专题01 解三角形（解答题10种考法）（精练）（解析版）

专题01解三角形（解答题10种考法）1．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．

(1)求；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设，因为的面积为，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，所以．在中，，所以，所以；（2）由（1）可得，在中，由正弦定理得，所以，且．由（1）可得，又，所以．2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2).【解析】（1）依题意，，由正弦定理得，，而，故．（2）由余弦定理得，，得，故．3．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知梯形中，.(1)若，求的值；(2)若，设的面积为，求的最大值.【答案】(1)(2).【解析】（1）解：如图所示：

根据题意：，，由余弦定理可得：，，又，在中，利用正弦定理可得：，所以.（2）设，，，在中，由余弦定理可得：，，当时，取最大值，且为.4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且．(1)求A及a的值；(2)若，求线段AP长度的取值范围．【答案】(1)，(2)【解析】（1）因为，由正弦定理可得，则，即，由余弦定理可得，且，则，又因为外接圆的半径，所以．（2）设，，因为，即点P为BC边的中点，则，两边同时平方得，即，由（1）可知：，即，可得，即，又因为外接圆的半径，由正弦定理得，，即，则．因为为锐角三角形，则，，即，，可得，则，可得，则，即，所以线段AP长度的取值范围为．5．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】(1)(2)或.【解析】（1）由题知，，所以；（2）由题知，，，，且，所以，而，则，故，由正弦定理可知，整理得，解得，故，或.6．（2021·江苏南通·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）若选①：，则，∴∴∵，，∴，∵，∴.若选②：，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴．若选③：，则，由正弦定理得，∴∴，∴，∵，∴．（2）由正弦定理得，，则，，∵，，，∴.7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）在平面四边形中，，，.(1)若，，求的值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，，，在中，由余弦定理得，所以，由得.由正弦定理得,所以,所以,所以.（2）在中，由得

①，又

②，且，所以,在中，将①，②代入上式得.且，所以，当时，有最小值3.所以取最小值.综上，的最小值为.8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．(1)若边上的高等于1，求；(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理，，所以，则，又，所以，因为，所以，解得，又由余弦定理，，解得，所以．（2）由正弦定理有，且由（1）可知，所以，又因为锐角，所以，解得，所以，所以，所以，所以面积的取值范围是．9．（2023·海南·统考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．(1)求边长和角；(2)求的面积的最大值，并判断此时的形状．【答案】(1)，(2)，等边三角形【解析】（1）解：，由正弦定理得．可得．由，得，得，得或，故或0（舍去）．（2）由余弦定理可知，，由（1）可得，则，当且仅当时等号成立，即面积的最大值为，此时为等边三角形．10．（2023·河北唐山·模拟预测）在中，为边上一点，且平分．(1)若，求与；(2)若，设，求．【答案】(1)，(2)【解析】（1）如下图所示：

因为平分，所以，又因为在上，所以，因此，又，所以．在中，，可得．在中，由余弦定理可得，故．（2）如下图所示：

因为平分，，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，展开并整理得，解得．11．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知向量，，设，且的图象关于点对称.(1)若，求的值；(2)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）若的图象关于点对称，则，，.，.若，则，同理可得.；（2）若函数的图象与的图象关于直线对称，则.因为，所以，而在上的值域为，则，即，因为，所以，，故的取值范围为12．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形中，与互补，．

(1)求；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）连接，如图，

与互补，与互补，在中，，即，得，在中，，即，得，又与互补，，故；（2）由（1）得，，由（1）得，，．13．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在中，，，.

(1)求的值；(2)过点A作，D在边BC上，记与的面积分别为，，求的值.【答案】(1)(2)2【解析】（1）在中，由余弦定理可得，则，故.由正弦定理可得，则（2）因为，所以，因为，所以.因为，所以，所以，则.设点A到直线BC的距离为d，因为，，所以.14．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）若选条件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若选条件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（当且仅当时取等号），的最大值为.15．（2023·河南·校联考二模）记的内角所对的边分别为，，，已知，且，，依次成等比数列.(1)求；(2)若，求的周长.【答案】(1);(2).【解析】（1）由条件及正弦定理得，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以.（2）因为，且，，依次成等比数列，所以.由余弦定理得，得，所以，所以的周长为.16．（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)，(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得，又，则，于是，∵为角平分线，∴，∴，∴，在中，根据余弦定理得，∴．（2）设，．在中，由余弦定理得，即有，即，∴，当且仅当时，“＝”成立．∴周长的最大值为．17．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知函数的周期为，且图像经过点．(1)求函数的单调增区间；(2)在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求的值．【答案】(1)，(2)【解析】（1）由题意知，，则，又，则，，所以，，又，所以，则，由三角函数的性质可得：，．解得：，，∴的单调递增区间为，．（2）由得，，即，结合正弦定理得，，即，又，所以，即，又，所以，则，所以，由余弦定理有，．18．（2023·河南·模拟预测）设中，、、所对的边分别为、、，且有.(1)若，证明：；(2)若，比较和的大小关系，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析【解析】（1）证明：因为，要证，即证，即证，因为，则，解得，则，所以，，故原不等式得证.（2）解：因为，设外接圆半径为，则，因为，则，又因为，又因为，即，所以，所以.19．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）的内角的对边分别为，已知，且的面积.(1)求C；(2)若内一点满足，，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：根据题意知，由余弦定理得，又因为，所以，即，因为，所以，又由正弦定理且，所以，又因为，所以.（2）解：由（1）知，，所以，可得，所以，设，因为，所以，因为，所以，在中，，所以，在中，，所以，即，所以，即，即，因为，所以.

20．（2020·全国·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，所以，可得：，即，由余弦定理可得：，又，所以.（2）由，因为，所以，又，所以，所以，得，所以，所以，所以.的取值范围为.21．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在中，，，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，.(1)求AC；(2)若点P为AM与BN的交点，求的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，，，由余弦定理得，在中，，，，由余弦定理得，所以，即，解得；（2）由（1）知，又，所以，所以，又M点为BC的中点，所以，因为，所以，所以，又，且，所以.22．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）设的内角所对边分别为，若.(1)求证：成等差数列；(2)若为整数，，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求周长的最小值.【答案】(1)证明见详解(2)15【解析】（1）因为，整理得，即，由正弦定理可得：，即成等差数列.（2）由题意可得：，则，不妨设，因为，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，即，整理得，所以，可得周长，可知当时，周长的取到最小值15.23．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)若，求证：△ABC是等边三角形；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：∵，∴由正弦定理，得，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴．由，得，∴，∴△ABC为等边三角形．（2）由（1）知，∴．由△ABC为锐角三角形，可得，解得，∴．由正弦定理，得，由，可得，∴，即，∴的取值范围为.24．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）由知，，为正三角形，，∵.∴，，.（2）设（），则，由正弦定理：，即，则，中，，即，则，，所以.25．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在中，内角的对边长分别为，.(1)若，求面积的最大值；(2)若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由，因为，可得，又由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，可得，所以，在中，由余弦定理得，即，当且仅当时取等号，所以，所以面积取得最大值.（2）解：设，则，在中，由余弦定理得，由（1）知，且，所以为正三角形，所以，可得，因为，故，所以，可得.26．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在中，角的对边分别是，从下列条件中任选一个补充到题中解决题.条件：①：;②：;③：.(1)求的值;(2)，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）选①：由得，解得：或，，，所以.选②：由得，又，代入整理得，又在中，所以，又，，故.选③：由得，，即，，所以.（2）由题意，所以，由（1）可知，所以.于是有故.27．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）已知平面向量，，记，(1)对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1），，则，故，，恒成立，故，，当，时，有最大值为.（2），即，，，故，，，，成等比数列，则，.28．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.(1)求函数的单调递增区间；(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，(2)【解析】（1）因为，，则，，故，因为最小正周期为，所以，所以，故，由，，解得，，所以的单调递增区间为，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又为锐角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，则，所以.29．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．(1)证明：；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明见详解(2)【解析】（1）由及得,.由正弦定理得,又,,,,都是锐角,则,（2）令，由（1）得.在锐角三角形中,，即，,令,根据对勾函数的性质知在上单调递增，,即的取值范围是.30．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.(1)若，的面积为2，求的周长；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为a，b，c成等比数列，则，又，，所以，所以的面积为，故，则，由余弦定理，即，则，所以，故的周长为.（2）设a，b，c的公比为q，则，，而，因此，只需求的取值范围即可.因a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必需且只需且.故有不等式组，即，解得，从而，因此所求范围为.31．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设函数，，．(1)求函数的单调递增区间；(2)已知凸四边形中，，，，求凸四边形面积的最大值．【答案】(1)，(2)【解析】（1）由题意知，得．因为，所以，所以，所以，∴，令，解得，所以的单调递增区间为，．（2）由，可得，而，故，故，故，设，，而四边形的面积，则，其中，，且，而故，故当时，.32．（2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.(1)若,,求的面积;(2)若,求边的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为,所以,得:,解得,所以.（2）设,,由得,即,所以,又在中,所以,得,因为且,得,则,所以,即边的取值范围为.33．（2023·全国·校联考模拟预测）在中，对应的边分别为，且．且(1)求；(2)若，上有一动点（异于B、C），将沿AP折起使BP与CP夹角为，求与平面所成角正弦值的范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）方法一：由，结合二倍角公式可得，，即.若，则，于是，根据正弦函数在上递增可得，，类似的有，于是，这与矛盾；若，则，于是，根据正弦函数在上递增可得，，类似的有，于是，这与矛盾；若，即，此时确实成立.综上所述，.方法二：将代入可得，再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得所以，即，再由和差化积公式可得：，所以不妨设，则，所以，即，又，所以，可得，所以.（2）由题意，折叠后的几何体如下，设，则在中，若，由余弦定理得，.下以为原点，分别为轴，过垂直于平面的直线为轴.设，则，，由①②③，由①②解得：，由①③解得：，根据线面角的定义，（不妨取是正数），则与平面所成角正弦值为.记，则，注意到，于是，又，而，故，故，根据多项式除法，约去因式，得到，即，根据求根公式可得，的正实根为，故在上递增，在上递减，经计算得到，故在上的值域为，注意到，故，于是，故，即，于是直线与平面所成角正弦值的范围是.在中，若，同理可得，直线与平面所成角正弦值的范围是.方法二：作底面，垂足为，连接，设到平面的距离为，到平面的距离为，，由题意知.先说明和平面不可能垂直，否则由平面可得，由，可得，这与矛盾，于是是平面的斜线，即.由可得，，即.设，根据线面角的定义，即为与平面所成角.于是，即.34．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，(1)求角B的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）若选①因为，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因为，所以.若选②由，化简得.由正弦定理得：，即，所以.因为，所以.若选③由正弦定理得，即，因为，所以，所以，所以，又因为，所以.（2）在中，由正弦定理，得，由（1）知：，又с=1代入上式得：因为为锐角三角形，所以，解得，所以，，所以.35．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为.已知.(1)求；(2)证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）由，得，由题意可知，存在，所以，即，所以，所以.（2）由，得，故，令，则，，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以，进而，，可得，所以.而，故.所以.36．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵，∴，∴，又∵，∴，即，又∵，∴，又∵，∴，又，即，∴，又∵，∴.（2）由（1）知，①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立；②当时，因为，所以，所以．由，得．所以，故．因为，所以，，令，则，所以在上单调递增，所以，所以的取值范围为．37．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.(1)求的取