直角△中，，且.在△中，则，故.在△中，，由正弦定理，，则，∴由双曲线定义，，又，，则，∴，即.∵为直角，易知为钝角，由知，，在△中，由余弦定理，，∴，∴，整理得，∴.又，将代入，解得.∴双曲线C的方程：.故选：A2．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因此，而，所以.故选：A2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.3．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.4．（2023·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，连接，则，可得，所以，即，可得，所以，当时，.故选：C.

5．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，，则，，两式作差并化简整理得，因为线段AB的中点为，所以，，所以，由，得，又因为，解得，，所以椭圆C的方程为．故选：A．6．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为，设椭圆的方程为，椭圆中，，当时，，故又，所以，故椭圆方程为，故选：B7．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，由对称性可得，则，所以两式相减可得，因为直线AB与AD的斜率之积为，所以，即，所以，设椭圆的半焦距为，因为椭圆的焦距为4，所以，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选：A.

8．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（

）A．3 B．7 C．15 D．31【答案】A【解析】方法一：联立，解得或，,集合的真子集的个数为.方法二：在同一直角坐标系中画出函数以及的图象，由图象可知两图形有2个交点，所以的元素个数为2，进而真子集的个数为.

故选：A.9．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵为圆上的点，，，∴是的中点，又是的中点，，且，又，，是圆的切线，，又，，，∴双曲线方程为．

故选：D10．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知，拋物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点坐标为，所以双曲线的.又因为点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，所以，所以，代入抛物线方程即可得.因为在双曲线的渐近线方程上，所以，又因为双曲线中，，所以，所以双曲线的方程为：.故选：D11．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，若将点代入，得①，又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，综上所述，双曲线的标准方程为或.故选：C.12．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【解析】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.13．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．14．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.15．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D16．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线：，即，令，解得，可知直线过定点，同理可知：直线过定点，又因为，可知，所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，因为圆的圆心，半径，所以的最大值是.故选：B.17．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由令，得，由于与轴平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，将点坐标代入椭圆的方程得，，，所以离心率.故选：B

18．（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入得，整理得，由于直线和椭圆相切，则，整理得，所以直线的方程为，对于椭圆，，所以，所以直线的方程为，由解得，所以.故选：A

19．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：

设，因为，所以.又因为，所以，即.因为，所以.因为，所以.在中，，解得，即，所以，即.所以，.故选：B二、多选题20．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.21．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．【答案】BCD【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD22．（2023·河北保定·统考二模）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过点B．C．直线被圆截得的最短弦长为D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称【答案】ABD【解析】直线，恒过点，所以A正确；圆的圆心坐标为，，，所以B正确；圆的圆心坐标为，圆的半径为2．直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．故选：ABD．23．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】当时，两渐近线的斜率为，此时直线与另一渐近线平行，不满足题意.当时，如图1所示，

.，又，解得，，，，即渐近线的斜率为，当时，如图2所示，设与轴交于点P，

，，又，解得，即渐近线的斜率为，综上，双曲线的离心率为或.故选：AC.24．（2023·辽宁锦州·校考一模）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（

）A．的离心率的取值范围为B．的离心率的取值范围为C．直线斜率的取值范围为D．直线斜率的取值范围为【答案】AC【解析】为的中点，根据重心性质可得，因为，则，因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，故有，解得，当直线斜率不存在时，的中点在轴上，故三点不共线，不符合题意舍，设直线斜率为，设，所以，，因为在双曲线上，所以，两式相减可得：，即，即有成立，即有，因为不共线，即，即，即，所以的离心率的取值范围为，因为，因为，即，所以，所以.故选：AC25（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】如下图所示，设切点为，，，对于A，由椭圆的方程知：，由椭圆的定义可得：，易知，所以，所以，故A正确；对于BCD，，又因为，解得：，又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；从而，所以，所以，而，所以，故C错误；从而，故D正确.故选:ABD．

26．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（

）A．B．双曲线的离心率C．双曲线的焦距为D．的面积为【答案】BD【解析】如图所示：

若为直角三角形，由双曲线的对称性可知：，且.设，则由双曲线的定义得：，.所以在直角三角形中，由勾股定理得：.解得：，所以，所以的面积为：.故D正确；，所以，故C不正确；由可知，，，所以，故A不正确；，故B正确.故选：BD.三、填空题27．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.【答案】【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.28．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．【答案】【解析】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：．29．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．【答案】/【解析】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.30．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．【答案】（中任意一个皆可以）【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．31．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是．【答案】【解析】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．32．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．【答案】【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即33．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．【答案】【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：34．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．【答案】2（满足皆可）【解析】，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）35．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．【答案】【解析】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．36．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则．【答案】【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：37．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．【答案】或或【解析】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.38．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则.【答案】2【解析】因椭圆方程为，则.因，则.又由椭圆定义，可得，则.故答案为：2

39．（2023·河南·校联考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.【答案】（或或，写出一个即可）【解析】由题意得，圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，因为，可得，所以圆与圆相外切，将两圆的方程相减，可得，此方程为圆与圆的公切线，又由圆与圆的半径相等，故外公切线与直线平行，因为，所以圆C与圆D的外公切线