2021年四川省成都市私立名校（高中）自主招生数学试卷

2021年四川省成都市私立名校(高中)自主招生数学试卷一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.(3分)三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sina的值是()B2.(3分)下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A.x²+9=0B.4x²-4x+1=0C.x²+x+1=0D.x²+3.(3分)一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()4.(3分)下列命题中的假命题是()A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.一组邻边相等的矩形是正方形C.一个角是直角的四边形是矩形D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形5.(3分)下列函数：①xy=1,③y=kx^¹(k≠0),④y=3-x,其中，y是x的反比例函数的有()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④6.(3分)如图，OO的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF等于()A.80°B.50°C.40°7.(3分)下列语句中，正确的有()个.(1)三点确定一个圆(2)平分弦的直径垂直于弦(3)相等的弦所对的弧相等(4)相等的圆心角所对的弧相等.8.(3分)对于反比例函数下列说法不正确的是()A.点(-3,1)在它的图象上B.它的图象在其次、四象限9.(3分)如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数的图象，则关于方君的解A.x1=1,x2=2B.x₁=-2,x2=-1C.xi=1,x2=-2C.线段AB的长为3二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11.(4分)在Rt△ABC中，∠C=90°,12.(4分)小虹在距离路灯9米的地方，发觉自己在地面上的影长是3米，假如小虹的身13.(4分)如图，△ABC内接于QO,∠BAC=120°,AB=AC,BD14.(4分)如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为表示).三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15.(12分)(1)解方程：2x²-5x-1=0;16.(6分)广场上有一个布满氢气的气球P,被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别为30°、45°,E点与F点的高度差AB为1米，水平距17.(8分)如图，直线分别交x轴，y轴于点A,C,点P是直线AC与双曲线y在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B,△APB的面积为4.(1)求点P的坐标；(2)求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点Q的坐标.18.(8分)有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1,2,3,4(如图所示),另有一个不透亮     的口袋装有分别标有数0,1,3的三个小球(除数不同外，其余都相同),小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉利数，然后计算这两个数的积.(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；(2)小亮与小红做玩耍，规章是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该玩耍公正吗?为什么?假如不公正，请你修改该玩耍规章，使玩耍公正.19.(10分)已知：如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG//DB交CB的延长线于G.(1)求证：△ADE≌△CBF;(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.20.(10分)如图，OO是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°,CD⊥OCED⊥AB于F,(1)推断△DCE的外形；(2)设OO的半径为1,且求证：△DCE≌△OCB.一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)21.(4分)已知22.(4分)如图，A、B、C是OO上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC,过BC上一点P,作PE//AB交BD于点E,PF⊥BD于F,若BE=3,23.(4分)如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线25.(4分)完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2,将其放入一个不透的长.动点，点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动，BP=AQ.点D,E28.(12分)如图，二次函数的图象经过点象在x轴上截得的线段AB的长为6.且顶点C的横坐标为4,该图(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小，求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相像?假如存在，求出点Q的坐标；假如不存在，请说明理由.2021年四川省成都市私立名校(高中)自主招生数学试卷一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.(3分)三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sina的值是()B【分析】依据勾股定理，可得斜边的长，依据正弦函数，可得答案.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正弦函数是对边比斜边是解题关键.2.(3分)下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A.x²+9=0B.4x²-4x+1=0C.x²+x+1=0【分析】逐一分析四个选项根的判别式的符号，由此即可得出结论.【点评】本题考查了根的判别式，依据根的判别式的符号确定方程解的状况是解题的关3.(3分)一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.【解答】解：由于俯视图为三角形.主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱.【点评】考查同学对圆锥三视图把握程度和机敏运用力量，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.4.(3分)下列命题中的假命题是()A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.一组邻边相等的矩形是正方形C.一个角是直角的四边形是矩形D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【分析】依据菱形、正方形、平行四边形的判定来做题即可.D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此命题正确.【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是把握菱形、正方形、平行四边形的有关5.(3分)下列函数：①xy=1,③y=kx^¹(k≠0),④y=3-x,其中，y是x的反比例函数的有()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数反比例函数)做出推断与选择.【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般转化为y=kx(k≠0)的形式.6.(3分)如图，OO的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF等于()A.80°B.50°C.40°【分析】欲求∠DCF,又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解.【解答】解：∵OO的直径CD过弦EF的中点G,(等弧所对的圆周角是圆心角的一半),【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用力量.7.(3分)下列语句中，正确的有()个.(1)三点确定一个圆(2)平分弦的直径垂直于弦(3)相等的弦所对的弧相等(4)相等的圆心角所对的弧相等.【分析】依据确定圆的条件，垂径定理，以及圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理【解答】解：(1)不在同始终线上的三点确定一个圆，故本小题错误；(2)平分弦的直径，当被平分的弦是直径是直径不垂直于弦，故本小题错误；(3)相等的弦不在同圆或等圆中，所对的弧不肯定相等，故本小题错误；(4)相等的圆心角不在同圆或等圆中所对的弧不肯定相等，故本小题错误；综上所述，正确的有0个.【点评】本题考查了确定圆的条件，圆幂性质以及圆周角定理，熟记定理与性质是解题的关键.8.(3分)对于反比例函下列说法不正确的是()A.点(-3,1)在它的图象上【分析】依据反比例函数图象的性质对各选项分析推断后利用排解法求解.∴点(-3,1)在它的图象上，故本选项正确；A.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=-2D.x【解答】解：由图可知，两函数图象的交点坐标为(1,2);(-2,-1);则两横坐标为1和-2,的关键.10.(3分)二次函数y=x²+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是()C.线段AB的长为3【分析】依据解析式y=x²+bx+c可知二次项系数为1,依据图象可知对称轴为x=-1,据此可求出b的值，由二次函数的性质可知，c=-3,从而得到二次函数的解析式，然后依据解析式对A、B、C、D进行推断.其顶点坐标为(-1,-4).由图可知，当x>-1时，y随x的增大而增大；解得xi=1;xz=-3.由图可知当-3<x<1时，y<0.可见，只有A正确，【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，依据图象求出解析式是关键一步，另外，要充分利用图象所供应的条件解答.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)【分析】依据得到∠A=30°,则tanA=tan30°,然后依据即可得到答案.【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=9【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：12.(4分)小虹在距离路灯9米的地方，发觉自己在地面上的影长是3米，假如小虹的身【分析】先依据题意画出图形，利用相像三角形的判定定理得出△ECD∽△EBA,再根据相像三角形的对应边成比例即可求出AB的长.【解答】解：∵AB//CD,而CD=1.6,AD=9,DE=3,【点评】本题考查的是相像三角形的应用，依据题意画出图形，利用相像三角形的对应13.(4分)如图，△ABC内接于OO,∠BAC=【分析】由已知可证∠BDA=30°;依据BD为OO的直径，可证∠BAD=90°,得∠DBC=30°,即∠DBA=60°,所以BC=AD=6.【点评】本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的学问.14.(4分)如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为(用n的代数式表示).四边形AiEFD是正方形，再依据同角的余角相等求出∠BA1D=∠CA₁E,然后利用“角边角”证明△A₁BD和△A₁CE全等，依据全等三角形的面积于正方形面积同理可求全部阴影部分的面积都是正方形的面积的然后依据正方形的面积列式计算即可.【解答】解：如图，过点A1分别作正方形两边的垂线AID与AiE,∵点A1是正方形的中心，∴A1D=A1E,四边形A1EFD是正方形，在△A1BD和△A1CE中，∴△A₁BD的面积=△A1CE的面积，∴阴影部分的面积=正方形AIEFD的面同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作帮助线构造出全等三角形求出阴影部分的面积是正方形的面积的是解题的关键.三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15.(12分)(1)解方程：2x²-5x-1=0;,,代入求出即可.【点评】本题考查了解二元二次方程、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等学问点的应用，主要培育同学的计算力量，题目比较好，但是一道比较简洁出错的题目.16.(6分)广场上有一个布满氢气的气球P,被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别为30°、45°,E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高?(结果保留根号)=5+x+1,然后解方程求出x,最终计算PA+AB+B在Rt△APE中，∵∠AEP=30°,在Rt△BFP中，∵∠BFP=45°,【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.17.(8分)如图，直线分别交x轴，17.(8分)如图，直线在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B,△APB点P是直线AC与双曲线y的面积为4.(1)求点P的坐标；(2)求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点Q的坐标.(2)依据△APB的面积为4.就可以得到k=4,解反比例函数与一次函数解析式组成的方程组，就得到直线与双曲线的交点.1,令x=0,则y=1;令y=0,则x=-2,∴点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(0,1).(1分)∵点P在直线∵点P在直线∴m=2.(3分)∴点P的坐标为(2,2);(4分),,(8分)(8分)得∴直线与双曲线另一交点Q的坐标为(-4,-1).(9分)【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数图象上的点与解析式的关系，图象上的点肯定满足函数解析式.18.(8分)有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1,2,3,4(如图所示),另有一个不透亮     的口袋装有分别标有数0,1,3的三个小球(除数不同外，其余都相同),小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉利数，然后计算这两个数的积.(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；(2)小亮与小红做玩耍，规章是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该玩耍公正吗?为什么?假如不公正，请你修改该玩耍规章，使玩耍公正.【分析】(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析全部等可能的消灭结果，然后依据概率公式求出该大事的概率.(2)推断玩耍的公正性，首先要计算出玩耍双方赢的概率，概率相等则公正，否则不公(1)画树状图如下：幸运数吉利数积123400000112343369由图(表)知，全部等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，所以，积为0的概率(2)不公正.由于由图(表)知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种.所以，积为奇数的概率为玩耍规章可修改为：若这两个数的积为0,则小亮赢；积为奇数，则小红赢.【点评】本题考查用树状图或列表法解决需两步完成的概率题，推断玩耍的公正性，并修改玩耍规章.用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比.19.(10分)已知：如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG//DB交CB的延长线于G.(1)求证：△ADE≌△CBF;(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.【分析】(1)在证明全等时常依据已知条件，分析还缺什么条件，然后用(SAS,ASA,(2)先由菱形的性质得出AE=BE=DE,再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°,所以判定四边形AGBD是矩形.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，,,(2)解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形.∴AD//BC.∴四边形AGBD是平行四边形.【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定.平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线相互平分.三角形全等20.(10分)如图，OO是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°,CD⊥OC于C,ED⊥AB于F,(1)推断△DCE的外形；(2)设OO的半径为1,且求证：△DCE≌△OCB.【分析】(1)△DCE为等腰三角形，理由为：依据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠ABC的度数，求出圆心角∠AOC的度数为60°,再由OA=OC,得到三角形OAC为等边三角形，可得出三内角为60°,再由OC与CD垂直，依据垂直的定义得到∠OCD为直角，利用平角的定义求出∠DCE为30°,又EF垂直于AB,得到∠AFE为直角，由∠A为60°,得出∠E为30°,可得出∠DCE=∠E,依据等角对等边可得出DC=DE,即三角形DCE为等腰三角形；(2)由半径为1及OF的长，依据AO+OF求出AF的长，在直角三角形AEF中，依据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由AF的长得出AE的长，再由AE-AC求出CE的长，在直角三角形ABC中，由AB为直径，∠B为30°,依据锐角三角函数定义求出得到两对底角相等，利用ASA可得出两三角形全等.【解答】解：(1)△DCE为等腰三角形，理由为：在Rt△AEF中，∠E=30°,在Rt△ABC中，∠B=30°,【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题.一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)代入即可求得代数式的值.【点评】生疏完全平方公式的变形，留意该题的简便方法.22.(4分)如图，A、B、C是OO上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC,过BC上则∠AOC一点P.作PB/AB交BD于点E,PFLBD于F,若BE则∠AOC【分析】首先由∠CBD=∠ABC,PE//AB,可证得△PBE是等腰三角形，又由BE=3,即可求得PE与EF的长，再由PF⊥BD,由特殊角的三角函数值，即可求得∠PEF的度数，继而求得∠AOC的度数.23.(4分)如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角顶点A在直线y足为D、F,EF交AB于M,∵A点的横坐标为1,A点在直线y=x上，∴B(3,1),C(1,3),且△ABC为等腰直角三角形，BC的中点坐标为,即为(2,2),∵点(2,2)满足直线y=x,∴k=OD×AD=1,或k=OF×EF=4,当双曲线与△ABC有唯一交点时，1≤k≤4.故答案为：1≤k≤4.【点评】本题考查了反比例函数的综合运用.留意直线，三角形的特殊性，依据双曲线上点的坐标特点求解.24.(4分)二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①ab>0;②a+c>b;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤m(am+b)<a+b(m≠1的实数).其中正确的结论有4个.【分析】由对称轴的位置推断ab的符号，然后依据对称轴及抛物线与x轴交点状况进行推理，进而对所得结论进行推断.【解答】解：①∵抛物线对称轴在y轴的右侧，③由对称知，当x=2时，函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,此选项正确；④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且即,代入得925.(4分)完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2,将其放入一个不透则k=mn,故答案为：±2.【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率与反比例函数的性质，此题难度适中，解题时留意列表法与树状图法可以不重不漏的列出全部等可能的状况，然后依据概率公式求得概率.二、解答题(本大题共3个小题，共30分)的两根是一个矩形两邻边的长.(1)m取何值时，方程有两个正实数根.≥0,解得而a、b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1>可解得m>-1,综合可得到m的取值范围；解方程得到m=2,mz=-6,然后即可得到符合条件的m的值.【解答】解：(1)设矩形两邻边的长为a,b,∴△≥0,即得解得m>-1,得∴a²+b²=(√5)²,解得mi=2,mz=-6,△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根；当△>0,方27.(10分)如图，Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动，BP=AQ.点D,E达顶点A时，P,Q同时停止运动.设BP的(2)解：①如图1,当0<x≤2.5时，