上海市浦东复旦附中分校2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题（含答案）

-2024学年上海市上海复旦附中浦东分校高三年级下学期3月月考2024.3一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知是虚数单位，则______.2.直线与直线平行，则______.3.设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是______.4.函数的最小值为______.5.已知的展开式中项的系数为，则______.6.若椭圆的离心率为，则______.7.某医院选派甲乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有______种8.已知数列的前项和为，且，则______.9.若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的最大值是______.10.已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为，则的最大值为______.11.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为______.12.已知非空集合满足．若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质．设具有性质的集合的个数为，求的值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为14.有一组样本数据由5个连续的正整数，，，组成，其中是最小值，是最大值，若在原数据的基础上增加两个数据，，组成一组新的样本数据，，，，，，则A．新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数 B．新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数 C．新样本数据的方差等于原样本数据的方差 D．新样本数据的方差大于原样本数据的方差15.某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价，再降价；②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价．其中，则最终降价幅度最小的方案是A．① B．② C．③ D．④16.已知平面非零向量，，，满足，，，则对于任意的使得A．恒有解 B．恒有解 C．恒无解 D．恒无解三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图．在直棱柱中，，，，是的中点，点在棱上运动．（1）证明：；（2）当异面直线，所成的角为时，求三棱锥的体积．18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”．（1）试判断，是否为“函数”，简要说明理由；（2）若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围；19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）己知椭圆过点，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；（3）设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数（1）若，求的单调区间（2）若时恒成立，求实数的取值范围（3）定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”①已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有②已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由。2023-2024学年上海市上海复旦附中浦东分校高三年级下学期3月月考2024.3一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知是虚数单位，则______.【答案】【解析】2.直线与直线平行，则______.【答案】4【解析】由题意知3.设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是______.【答案】【解析】不等式的解集是区间的真子集，则4.函数的最小值为______.【答案】3【解析】当且仅当时，取到等号5.已知的展开式中项的系数为，则______.【答案】【解析】由题意知6.若椭圆的离心率为，则______.【答案】或【解析】若焦点在轴上，则若焦点在轴上，则7.某医院选派甲乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有______种【答案】30【解析】不同的选派方法是8.已知数列的前项和为，且，则______.【答案】210【解析】已知数列的前项和为，且，①则当时，，②由①②可得，，9.若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的最大值是______.【答案】【解析】由题意得，，令，，解得，令，1，2，得；令，解得，令，2，得．根据题意，得，解得，所以实数的最大值是10.已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为，则的最大值为______.【答案】【解析】由题意可知，服从两点分布，可得，，，则，，当且仅当，即时，等号成立，故最大值为11.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为______.【答案】1【解析】设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，则，是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点，，，关于直线对称，从而，，所以12.已知非空集合满足．若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质．设具有性质的集合的个数为，求的值为______.【答案】31【解析】当时，，，，，，，1，具有性质，对应的分别为0，1，2，1，1，故（2）．时，具有性质的集合的个数为，则当时，，其中表达也具有性质的集合的个数，下面计算关于的表达式，此时应有，即，故对分奇偶讨论，①当为偶数时，为奇数，故应该有，则对每一个，和必然属于集合，且和，，和共有组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合，故对每一个，对应的具有性质的集合的个数为，所以．②当为奇数时，为偶数，故应该有，同理，，由累加法得：，二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为【答案】D【解析】如图过作，由等腰梯形可得：△是等腰直角三角形，即，即错误；还原平面图为下图，即，即错误；过作，由勾股定理得，故四边形的周长为：，即错误；四边形的面积为：，即正确．故选：．14.有一组样本数据由5个连续的正整数，，，组成，其中是最小值，是最大值，若在原数据的基础上增加两个数据，，组成一组新的样本数据，，，，，，则A．新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数 B．新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数 C．新样本数据的方差等于原样本数据的方差 D．新样本数据的方差大于原样本数据的方差【答案】D【解析】根据题意，假设正整数，，，依次为3、4、5、6、7，其平均数为，则增加两个数据后，新数据为2、3、4、5、6、7、8，其平均数为，新数据的平均数等于原样本数据的平均数，则、错误；增加数据后，数据的波动变大了，则其方差变大，即新样本数据的方差大于原样本数据的方差，正确，错误．故选：．15.某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价，再降价；②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价．其中，则最终降价幅度最小的方案是A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】设手机原价为元，因为，不妨设，①，②③；④；可见③降价幅度最小．故选：C．16.已知平面非零向量，，，满足，，，则对于任意的使得A．恒有解 B．恒有解 C．恒无解 D．恒无解【答案】B【解析】设，其中，记因为，所以，即．若，则点的轨迹是抛物线，点恰为抛物线的焦点．记，因为，所以，则，，三点共线，则是过点的直线与抛物线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时．①若，则点的轨迹是椭圆，点为椭圆的左焦点，轴是椭圆的左准线，是过点的直线与椭圆的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相离，故．②若，则点的轨迹是双曲线，点为双曲线的右焦点，轴是双曲线的右准线，是过点的直线与双曲线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相交，故可正，可负，可零．所以当时，恒有，故错误；当时，，与均有解，故，错误；故选：．三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图．在直棱柱中，，，，是的中点，点在棱上运动．（1）证明：；（2）当异面直线，所成的角为时，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）直棱柱中，平面，平面，中，，为中点，又、平面，平面，结合平面，可得；（2）直棱柱中，，（或其补角）即为异面直线、所成的角，，又平面，可得，结合，可得平面，平面，因此，△中，，可得，得又，由此可得18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”．（1）试判断，是否为“函数”，简要说明理由；（2）若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围；【答案】（1）是；（2）【解析】（1）根据题意，，可得，故是“函数”；（2）因为为“函数”，所以存在，使，即，整理得在有解．因为，所以，可得，结合在上恒成立，可得，综上所述，，即实数的取值范围是19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）用表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，表示第局甲获胜，表示第局乙获胜，则，，，2，3，4，5（A）．（2）的可能取值为2，3，4，5．，，，，或者，故分布列为：234520.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）己知椭圆过点，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；（3）设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.【答案】（1）；（2）或；（3）见解析【解析】（1）由题意可得：，解得，故椭圆方程为：.（2）当直线斜率存在时，设直线l的方程为，即联立，设，则，解得.故此时方程为；当直线斜率不存在时，经检验满足条件；故直线方程为或.（3）设，直线的方程为：与椭圆方程联立可得：即：，则：直线的方程为：令可得：同理可得：.很明显，且：，注意到：而：故，从而.21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数（1）若，求的单调区间（2）若时恒成立，求实数的取值范围（3）定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”①已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有②已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由。【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）见解析【解析】（1）当时，令，则，解得或当时，；当时，所以的单调递增区间为，单调递减区