高数同济15极限运算法则

高数同济15极限运算法则极限概念与性质回顾极限运算法则概述极限运算法则证明及应用多元函数极限及其运算法则无穷小量阶与主部概念及应用连续性与间断点类型判断contents目录01极限概念与性质回顾123描述当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的某个确定值。极限的直观定义对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，则称A为f(x)当x→x0时的极限。极限的严格定义（ε-δ语言）根据自变量的变化趋势，极限可分为x→x0、x→∞、x→+∞、x→-∞等类型。极限的分类极限定义及分类数列极限定义对于数列{xn}，若存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|xn-A|<ε成立，则称A为数列{xn}的极限。函数极限与数列极限关系函数在某点的极限可以通过构造特殊数列来求解，即海涅定理（归结原则）。数列极限与函数极限关系03无穷小量与无穷大量的关系在自变量的同一变化过程中，无穷小量与无穷大量互为倒数关系。01无穷小量定义以0为极限的变量称为无穷小量。02无穷大量定义绝对值无限增大的变量称为无穷大量。无穷小量与无穷大量夹逼准则、单调有界准则等是判断极限存在的重要方法。极限存在准则极限具有唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算法则等重要性质。极限的性质极限存在准则及性质02极限运算法则概述加法运算法则减法运算法则乘法运算法则除法运算法则四则运算法则若$limf(x)$和$limg(x)$都存在，则$lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)$。若$limf(x)$和$limg(x)$都存在，则$lim[f(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)$。若$limf(x)$和$limg(x)$都存在，则$lim[f(x)cdotg(x)]=limf(x)cdotlimg(x)$。若$limf(x)$和$limg(x)$都存在，且$limg(x)neq0$，则$limfrac{f(x)}{g(x)}=frac{limf(x)}{limg(x)}$。复合函数极限定理：设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与$y=f(u)$复合而成，$f[g(x)]$在点$x0$的某去心邻域内有定义。若$\lim{x\tox_0}g(x)=u_0$，且存在$\delta_0>0$，当$x\inU^{\circ}(x_0,\delta_0)$时，有$g(x)equ0$。若$\lim{u\tou0}f(u)=A$，则$\lim{x\tox0}f[g(x)]=\lim{u\tou_0}f(u)=A$。复合函数极限运算法则反函数极限定理：若函数$f(x)$在$x0$的某去心邻域内单调有界，且$\lim{x\tox_0}f(x)=A$，则其反函数$f^{-1}(y)$在$y0=A$的某去心邻域内单调有界，且$\lim{y\toA}f^{-1}(y)=x_0$。反函数极限运算法则幂指函数极限定理：设$f(x)>0$，$g(x)$为实数域上的函数，若$\lim_{x\tox0}f(x)=A>0$，$\lim{x\tox0}g(x)=B$，则$\lim{x\tox0}f(x)^{g(x)}=A^B$。特别地，当$f(x)\to1$，$g(x)\to\infty$时，有$\lim{x\tox0}(1+f(x))^{\frac{1}{f(x)}}=e$，$\lim{x\tox0}(1+f(x))^{g(x)}=e^{\lim{x\tox_0}f(x)g(x)}$。幂指函数极限运算法则03极限运算法则证明及应用四则运算法则证明若$limf(x)=A$，$limg(x)=B$，则$lim[f(x)+g(x)]=A+B$若$limf(x)=A$，$limg(x)=B$，则$lim[f(x)-g(x)]=A-B$若$limf(x)=A$，$limg(x)=B$，则$lim[f(x)cdotg(x)]=AcdotB$若$limf(x)=Aneq0$，$limg(x)=B$，则$limfrac{f(x)}{g(x)}=frac{A}{B}$加法运算法则减法运算法则乘法运算法则除法运算法则设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与$y=f(u)$复合而成，若$\limu=a$时，$\limf(u)$存在，且$\limx=x_0$时，$\limg(x)=a$，则$\limf[g(x)]=\limf(u)$复合函数极限运算法则证明若函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内单调、可导且$f'(x_0)eq0$，则其反函数$f^{-1}(x)$在$y_0=f(x0)$处连续，且有$\lim{y\toy_0}f^{-1}(y)=x_0$反函数极限运算法则证明0102幂指函数极限运算法则证明特别地，当$f(x)to1$，$g(x)toinfty$时，有$lim[1+f(x)]^{g(x)}=e^{limf(x)g(x)}$设$f(x)>0$，若$limf(x)=a>0$，$limg(x)=b$，则$limf(x)^{g(x)}=a^b$通过四则运算法则、复合函数极限运算法则等，求解复杂函数的极限值求极限判断连续性解决实际问题利用反函数极限运算法则，判断反函数在某点的连续性将实际问题抽象为数学模型，利用幂指函数极限运算法则求解，如计算复利、放射性衰变等问题030201实际应用举例04多元函数极限及其运算法则VS设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的聚点。如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，使得当点$P(x,y)$满足$0<sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<delta$时，都有$|f(x,y)-A|<epsilon$成立，那么就称常数$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)to(x_0,y_0)$时的极限。几何意义多元函数在某点的极限值，就是当自变量趋近于该点时，函数值所趋近的常数。定义多元函数极限概念

多元函数极限性质唯一性如果多元函数在某点的极限存在，那么该极限是唯一的。局部有界性如果多元函数在某点的极限存在，那么在该点的某个去心邻域内，函数是有界的。局部保号性如果多元函数在某点的极限大于0（或小于0），那么在该点的某个去心邻域内，函数值也大于0（或小于0）。如果多元函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的极限都存在，那么它们的和、差、积、商（分母不为0）在点$(x_0,y_0)$的极限也存在，且等于各函数极限的四则运算结果。四则运算法则如果多元函数$u=u(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的极限存在，且$u_0=u(x_0,y_0)$，函数$y=f(u)$在$u=u_0$处连续，那么复合函数$y=f[u(x,y)]$在点$(x_0,y_0)$的极限也存在，且等于$f(u_0)$。复合运算法则多元函数极限运算法则累次极限是指先对一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限；而重极限是指同时对两个自变量求极限。定义如果多元函数在某点的重极限存在，那么该点的任意累次极限也存在，且等于重极限；但反之不一定成立，即累次极限存在并不能保证重极限一定存在。例如，函数$f(x,y)=frac{xy}{x^2+y^2}$在原点处的两个累次极限都存在且为0，但重极限不存在。关系累次极限与重极限关系05无穷小量阶与主部概念及应用无穷小量的定义以0为极限的变量称为无穷小量。无穷小量的阶设α、β是在同一自变量的变化过程中的两个无穷小量，且α≠0，若β/α的极限为0，则称β是比α高阶的无穷小量，记作β=o(α)；若β/α的极限为∞，则称β是比α低阶的无穷小量；若β/α的极限为不等于0的常数c，则称β与α是同阶无穷小量，特别地，当c=1时，称β与α是等价无穷小量，记作β~α。无穷小量阶概念若一个无穷小量可以表示成另一个无穷小量与一个高阶无穷小量之和，则称前者是后者的主部。通过泰勒公式或洛必达法则可以求出函数在某点的展开式，进而确定其主部。主部概念及求法主部求法主部定义通过计算两个无穷小量之比的极限来确定它们的阶关系。使用极限运算法则将函数展开成泰勒级数，比较不同阶数的系数来确定无穷小量的阶。使用泰勒公式对于0/0型或∞/∞型的极限，可以使用洛必达法则来求解，并比较不同阶数的导数来确定无穷小量的阶。使用洛必达法则无穷小量阶比较方法在求极限过程中，可以将一个复杂的无穷小量替换成一个简单的等价无穷小量，从而简化计算。在计算一些复杂函数的极限时，可以利用常见的等价无穷小量进行替换，如sinx~x、tanx~x、e^x-1~x等。通过替换可以大大简化计算过程，提高计算效率。同时，在解决一些实际问题时，也可以利用无穷小量的替换原理来构建数学模型并进行求解。替换原理应用示例无穷小量替换原理及应用06连续性与间断点类型判断若函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。连续性的定义函数图像在该点处无间断，即“连绵不断”。连续性的几何意义若函数在某点连续，则必须满足三个条件——函数在该点有定义、函数在该点有极限、函数在该点的极限值等于该点的函数值。连续性的充要条件连续性概念回顾第二类间断点包括无穷间断点和震荡间断点，左右极限至少有一个不存在且不为无穷大。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，左右极限都存在但不相等或不存在。间断点的判断方法首先找出函数无定义的点，然后判断这些点处的左右极限情况，根据间断点的定义进行分类。间断点类型及判断方法连续函数的整体性质主要包括最值定理、介值定理等。连续函数与极限的关系