2022-2023学年湖南某校高二（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南师大附属颐华学校高二（±）入学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知（1-i）2z=3+2i,贝Uz=（）

3333

A.-1-+C.—2D・一［一，

2.（5分）命题"3xGZ,/+1是4的倍数”的否定为（）

A.V.r£Z,f+l是4的倍数B.VxGZ,/+1不是4的倍数

C.3xez,f+l不是4的倍数D.VA-gZ,7+1不是4的倍数

3.（5分）函数,f（x）=/〃x+3x-4的零点所在的区间是（）

A.（0,1）B.（L2）C.（2,3）D.（2,4）

4.（5分）2020年是天津市实施高考综合改革的第一年，新高考规定：语文，数学、英语是

必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试中选取3

个作为选考科目.某考生已确定选定物理作为自己的选考科目，然后从剩下的5个等级

考试科目中再选择2个等级考试科目组成自己的选考方案，则考生”选择思想政治、生

物”和“选择化学、地理”为（）

A.相互独立事件

B.对立事件

C.不是互斥事件

D.互斥事件但不是对立事件

5.（5分）已知直线x-2y+,〃=0（w>0）与直线-3=0互相平行，且两者之间的距离

是V5,则m+n等于（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（5分）如图，直三棱柱ABC-A\B\C\中，AB=AC=\,AAi=2,ZB|AiCi=90°,D

为的中点，则异面直线CiO与4C所成角的余弦值为（）

VioV10

C.—D.——

157

QX_-1丫V]

"'一是R上的单调函数，则实数。的取值范围

{2xz—ax+a,x>l

是（）

A.（1,2）B.（1,3]C.（2,3]D.（1,4]

8.（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：

，"），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，

现有A,B,C三点，且4,B,C在同一水平面上的投影4,B,,C满足NA'CB'=45°,

ZA'B'C=60°.由C点测得B点的仰角为15°,与CC的差为100；由8点测得A

点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A8C的高度差CC约为（）（V3«1.732）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）已知x>0,y>0,且x+y=2,则下列结论中正确的是（）

A.村有最小值1B.7+/有最小值2

22

C.一+一有最小值4D.石+力有最小值4

xy

（多选）10.（5分）已知函数/（x）=sin（2x+卷），则（）

A.f（x）的最小正周期为Tt

B./（x）的图象关于点（一90）中心对称

C./（%）的图象关于直线％=看对称

D.f（x）在（0,看）上单调递增

（多选）11.（5分）已知直线/：（67+1）x+ay+a^0（a£R）与圆C：x2+y2-4x-5=0,贝I]

下列结论正确的是（）

A.存在“，使得/的倾斜角为90°

B.存在。，使得/的倾斜角为135°

C.存在小使直线/与圆C相离

D.对任意的a直线/与圆C相交，且a=l时相交弦最短

（多选）12.（5分）如图，正四棱锥P-48C。中，。为正方形A8C£＞的中心，PA=AB=2,

点、E,尸分别为侧棱以，PB的中点，则（）

B.OF//PD

4

C.四棱锥P-ABCD的体积为孑

D.AClffiPBD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知0是第四象限角，且sin（e+J）=|,则tan（e-[）=.

14.（5分）在四面体0A8C中，棱。4、OB、OC两两垂直，且。4=1,OB=2,OC=3,

G为的重心，则亦•（丛+防+而;）=.

15.（5分）已知如图，平行四边形48CZ）中，AB=3,AD=4,ZBAD=120Q,AB=a,

AD=b,H,M分别是AD,DC的中点，F是上BC一点，且BF=^BC,则京•

HF=.

16.（5分）四面体的四个顶点都在球。的球面上，△ABC和△AOC是边长为2的等

边三角形，BD=2V2,则球。的体积为；若尸，。分别为线段

AO,BC的中点，则PQ=.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵

节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜

对了8道，丙同学猜对了〃道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.

（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

22

（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为:，求〃的值.

18.（12分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线

生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根

据检测结果按［2,4）,14,6）,［6,8）,18,10］分组，得到如图所示的频率分布直方图，

若工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，质量指数不低于5为合格级产品.

（/）用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（II）质量部门认定：若一个工厂的产品合格率不低于75%,则可获得“品牌工厂”称

号.根据上述两条生产线抽取的产品合格率情况，用样本估计总体的思想，估计该工厂

是否能够获得“品牌工厂”称号？

19.(12分)己知函数=2sin2a)x+2sinwx«cos(ox(o)>0)的图象两相邻对称轴之间的

距离为2.

(I)求函数f(x)的解析式；

(II)将函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函

数g(x)的图象，若g(x)-〃?V0对任意的x6[0,4]恒成立，求实数〃?的取值范围.

COSACL

20.(12分)已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为mb,c,----=--,b+c=4,

cosC2b-c

求。的最小值.

21.(12分)已知直三棱柱ABC-AIBICI中，侧面AAiBiB为正方形，AB=BC=2,E,F

分别为AC和CCi的中点，。为棱481上的点，BFlAiBi.

(1)证明：BFLDE-,

(2)当为何值时，面8BCC与面OFE所成的二面角的正弦值最小？

22.(12分)已知函数/'(x)=，oga不辽(”>0且“W1).

(I)判断并证明函数/(x)的奇偶性；

(II)若a—2,求函数y—f(2V)的值域；

(III)是否存在实数a,b,使得函数/(x)在区间(b,1a)上的值域为(1,2),若存在,

求。，人的值；若不存在，请说明理由.

2022-2023学年湖南师大附属颐华学校高二(±)入学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)已知(1-z)2Z=3+2Z,则Z=()

3333

D.

A.-1—B.-l+aiC.—2"I-Z2

【解答】解：因为(1-i)2z=3+2i,

3+2i_3+2i_(3+2i)i_-2+3i

所以z=

(1-i)22

故选:B.

2.(5分)命题“*ez,?+1是4的倍数”的否定为()

A.VxGZ,7+1是4的倍数B.VxGZ,7+1不是4的倍数

C.3xGZ,/+1不是4的倍数D.VAgZ,7+1不是4的倍数

【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为vxez,，+1不是4的倍数.

故选：B.

3.(5分)函数/'(x)=/nx+3x-4的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)

【解答】解：•••函数/(X)=//tr+3x-4在其定义域上单调递增，

：.f(2)=/〃2+2X3-4=历2+2>0,/(1)=3-4=-IVO,

：.f(2)/(I)<0.

根据函数零点的判定定理可得函数/(x)的零点所在的区间是(1,2),

故选：B.

4.(5分)2020年是天津市实施高考综合改革的第一年，新高考规定：语文，数学、英语是

必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试中选取3

个作为选考科目.某考生已确定选定物理作为自己的选考科目，然后从剩下的5个等级

考试科目中再选择2个等级考试科目组成自己的选考方案，则考生”选择思想政治、生

物”和“选择化学、地理”为()

A.相互独立事件

B.对立事件

C.不是互斥事件

D.互斥事件但不是对立事件

【解答】解：•••考生”选择思想政治、生物”和“选择化学、地理”不能同时发生，

...考生”选择思想政治、生物”和“选择化学、地理”是互斥事件，

又•.•考生也可”选择思想政治、化学”，

，考生”选择思想政治、生物”和“选择化学、地理”不是对立事件，

故选：D.

5.（5分）已知直线x-2y+,〃=0（,〃＞（））与直线-3=0互相平行，且两者之间的距离

是有，则烧+〃等于（）

A.-1B.0C.ID.2

【解答】解：直线x-2＞机=0（/»＞0）与直线x+〃y-3=0互相平行，

所以〃=-2,

由于两平行线之间的距离d=V5,

所以遮=胆型，

向

解得|，”+3|=5,

整理得m=2或-8（负值舍去），

故m+n=-2+2=0.

故选：B.

6.（5分）如图，直三棱柱ABC-A\B\C\中，AB=AC=\,A4=2,ZZ?iAiCi=90°,D

为B囱的中点，则异面直线。。与4c所成角的余弦值为（)

Vio

D.——

15

【解答】解：连结交AC于点E,取AZ）的中点F,连结EF,则E/〃

・・・ZCEF或它的补角就是异面直线GO与直线4c所成的角，

平面AiBiCi，：.AAi±AiCi，

又AiGLAIi，；.AiG_L平面Ai818A.*.A£>_L4Cj,ADVA\C\,则A£>_LAC,

又AF—%D=乎,

在△CEF中，CE=^A\C=李，EF=常。=织CF=^AC2+AF2=岸,

乙乙乙乙乙

CE2+EF2-CF2715

cosZCEF=

2CE-EF-~15-

.♦.异面直线Ci£>与直线AC所成角的余弦值为三.

/"TX11

"'"是R上的单调函数,则实数a的取值范围

{2%2―QX+Q,%>1

是()

A.(1,2)B.(1,3]C.(2,3]D.(I,4J

【解答】解：使/(X)是R上的单调函数，则只能是增函数，

当x>l时，f(x)=2x^-ax+a为增函数，则—=>此时aW4,

JZXZT4

当xWl时，/(x)="-1为增函数，则a>l,且a-lW2-a+a,得aW3,

综上l<aW3,

故选：B.

8.(5分)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：

m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，

现有A,B,C三点，且4,B,C在同一水平面上的投影A,B',。满足/ACB'=45°,

ZA'B'C=60°.由C点测得B点的仰角为15°,与CC的差为100；由8点测得A

点的仰角为45°,则A,C两点到水平面AEC的高度差AA'-CC约为()(V3«1.732)

B

A.346B.373C.446D.473

【解答】解：过C作C”_L8B'于H,过B作BM_LA4'于M,

则/8CH=15°,B/7=100,ZABM=45°,CH=CB',A'2'=3M=AM,BB'

=M4，,ZCA'B'=75。

AtanZfiC/7=tan15°=tan(45°-30°)=:鬻::黑黑。=2-遮,sin75。=sin(45°

+30°)=孝(学+》

DU

则在RtZiBCH中，CH==100(2+V3),：.CB'=100(2+遮)

VCLTIZ-DCn

「，pr

在△?!'B'C中，由正弦定理知，4'B'=.•sin^A'C'B'=100(V3+1),

sinZ.CAB

4M=100(V3+1),

，A4'-CC'=AM+BH=\00(V3+1)+100^373,

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）已知x>0,y>0,且x+y=2,则下列结论中正确的是（）

A.孙有最小值1B.7+y2有最小值2

22

C.[+]有最小值4D.五有最小值4

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,x>0,y>0,且x+y=2,则xyW(-^-)2=1,当且仅当无=y=l时等号成立，

即孙有最大值1,A错误；

对于8,考2匕之(字)2=[,变形可得/+夕》2,当且仅当x=y=l时等号成立，即

7+V有最小值2,B正确;

对于G马+2=22+三2=2+3+营22+2监"记=4,当且仅当尸y=l时等号成

xyxyyx7yx

22

立，即一+一有最小值4,C正确；

xy

对于£>,(Vx+y/y)2—x+y+2yfxy=2+2y[xy<4,变形可得近+方32,当且仅当x=y

=1时等号成立，即立+万有最大值2,O错误；

故选：BC.

(多选)10.(5分)已知函数/(x)=sin(2x+丁则()

A.f(x)的最小正周期为n

B./(x)的图象关于点(―看，0)中心对称

C.f(x)的图象关于直线芯=看对称

D./(x)在(0,*上单调递增

【解答】解：,.•/(X)=sin(2x+专)，，T=争=it,故A正确，

f(7=sinT+3)=sin(一分70,

J6366

故/(x)的图象不关于点(一专，0)中心对称，故8错误，

7T7TTT7T

f(―)=sin(-+-)=sin-=1,

J6362

故/G)的图象关于直线k的称，故C正确，

由2Aii—*<T2x+曰<^2^11+*(依z),

解得内r—§VJCV内i+看(&Wz),

令仁0,则T4V*

71

故/(x)在(0,-)上单调递增，故O正确，

6

故选：ACD.

(多选)11.(5分)已知直线/：(〃+1)x+ay+a=O(aGR)与圆C-./+夕-4x-5=0,则

下列结论正确的是()

A.存在a,使得/的倾斜角为90°

B.存在小使得/的倾斜角为135°

C.存在“，使直线/与圆C相离

D.对任意的〃直线/与圆C相交，且”=1时相交弦最短

【解答】解：选项A：当。=0时，直线方程为x=0,此时倾斜角为90°,4正确，

选项8：当倾斜角为135°时，直线斜率为-1,即-*=-1,解得“为空集，3错误，

选项C：圆C的圆心为C(2,0),半径r=3,若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为

|(a+l)x2+a|、3

7(ct+i)2+a2，

整理得：9/+6〃+5<0,不等式无解，C错误，

选项D：经分析直线过定点M(0,-1),此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线

CM与直线/垂直时，直线CM和直线/的斜率之积等于-1,即：一等x与甲=一1

解得4=1,此时弦长最短，。正确，

故选：AD.

(多选)12.(5分)如图，正四棱锥P-A8CD中，。为正方形A8CO的中心，PA=AB=2,

点、E,尸分别为侧棱B4,PB的中点，贝IJ()

A

A.OELPA

B.OF//PD

4

C.四棱锥P-ABC。的体积为孑

D.AClffiPBD

【解答】解：由点。为正方形ABC。的中心，则OPJ/面ABC。，

直角三角形POA中，|0川=引4。1=/，\OP\=>JPA2-OA2=V2,

所以|0P|=Q4|,当E为中点H寸，0EA.PA,

故选项A对；

在三角形P8O中，0,F为中点，所以0尸〃尸。，故选项B对；

VP-ABCD=1\0P\xSABCD=|XV2X4=^,故C错；

由0「_1_面48。，OPLAC,BD±AC,0PCBD=0,所以AC_L面尸8。,

故选项。对；

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知。是第四象限角，且sin(0+?)=p,贝I]tan(9--?)=

【解答】解：是第四象限角,

-5+2/CTTV。,则一?+2kliV。+5+2/CTT,kEZ,

Z444

3

兀

又

n0+一

si45-

4

s9+2+

7_r=7r一-

co4stince45

34

s7-r-00+Tr=-n7-r00+Tr=-

co44-5si44-5

s•44

xr-

n0ln7r05-

7r一---

4zla433

la-

5

故答案为：-亍

14.(5分)在四面体043。中，棱04、OB、0C两两垂直，且04=1,08=2,0C=3,

TTTT14

G为△ABC的重心，则0GY04+0B+0C)--.

3

【解答】解：如图所示，连接AG并延长与BC相交于点D

,/点G是底面△ABC的重心，

：.AG=^AD=jx1(AB+/1C)=^(0B+0C-20A),

又位=0A+AG=0A+^(OB+OC-20A)

1TTT

=6(04+OB+OC),

则亦•(&+晶+=|(OA+OB+OOCOA+OB+OC)

=1(CM+OB+OC)2=|(|CM|2+\0B\2+|0C|2+20A-08+20B-OC+20A-OC)

=1(1+4+9)=等

故答案为：y.

15.（5分）已知如图，平行四边形A8CD中，AB=3,AD=4,ZBAD=\20°,AB=a,

AD=b,H,M分别是A。，DC的中点，F是上BC一点,且BF=翔丁则薪•诵=

11

【解答】解：由平行四边形ABCO中，A8=3,AO=4,ZBAD=120°,AB=a,AD=b,

1TT

”,M分别是A。，OC的中点，尸是上BC一点，1.BF=^BC,可知|a|=3,\b\=4,<

TT।,T—1

a,b>=120°,故Q•b=3x4x(-])=—6,

所以4%=G+原==%+,HF=HA+AB+BF=-^AD+AB+

[T1

wBC=-+a+=ci-zb,

□z□o

TT—1-»TI—1->111->11

所以4M,HF=(b+]Q),(Q—6力)=2。2—石力2+,b=—

故答案为：-学.

16.（5分）四面体A8CD的四个顶点都在球。的球面上，△ABC和△AOC是边长为2的等

_8V27T

边三角形，BD=2V2,则球。的体积为二一；若P,。分别为线段AO,8C的中

V6

点，则P0=一.

2

【解答】解：因为△ABC和△AOC是边长为2的等边三角形，

所以CD=CB=2,AD=AB=2,

又BD=2V2,

所以BD2=CB2+CD2,BD2=AB2+AD1,

所以△OC8,为以。B为斜边的直角三角形，

设DB的中点为0',则。'A=。‘B=。'C=。'D==&，

故四面体ABC£＞的外接球的球心为0',

又0为四面体ABCD的外接球的球心，

所以。为8。的中点，且球。的半径为VL

48

-

所以球。的体积u37T

因为0A=OB=夜，AB=2,

所以OA2+OB2=AB2,

所以。A_LOB,同理OA_LOC,

又ocno8=。，OC,O3u平面COB,

所以0A_L平面COB,又OQu平面COB,

所以04J_。。，

所以PQ=y/OP2+OQ2,

因为。C=OB=&,BC=2,所以△COB为直角三角形,

又。为线段BC的中点，所以0。=1,

又OP=^OA=

所以PQ=J.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵

节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜

对了8道，丙同学猜对了〃道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.

(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

22

(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为不，求〃的值.

25

【解答】解：(1)设4="任选一道灯谜甲猜对"，B="任选一道灯谜乙猜对"，C="任

选一道灯谜丙猜对”，

则尸(4)=^=|,P(B)=P(C)=去,

故尸(4)=1,P(B)P(C)=1-壶,

332213

所以任选一道灯谜，求，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为二X蓑+:X蓑=

555525

(2)设。=“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，

则P(£>)=—|x|x(1一笳=||,

解得n=10,

即n的值为10.

18.(12分)某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线

生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根

据检测结果按［2,4),14,6),16,8),［8,10］分组，得到如图所示的频率分布直方图,

若工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，质量指数不低于5为合格级产品.

(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(II)质量部门认定：若一个工厂的产品合格率不低于75%,则可获得“品牌工厂”称

号.根据上述两条生产线抽取的产品合格率情况，用样本估计总体的思想，估计该工厂

是否能够获得“品牌工厂”称号？

【解答】解：(/)甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：环=3X0.05X2+5X0.15

X2+7X0.2X2+9X0.IX2=6.4；

乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：乏=3X0.15X2+5X0.1X2+7X0.2X2+9

X0.05X2=5.6.

因为诉>汇，甲生产线所生产产品的质量平均水平高于乙生产线所生产产品的质量平均

水平，

故甲生产线所生产产品的质量更好；

(II)由题意，甲、乙两条生产线抽取的产品合格率

1000(0.15X1+0.2X2+0.1X2)+1000(0.1X1+0.2X2+0.05X2)1350

==67.5%<75%,

2000----2000

用样本估计总体的思想，估计该工厂不能够获得“品牌工厂”称号.

19.(12分)已知函数/(x)=2sin2(ox+2sina)x,cosa)x(io>0)的图象两相邻对称轴之间的

距离为2.

(I)求函数/(x)的解析式；

(II)将函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函

数g(x)的图象，若g(x)-加<0对任意的xRO,对恒成立，求实数机的取值范围.

【解答】解：(I)由已知得/(x)=2sin2u)x+2sinu)x•cosu)x=1-cos2u)x+sin2a)x=

y/2sin(2a)x-+1,..........(3分)

因该函数图象两相邻对称轴之间的距离为2,所以该函数的最小正周期为4,.........(4

分)

27T

于是丁=4,解得3=4,..........(5分)

2a)4

所以函数,f(x)的解析式为f(x)=&52几(畀一/+1...........(6分)

(II)由题意可知g(x)=V^sin(京一4+1,..........(8分)

,7T7T7T37rTTrri—

当x6[0,4]时，[%—1，­]，si/iQ%—耳)E[―彳，1],g(x)6[0/V2+

1],..........(10分)

要使g(X)-m<0对任意的XE[O,4]恒成立，只需〃7>[g(X)]maxy

所以血>鱼+1,因此实数机的取值范围为(鱼+1,+00)...........(12分)

COSACL

20.(12分)已知aABC的内角A,B,。的对边分别为mb,c,----=--,b+c=4,

cosC2b-c

求。的最小值.

.…，■—,RCOSAaLcosAsinA

【解答】解：由正弦定理及一-=-—，知一7=一°.「，

cosC2b-ccosC2stnB-sinC

所以siiL4cosC=2sin^cosA-sinCcosA,

所以sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin3=2sin3cosA,

1

因为sinBWO,所以cosA=a，

又AC(0,TT),所以A=*

(匕+C)21

由余弦定理知，a1=h2+c~-2hccosA=h~+c~-hc=(h+c)2-3bc》(/>+c)2-3,------=-

44

(b+c)2=4,

当且仅当b=c=2时，等号成立，

所以”的最小值为2.

21.(12分)已知直三棱柱ABC-AiBiG中，侧面44/出为正方形，AB=BC=2,E,F

分别为AC和CG的中点，。为棱AiBi上的点，BFlAiBi.

(1)证明：BFLDE-.

(2)当Bi。为何值时，面BBiQC与面OFE所成的二面角的正弦值最小？

【解答】(1)证明：连接AF,

・・•£,尸分别为直三棱柱48C-A181G的棱AC和CG的中点，且AB=8C=2,

ACF=1,BF=V5,

VBF±AiBlfAB//A\B\,

：.BF.LAB

：.AF=\/AB2+BF2=J22+(A/5)2=3,AC=y/AF2-CF2=V32-l2=2VI,

：.AC2=AB2+BC2