高中数学概率统计

第八讲概率统计

考点透视

1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.

2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

3.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公

式计算一些事件的概率.

4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

5.掌握离散型随机变量的分布列.

6.掌握离散型随机变量的期望与方差.

7.掌握抽样方法与总体分布的估计.

8.掌握正态分布与线性回归.

例题解析

考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识：

1等可能性事件古典概型的概率：PA=card(A)=m;

card{I}n

等可能事件概率的计算步骤：

①计算一次试验的基本事件总数〃；

②设所求事件A,并计算事件A包含的基本事件的个数用；

③依公式户(如机求值；

P(A)=—

n

④答,即给问题一个明确的答复.

2互斥事件有一个发生的概率：PA+B=PA+PB；

特例：对立事件的概率：PA+P1=PA+N=1.

3相互独立事件同时发生的概率：PA・B=PA・PB；

特例：独立重复试验的概率：Pnk=aUmAp(Ai-p)n-k.其中P为事件A在一次试验中发

生的概率,此式为二项式l-P+Pn展开的第k+1项.

4解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:

①求概率的步骤是:

等可能事件

第一步,确定事件性质

互斥事件

独立事件

n次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步,判断事件的运算［和事件

i积事件

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.

第三步,运用公式等可能事件：P(A)=—

互斥事件：P(A+8)=P(A)+P(B)

独立事件：P(AB)=P(A)P(B)

n次独立重复试验：P(k)=Ckpk([-p)„-k

第四步,答，即给提出的问题有一个明确的答复.

例1.在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概

率是结果用数值表示.

考查目的本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.

Ci~5x4

例2.一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为

5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为.

考查目的本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概

念和等可能性事件的概率求法.

用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间~的意义和概率的求法.

解答过程，提示：尸_/___1

20'10020

例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为单位：g：

492496494495498497501502504496

497503506508507492496500501499

根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在~之间的概率约为.

考查目的本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间~的意义和概

率的求法.

解答过程在~内的数共有5个,而总数是20个,所以有

204'

点评：首先应理解概率的定义,在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.

例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现

发热反应的概率为.精确到

考查目的本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能

力，以及推理和运算能力.w

g

解答提示至少有3人出现发热反应的概率为

口

C3-0.803-0.202+C4-0.804•0.20+Cs0.80s=0.94•H

555

故填.

例5.右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时,

就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均

分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两

个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是

A_4_BJ_C_£DJ_

45361515

考查目的本题主要考查运用组合、概率知识，以及分步计数原理解决问题的能力,

以及推理和运算能力.

解答提示由题意,左端的六个接线点随机地平均分成三组有COC2种分法，同理

Ai

右端的六个接线点也随机地平均分成三组有代种分法；要五个接收器能同

―6-4*•=15

A3

3

时接收到信号,则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一

个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接,最后一个元素与信号源右

端连接，所以符合条件的连接方式共有A.120种，所求的概率是P%。8,所以选

J-1Z.V厂=

522515

D.

点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率

问题，其中隐含着平均分组问题.

例6.从某批产品中，有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件，假设事件力：“取

出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率p（A）=096.

1求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;

2若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件B：“取出的2件产品中至少有

一件二等品”的概率p（B）.

考查目的本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,运用数学知识解

决问题的能力，以及推理与运算能力.

解答过程1记A表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

0

A表示事件”取出的2件产品中恰有1件二等品”.

1

则A,A互斥，且A=A+A，故

010I

J0.96=1-/?2,

解得p=0.2,p二一0.2舍去・

I2

2记B表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则八万.

00

若该批产品共100件，由1知其中二等品有100x0.2=20件,故WA_316.

■I\D）—M）,—

oC2495

100

例7.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本.将它

们任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率

是结果用分数表示.

考查目的本题主要考查运用排列和概率知识，以及分步计数原理解决问题的能力,

以及推理和运算能力.

解答提示从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有As种,左边4本恰好都属于

8

同一部小说的的排列方法有种.所以，将符合条件的长篇小说任意地排成

442

一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是「一”勺1种.所以，填1.

483535

8

例8.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球,2个白球；乙袋

装有2个红球,n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.

I若n=3,求取到的4个球全是红球的概率；II若取到的4个球中至少有2个红球

的概率为3求n.

4

考查目的本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学

应用能力.

标准解答I记”取到的4个球全是红球”为事件上

II记“取到的4个球至多有1个红球”为事件8,“取到的4个球只有1个红球”

为事件8,“取到的4个球全是白球”为事件

12

由题意，得131

尸(8)=匚=7

所以，P(8)=P(B)+P(B)=———......+―-----1*~=1)

123(n+2)(/7+1)6(/?+2)(n+l)4

化简，得解得〃=2,或"二舍去，

7

故〃=2・

例9.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统

计,顾客采用一次性付款的概率是,经销一件该商品，若顾客采用一次性付款,商场

获得利润200元；若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.

I求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

II求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.

考查目的本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算,运用数学知

识解决问题的能力，以及推理与运算能力.

解答过程I记力表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则Z表示事件:

“3位顾客中无人采用一次性付款”.

/>(7)=(1-0.6)2=0.064，P(A)=1-P(X)=1-0.064=0.936,

II记8表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”.

B表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”.

0

B表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.

1

则B=B+B•

0I

P(B)=0.63=0.216'尸(3)=Cix0.62x0.4=0.432,

013

P(B)=P(B+B)=P(B)+=0.216+0.432=0.648-

oioi

例10.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,6,c,且三门课程考试是否

及格相互之间没有影响.

I分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

II试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.说明理由

考查目的本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率，以及不等

式等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.

标准解答记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,

则PA=a,PB=b,PC=c.

I应聘者用方案一考试通过的概率

p=PA,B•K+P1•B•C+PA•7•C+PA•B•C

二aXbX1-c+l-aXbXc+aX1-bXc+aXbXc=ab+bc+ca-2abe.

应聘者用方案二考试通过的概率

p=[PA・B+1PB•C+2PA,C=!XaXb+bXc+cXa=Jab+bc+ca

233333

IIpp=ab+bc+ca-2abe-1ab+bc+ca=2ab+bc+ca-3abe

H233

~-[3^(abc)2-3abc]2，(abc)2(l-Jabc)>0,

.*.p2P

12

例11.

某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核,

否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为小

?

3、2、L且各轮问题能否正确回答互不影响.

555

I求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

II求该选手至多进入第三轮考核的概率.注：本小题结果可用分数表示

考查目的本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识

解决问题的能力，以及推理与运算能力.

解答过程1记”该选手能正确回答第,•轮的问题”的事件为A(i=l,2,3,4)，则

P(4)=gP(A)=3,P(4)=乡P(A)=

>5253545

该选手进入第四轮才被淘汰的概率

——432496

P=P(AAAA)=P(A)P(A)P(A)P(P)=-x-x-x-=—,

41234I2345555625

II该选手至多进入第三轮考核的概率

P=P(A+AA'+AA1)=P(彳)+P(A)P(T)+P(A)P(A)P(A)=1+1XZ+£X1X2=121•

3II2I23II2I23555555125

考点2离散型随机变量的分布列

1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母

，、n等表示.

②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机

变量.

③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地,设离散型随机变量自可能取的值为、，七，……，%,……，自取每一个值

分布列都具有下述两个性质：

1/>>0>?—j2+p+***—1.

i12

②常见的离散型随机变量的分布列:

1二项分布

〃次独立重复试验中,事件A发生的次数E是一个随机变量,其所有可能的取值为

2几何分布

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数g是一个取值为正

整数的离散型随机变量，2=/'表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.

随机变量自的概率分布为：

123・・・k•••

…・・・

PPqp

例12.

厂家在产品出厂前，需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时，商家按合

同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.

I若厂家库房中的每件产品合格的概率为,从中任意取出4件进行检验，求至

少有1件是合格的概率；

II若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任

取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检

验出不合格产品数1的分布列及期望反，并求出该商家拒收这批产品的概率.

考查目的本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,

数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.

解答过程I记”厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

用对立事件A来算，有「(A)=[“G)=

1-0.24=0.9984

可能的取值为0,1,2.

心。)咆之'

20

20

EC。、里+1*21+2x2=2.

19()19019010

记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率

P=1-P(B)=1--=—'

19095

所以商家拒收这批产品的概率为0.

95

例13.

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，

否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为已、3、

?5

2,且各轮问题能否正确回答互不影响.

5

I求该选手被淘汰的概率；

II该选手在选拔中回答问题的个数记为匕，求随机变量1的分布列与数学期望.

注：本小题结果可用分数表示

考查目的本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,

数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.

解答过程解法一：I记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为4(>123)，则

432

P(4)=，尸(A)=，P(4)='

•52535

...该选手被淘汰的概率

nq的可能值为123,p《=i)=p(^)T

一一428

Pg=2)=P(AA)=P(A)P(4)=-x-=—)

I2'25525

4312

P6=3)=P(44)=P(4)P(A)=-x-=—•

I2125525

：.匕的分布列为

123

57.

Eg=lx-+2x-+3x—=

5252525

解法二：I记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A«=1,2,3)，则

432

P(A)=-'P(A)=_，P(A)=->

>52535

该选手被淘汰的概率尸=1-P(AAA)=1-P(A)P(A)P(A)=1-4X3X2=101,

123123555125

n同解法一.

考点3离散型随机变量的期望与方差

随机变量的数学期望和方差

1离散型随机变量的数学期望：Et-xApU+十x人Up十+…;期望反映随机变量取值的平均水平.

\I22

⑵离散型随机变量的方差：O"（x一房+（x-ESP+…+（x-Eg”p+…；

II22nn

方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.

⑶基本性质：E（成+b）=a庆+6；D（a&+b）=（i2O}

4若g〜Bn,p,则EW=叩；Dg=npq这里q=l-p;

如果随机变量&服从几何分布，尸《=&）―（“），则成‘，为=q其中q=l-p.

pP2

例14.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等,所得次品数分

别为£、n,£和n的分布列如下:

£012n012

PP

则比较两名工人的技术水平的高低为.

思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期

望；二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.

解答过程：工人甲生产出次品数£的期望和方差分别为：

八I2

=Ox—+1x—+2x—=0.7'

101010

613

D£=(0-0.7)2x—+(1-0.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.891'

101010

工人乙生产出次品数n的期望和方差分别为：

532532

£ri=Ox+lx-+2x=0.7,Dr|=(0-0.7)2—+(1-0.7)2—+(2-0.7)2x—=0.664

101010x10x1010

由E£=En知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当，但D£〉Dn,可见乙的技

术比较稳定.

小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集

中与离散的程度.

例15.

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数1的分布列为

12345

商场经销一件该商品，采用1期付款,其利润为200元；分2期或3期付款,其利润

为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.r)表示经销一件该商品的利润.

I求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率p(4)；

II求”的分布列及期望期.

考查目的本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查

运用概率知识解决实际问题的能力.

解答过程I由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.

知彳表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

P(A)=(1-0.4)2=0.216,P(A)=1-P(才)=1-0.216=0.784.

Hr|的可能取值为200元，250元，300元.

P(r)=200)==1)=0.4,

P(r\=250)=P&=2)+P&=3)=0.2+0.2=0.4,

P(r)=300)=1—P(r)=200)-P(r|=250)=1-0.4—04=0.2.

r)的分布列为

Eq=200x0.4+250x0.4+300x0.2=2407E.

小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率

之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实

际问题的能力.

例16.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现

有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分,更

正后平均分和方差分别是

,25,50,,25

解答过程：易得［没有改变,7=70,

而S2=J_X2+X2+…+502+1002+…+X2—48嚏2=75,

12

4848

s2=J_x2+x2+…+8O2+7O2+…+x2—48；2

48I248

=±75X48+48^2-12500+11300-48^

48

=75—幽=75—25=50.

48

答案：B

考点4抽样方法与总体分布的估计

抽样方法

1.简单随机抽样：设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样

本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常

用抽签法和随机数表法.

2.系统抽样：当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先

定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样也

称为机械抽样.

3.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分,然后按

照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.

总体分布的估计

由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一

般地,样本容量越大,这种估计就越精确.

总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.

当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应

的频率表示,几何表示就是相应的条形图.

当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率

分布.

总体密度曲线：当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图

就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.

典型例题

例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样

方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=

解答过程：A种型号的总体是2,则样本容量io8n.

例18.一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,99,依编号顺序平均分成10个

小组,组号依次为1,2,3,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如

果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与机+人的个位

数字相同,若加=6,则在第7组中抽取的号码是.

解答过程：第K组的号码为（i）io,（i）io+i，…,（i）io+9,当m=6解第k组抽取的号的个位

数字为m+k的个位数字,所以第7组中抽取的号码的个位数字为3,所以抽取号码为63.

例19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据单位：

cm如下：

171163163166166168168160168165

171169167169151168170160168174

165168174159167156157164169180

176157162161158164163163167161

⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.

思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发

八占、、•

解答过程：⑴最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29;确定组距为3,组数

为10,列表如下:

⑵频率分布直方图如下：

小结：合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图,这是用样本的频率分

布估计总体分布的基本功.

估计总体分布的基本功；

考点5正态分布与线性回归

1.正态分布的概念及主要性质

1正态分布的概念

如果连续型随机变量之的概率密度函数为1其中口为

SJ\x)—2a2u产

常数,并且。>0,则称自服从正态分布,记为g~NN，b”

2期望”=口，方差o"。”

3正态分布的性质

正态曲线具有下列性质：

①曲线在x轴上方,并且关于直线x=u对称.

②曲线在x=u时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.

③曲线的对称轴位置由U确定；曲线的形状由。确定,B越大，曲线越“矮胖”；反之

越“高瘦”.

4标准正态分布

当广0,0=1时己服从标准的正态分布,记作jN。，1

5两个重要的公式

①帆-幻=1-帆幻，②P(a<^<b)=<l>(b)-<t>(a)-

6/V(H.ai)与N(0,l)—者联系。

①若&~N(N.°2)，则月=三上~7(0,1)；

②若&~N（氏62），则p（a*<»=<|）（"艮）_（!）（伫凹”

QO

2.线性回归

简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.

变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函

数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的

相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.

具体说来,对n个样本数据，v,xv，…，xv，其回归直线方程,或经验公式为：

1122nn

处"+”•其中工两，其中行分别为I"、I"的平均数・

‘"十"b=金,a=y-bx,羽）A

Xx2-n（x）2

例20.如果随机变量g〜NH,。2,且Eg=3,"=1,则P—1VgWl=等于

①1一1B.①4一①2

C.①2一①4D.①一4一①一2

解答过程：对正态分布，R=Eg=3,。2=乂=1,故P—1<WW1=S—3一①一1—3=

①一2一①一4二①4一①2.

答案：B

例2L将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d℃,液体的

温度《单位：C是一个随机变量，且8〜Nd,.

1若d=90°,则&<89的概率为；

2若要保持液体的温度至少为80c的概率不低于，则d至少是其中若

n-NO,1,贝ij①2=Pn<2=,0-=Pn<-=

思路启迪：1要求P&<89=F89,

V€〜Nd,不是标准正态分布，而给出的是①2,①一，故需转化为标准正态分布的

数值.

2转化为标准正态分布下的数值求概率P,再利用P2,解d.

解答过程：IPM<89=F89=①四型=①一2二1一①2=1—二.

0.5

2由已知d满足WP&280,

即1-Pg<8021—,.•”<80〃.

•••①8O-dW=①一.

0.5

••80-d•

0.5

，dW.

故d至少为.

小结：1若之〜NO,1,则n=j〜N0,1.2标准正态分布的密度函数fx是偶函

数,x<0时,fx为增函数,x>0时,fx为减函数.

例22.且总体密度曲线的函数表达式为：“、.)=_!=/丁，x£R.

1则U,O是；2则「([*一]]<上)及玖i_q<x<l+2扬的值是,

思路启迪：根据表示正态曲线函数的结构特征,对照已知函数求出R和。.利用一般

正态总体N(禺c)与标准正态总体N0.1概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正

态总体来解决.

解答过程：(1)由于“、1一一1-寸，根据一般正态分布的函数表达形式,

可知口=1,。=后，故X〜N1,2.

=2。⑴-1=2x0.8413-1=0.6826,

又P(1-石'<x<1+2扬=F(1+2VI)-尸(1-41)

=62)+0⑴-1=0.9772+0.8413-1=0.8185

小结：通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.

例23.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设

计的,如果某地成年男子的身高£〜N173,7单位：cm,则车门应设计的高度是精

确到1cm

思路启迪：由题意可知,求的是车门的最低高度,可设其为xcm,使其总体在不低于x

的概率小于1%.

解答过程：设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm,由题意,需使P£2x<l%.

・・・£-N173,7,.•.小加则❷).；查表得s>233,解得x>，即公共汽车门

V7、/7

的高度至少应设计为180cm,可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.

专题训练

一.选择题

1.下面关于离散型随机变量的期望与方差的结论错误的是

A.期望反映随机变量取值的平均水平,方差反映随机变量取值集中与离散的程度.

B.期望与方差都是一个数值,它们不随试验的结果而变化

C.方差是一个非负数

D.期望是区间0,1上的一个数.

2.要了解一批产品的质量,从中抽取200个产品进行检测,则这200个产品的质量是

A.总体B.总体的一个样本C.个体D.样本容量

3.已知T|的分布列为：

01

设J3n-2则玩的值为

P

A.5B.4C._2D._3

3~3

4・设“E"12,网=4,则n，P的值分别为

,1B.36,1C.2,36D.18,2

3333

5.已知随机变量&服从二项分布,自~B(6」)，则P(&=2)等于

A.3_B.，_C.且D._80_

16243243243

6.设随机变量的分布列为〃Fk,其中k=l,2,3,4,5,则等于

P(0=^)=—p(-<s<-)

A.iB.iC.[D.i

5296

7.设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,则查得废品数的数学

期望为

D.都不对

8.某市政府在人大会上,要从农业、工业、教育系统的代表中抽查对政府工作报告的

意见.为了更具有代表性,抽取应采用

A.抽签法B.随机数表法C.系统抽样法D.分层抽样

9.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为,有四台这种型号的自动机

床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是

10.某校高三年级195名学生已编号为1,2,3,-195,为了解高三学生的饮食情况,要

按1：5的比例抽取一个样本,若采用系统抽样方法进行抽取,其中抽取3名学生的编

号可能是

,24,33,47,147,153,193,132,159

11.同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的

次数为自，则&的数学期望是

12.已知g~N(0,G2)，且p(_2M20)=0.4'则Pg>2等于

某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、

150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容

量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取

7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜

采用的抽样方法依次是

A.分层抽样法,系统抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法

C.系统抽样法,分层抽样法D.简单随机抽样法,分层抽样法

14.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天

各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名

学生这一天平均每人的课外阅读时间为

hhhh

二.填空题

15.某工厂规定:工人只要生产出一件甲级产品发奖金50元，生产出一件乙级产品发

奖金30元,若生产出一件次品则扣奖金20元,某工人生产甲级品的概率为，乙级品的

概率为,次品的概率为,则此人生产一件产品的平均奖金为元.

16.同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量&句表示结果中有正面向上，4二o表

示结果中没有正面向上,则成=L

17.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下单位：t/hiw

品种第1年第2年第3年第4年第5年

甲10

乙

18.一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲、乙、丙3条生产线,为检查这批产

品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的

个体数组成一个等差数