河南省部分重点高中2023-2024学年下学期高三第七次联考（3月）数学试卷（含答案）

—2024学年高中毕业班阶段性测试（七）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答慗标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B．C． D．3．已知抛物线：（）经过点，的焦点为，则线段的中垂线的斜率为（）A． B． C． D．4．的展开式中，的系数为（）A． B． C． D．5．已知函数满足（），则的最小值为（）A． B． C． D．6．0—1数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用．若数列是0—1数列，当且仅当（）时，，设的前项和为，则满足的的最大值为（）A．600 B．601 C．604 D．6057．已知四棱锥的侧面都是边长为4的等边三角形，且各表面均与球相切，则球的半径为（）A． B． C． D．8．已知函数（）的图象经过两点，且的图象在，处的切线互相垂直，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知椭圆：与椭圆：，则（）A．与的长轴长相等 B．的焦距是的焦距的2倍C．与的离心率相等 D．与有公共点10．随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017—2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（）A．2017—2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长B．2017—2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元C．逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大D．2017—2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合11．已知函数，则下列说法正确的是（）A．是的一个周期B．的值域是C．若在区间上有最小值，没有最大值，则的取值范围是D．若方程在区间上有3个不同的实根，，（），则（）的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若是偶函数，则实数______．13．尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决．如图，作矩形，其中，，以矩形的中心为圆心作圆，与，的延长线分别交于点，，且点，，共线，则即为所求正方体的棱长．若，，则______．14．在三棱柱中，四面体是棱长为2的正四面体，为棱的中点，平面过点且与垂直，则与三棱柱表面的交线的长度之和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某高科技企业积极培养国内产业链，委托甲、乙两家工厂生产某型号元器件，已知甲、乙两工厂生产该元器件的产量之比为2∶3，次品率分别为4%，3%，次品以外的元器件为正品．（Ⅰ）从甲、乙两工厂生产的所有该元器件中随机抽取1个，求抽取的元器件是正品的概率；（Ⅱ）该高科技企业对8个元器件进行质检，其中有3个来自甲工厂，5个来自乙工厂，从这8个元器件中随机抽取2个，放回后再随机抽取2个，求抽取的4个元器件恰好有3个来自乙工厂的概率．16．（15分）已知数列的前项和满足．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）若当且仅当时，最大，比较与的大小．17．（15分）如图，平面与平面垂直，四边形是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形，，，三棱锥的体积为．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．18．（17分）已知双曲线：（，）只经过点，，，，，中的两个点．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设直线：，：与轴分别交于点，，点在的右支上且与不重合，过点作的切线与，分别交于点，，直线与直线交于点，直线与轴交于点，判断是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．19．（17分）已知函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若时，恒有，且，求实数的取值范围．2023—2024学年高中毕业班阶段性测试（七）数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B2．C3．D4．A5．A6．C7．B8．D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．CD10．ABD11．BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．1614．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解析（Ⅰ）记“抽取的1个元器件为正品”为事件，“抽取的1个元器件来自甲工厂”为事件，“抽取的1个元器件来自乙工厂”为事件，则，，，，所以．（Ⅱ）抽取的4个元器件有3个来自乙工厂，则有一次抽取的2个都来自乙工厂，另一次抽取的有1个来自甲工厂，1个来自乙工厂．一次抽取的2个都来自乙工厂的概率，另一次抽取的1个来自甲工厂1个来自乙工厂的概率，所以抽取的4个元器件恰好有3个来自乙工厂的概率为．16．解析（Ⅰ）因为，①所以，②②－①，得，③所以，④④－③，得，所以，所以是等差数列．（Ⅱ）在中，取，得．设的公差为，因为当且仅当时，最大，所以当时，当时，由得所以，所以，所以，．17．解析（Ⅰ）过点作于．因为平面与平面垂直，且，所以等于三棱锥的高，因为四边形是边长为1的正方形，所以，所以，，，，所以，，所以．因为平面平面，平面平面，且，所以平面，所以．因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线，，两两互相垂直，以点为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则得取．设平面的法向量为，则得取．则，所以二面角的正弦值为．18．解析（Ⅰ）双曲线既关于轴对称，又关于轴对称，点，关于轴对称，，关于轴对称，所以点，，要么都在上，要么都不在上，因为只经过其中的两个点，所以，，都不在上．若点在上，则，点，都不满足方程，所以点，不同时在上，，不同时在上，所以经过点，．所以解得，所以的方程为．（Ⅱ）设，切线的方程为，与联立，得，所以整理得，且．所以，，即．由（Ⅰ）得，，直线：，：．由得，由得．所以直线的方程为，即，直线的方程为，即．由得，所以，所以，为定值2．19．解析（Ⅰ）因为，所以，易知在上单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时