河南省新乡市2024届学年高三二模数学试题(含答案)

－2024学年新乡市高三第二次模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，则（）A． B． C． D．2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（）A．为锐角三角形 B．为直角三角形C．为钝角三角形 D．的形状无法确定3．已知直线与抛物线的图象相切，则C的焦点坐标为（）A． B． C． D．4．已知，则（）A． B． C． D．5．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（）A．248种 B．168种 C．360种 D．210种6．函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数x的最大整数．若，满足，则x的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知函数满足，则下列结论一定正确的是（）A．是奇函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数8．已知圆锥的底面半径为，高为1，其中O为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点P在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过2s后，第一次回到最高点，则（）A．B．C．与时的相对于平衡位置的高度h之比为D．与时的相对于平衡位置的高度h之比为10．已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（）A． B． C． D．11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，A，，B三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A．C的渐近线方程为 B．C．的面积为 D．内接圆的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．已知一平面截球O所得截面圆的半径为2，且球心O到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为______．13．若一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则，，，，，9这6个数的平均数为______，方差为______．14．已知函数，，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，．（1）证明：平面．（2）若，点M满足，求二面角的大小．16．（15分）已知数列满足，（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前2n项和，并证明．17．（15分）根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）．（1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；（2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；（3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看A，B影片的概率分别为，，乙观看A，B影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这两名观影者中当天观看A影片的人数为X，求X的分布列及期望．18．（17分）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，C为M的上顶点，P是M上在第一象限的点，，直线，的斜率分别为，，且．（1）求M的方程；（2）直线与交于点D，与x轴交于点E，求的取值范围．19．（17分）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（，4，5，…，n），证明：．2023-2024学年新乡市高三第二次模拟考试数学参考答案1．B，则．2．C由余弦定理得，所以为钝角三角形．3．C联立可得，则，所以，故C的焦点坐标为．4．A．5．D不同的分法有种．6．C，当且仅当时，等号成立，所以，则，解得，所以．7．B令，可得．令，则，故的图象关于点对称，即是奇函数．8．A，由，得的最小值为．9．BC由题可知小球运动的周期，所以，解得．当时，．又，所以，则，所以与时的相对于平衡位置的高度之比为．故选BC．10．AB直线恒过点，斜率为，直线恒过点，斜率为，可化为，可化为．因为直线与直线平行，所以，故A正确；因为点在的内部，所以，故B正确；点在的外部，则的元素个数可能为0，1，2，故C错误；圆与圆相交，所以，故D错误．11．ABD依题意，为等边三角形，故，．在中，，，，所以．根据正弦定理可得，解得，，所以，即，，所以C的渐近线方程为，，的面积为．由的面积为，可得内接圆的半径为．故选ABD．12．由球的截面圆性质可知球的半径，则该球的体积为．13．4；8这6个数的平均数为，由题可知，解得，所以这6个数的方差为．14．令，则方程的解有3个．在上单调递增，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故结合的图象（图略），可得，且方程的三个解中最小的解为．又在上单调递减，在上单调递增，所以，即．令，易知在上单调递增，又，所以的解集为．综上，的取值范围为．15．（1）证明：如图，取O为的中点，连接．因为，所以．因为平面平面，且两平面相交于，所以平面．因为平面，所以．又，且，所以平面．（2）解：过点A作的平行线．以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，．设平面的法向量为，则即令，得．易知平面的一个法向量为，所以．因为二面角为锐角，所以二面角的大小为．16．证明：（1）由题可知，所以数列是以1为首项，6为公比的等比数列，所以．（2）由题可知，所以．令，则，所以数列单调递增，故，即．17．解：（1）由图可知，满意度评分不低于60分的频率为，所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为．（2）因为，，所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，且这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为．（3）由图可知，，．X的可能取值为0，1，2，，，，则X的分布列为X012P0.080.440.48故．18．解：（1）设，显然，，则，又，即，所以，即①．由，得②．联立①②，解得，，所以椭圆M的方程为．（2）由（1）得，设直线的方程为，因为点P位于第一象限，所以．联立整理得，则，所以，则，所以．又直线的方程为，所以联立解得．故．因为，所以，，所以．19．（1）解：，所以，其定义域为，令，解得．不妨设切点，，则在点P处的切线方程为，即，在点Q处的切线方程为，即．故直线为曲线的“双重切线”．（2）解：所以易知在上与