河南省郑州市名校教研联盟2024届高三下学期模拟预测数学试卷（含答案）

数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，则A． B． C． D．2．已知集合，，则A． B． C． D．3．已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则A． B． C． D．4．函数是偶函数，则a的值为A． B． C． D．5．知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的最密的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这此球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为A． B． C． D．6．已知点O为坐标原点，点A为直线（）与椭圆C：（）的一个交点，点B在C上，OA⊥OB，若，则C的长轴长为A． B．3 C． D．67．已知，，，则A． B． C． D．8．已知第一象限内的点P在双曲线C：（，）上，点P关于原点的对称点为Q，，，是C的左、右焦点，点M是的内心（内切圆圆心），M在x轴上的射影为M＇，记直线PM＇，QM＇的斜率分别为，，且，则C的离心率为A．2 B．8 C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．近几年随着AI技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法正确的是A．2014～2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D．从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率10．过点作直线l与函数的图象相切，则A．若P与原点重合，则l方程为B．若l与直线垂直，则C．若点P在的图象上，则符合条件的l只有1条D．若符合条件的l有3条，则11．已知，则A．的图象关于点对称B．的值域为C．在区间上有33个零点D．若方程在（）有4个不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．的展开式中x的系数为．13．平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程．14．四边形ABCD中，，，，设△ABD与△BCD的面积分别为，，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知等差数列满足，．（1）求；（2）若，数列的前n项和为，求最小时对应的n的值．16．（15分）如图，在三棱锥A-BCD中，，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G．（1）确定F，G的位置，并证明你的结论；（2）求直线DA与平面DEF所成角的正弦值．17．（15分）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x159165170176180y6771737678（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求．参考数据：，，参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．18．（17分）已知倾斜角为（）的直线l与抛物线C：（）只有1个公共点A，C的焦点为F，直线AF的倾斜角为．（1）求证：；（2）若，直线l与直线交于点P，直线AF与C的另一个交点为B，求证：PA⊥PB．19．（17分）已知函数（），．（1）若，的导数分别为，，且，求a的取值范围；（2）用表示a，b中的最小值，设，若，判断的零点个数．数学参考答案1．【答案】B【解析】因为，所以，故选B．2．【答案】C【解析】因为，，所以，故选C．3．【答案】D【解析】由得，即，又，所以，故选D．4．【答案】D【解析】因为是偶函数，所以，所以，故选D。5．【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为，故选D．6．【答案】C【解析】设，，由得，由OA⊥OB可得，所以，，所以，所以，，C的长轴长为，故选C．7．【答案】A【解析】设（），则，在上单调递减，所以，所以，，，，所以，故选A．8．【答案】A【解析】设圆M与，分别切于点A，B，则，且，所以，点，设，，则，所以，，，所以，，故选A．9．【答案】ACD【解析】由每年增加数均为正数，可得A正确；2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B错误；2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为，C正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数均不大于110，所以所求概率为，D正确，故选ACD．10．【答案】AD【解析】设l与的图象切于点，则切线斜率，整理得，对于A，若P与原点重合，则，所以，，l即x轴，方程为，A正确；对于B，若l与直线垂直，则，，当时，，当时，，B错误；对于C，当点P在的图象上时，，所以，解得，或，当时，l有2条，C错误；对于D，设，，由得或，符合条件的l有3条，有3个零点，则，所以，，，D正确，故选AD．11．【答案】AB【解析】由，可得A正确；由，得，当，，B正确；，令得或，（），，，所以在上有31个零点，C错误；是以为周期的周期函数，当时，在上有2个实根，，且；当时，在上没有实根，在上有2个实根，，且，，，所以，，所以的取值范围是，D错误，故选AB．12．【答案】【解析】的展开式中x的系数为．13．【答案】【解析】由△ABC的垂心到直线BC距离，设圆E半径为r，由塞尔瓦定理可得，由圆的几何性质可得，联立解得，，因为直线BC方程为，所以直线EG方程为，设，则E到直线BC距离，解得（舍去）或，所以圆E的标准方程为．14．【答案】【解析】因为，由正弦定理得，所以，即，因为，所以，，，所以，，由余弦定理得，所以，当时取等号，，设，则，在△BCD中由余弦定理得，所以，当时，取得最大值．所以的最大值为．15．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由，得，解得，，所以．（2）由（1）得，，当时，当，，，时，所以最小时n的值为4或6．16．【解析】（1）取CD中点O，连接AO，BO，由已知可得，所以AO⊥CD，BO⊥CD，因为，所以CD⊥平面AOB，因为CD⊥平面EFG，所以平面EFG∥平面AOB，过E作AB的平行线与BC的交点即为F，过E作AO的平行线与CD的交点即为G，因为，所以，，所以当，时，平面EFG与直线CD垂直．（2）由题意可得，因为，所以，以O为原点，直线OB，OC分别为x轴，y轴，过点O与平面BCD垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，．设平面DEF的一个法向量为，则有，得，取，得，设直线DA与平面DEF所成角为，则，所以直线DA与平面DEF所成角的正弦值为．17．【解析】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得，，，，，，，∴．因为y与x的相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）由及（1）得，，所以y关于x的回归方程为．（说明：根据，得出也正确，）（3）X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，，，，，，，，所以18．【解析】（1）方法1：设，则l的方程为，与联立得，因为直线l与抛物线C只有1个公共点，所以，整理得，所以，又，所以，因为，，所以，，所以．方法2：易知点在第一象限，且直线l与C相切于点A，由，得，所以l的方程为，设l与x交于点D，则，所以由抛物线的几何性质可知，故，．（2）时，C的方程为，把，代入得l的方程为，把代入得，所以，由（1）知，，设，设直线AB方程为，与联立得，t，是该方程的两个根，所以，所以，所以，所以PA⊥PB．19．【解析】（