2021年新高考适应性考试数学试题及答案

1.已知集合力={—5<x<l},5={X|X2<4},则2口6=

A.(2,3)B.[2,3)

C.(-2,1)D.[-2,1)

2.设复数z满足(l+i)z=l,则z的虚部为

A.—B.—1

2

11.

C.——D.——i

22

3.已知l-sin(e+g)=cos(5-6),则cos?1+的值为

21

A.-B.-

33

C.逅D.3

33

4.某市政府决定派遣8名干部(5男3女)分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求

每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有

A.240种B.320种

C.180种D.120种

5.下列命题中的真命题是

A.VXEN,x2>1

h

B.命题，勺。/€&,—+—>2”的否定

ab

C.“直线4与直线4垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”

22

D.“加〉-1”是“方程」-----匚=1表示双曲线'’的充分不必要条件

2+加加+1

6.函数/炽)=叱的大致图象是

x

7.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.是《算经十书》中最重要的一部，其中将有

三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法错误的是

A.“羡除”有且仅有两个面为三角形B.“羡除”一定不是台体

C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”D.“羡除”至多有两个面为梯形

8.已知函数/(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时、函数/(x)=xe'+l,若关于x的函数

F(x)=[/(x)]2-(«+l)/(x)+a恰有2个零点，则实数a的取值范围为

A.B.(-oo,-l)U(l,+℃)

C.D.U[l,+°°)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知,>L>0,贝！]

ab

A.a3>b3B.问〉回

。衿皿>以

22

10.已知6、与是双曲线C：=_二=1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且

42

以线段片鸟为直径的圆经过点“，则下列说法正确的是

A.双曲线。的渐近线方程为y=±J5x

B.以可鸟为直径的圆的方程为/+/=2

c.点河的横坐标为土J5

D.△〃尸|鸟的面积为2G

11.在公比为4等比数列｛叫中，s,是数列｛4｝的前〃项和，若6=1必=27电，则下列说法正确的是

A.q=3B.数列｛S.+2｝不是等比数列

C.$5=120D.21ga„=1gan_2+1gan+2(«S3)

12.某同学在研究函数的性质时，受两点间距离公式的启发，将/(x)变形

2222

为/")=iy(x_0)+(0-l)+^(X-2)+(0-1)，则下列关于函数/(x)的描述正确的是

A.函数/(X)在区间［1,m)上单调递增

B.函数/(x)的图象是中心对称图形

C.函数/(X)的值域是［2后,+8)

D.方程/(/(x))=l+若无实数解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(-1,加)，3=(2,-3),若+则加=.

14.二项式(4-工)6的二项展开式中的常数项是.

X

15.将函数/(x)=sin2x+JJcos2x的图象沿x轴向左平移夕(夕＞0)个单位后得到函数g(x)的图象，

若g(x)为偶函数，则。的最小值为.

16.已知矩形ABCD满足/6=2百，AD=2,若将48。沿5。翻折到的位置，使得

平面_L平面8cP,M,N分别为4'D,8c的中点，则直线被四面体BCD的外接球

所截得的线段长为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

从①。=3,②③3sinfi=2sin/l这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的三

△/loc2

角形存在，求出b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△Z8C,内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=0T，3ccos8=3a+2"?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

18.（12分）

已知数列｛%｝的前n项的和为S”,且满足S,=2%—1（〃eN*）.

（1）求数列｛&,,｝的通项公式凡及S“.

（2）若数列｛4｝满足"=|S,-15|,求数列｛"｝的前〃项的和叶.

19.（12分）

东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离

家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力.某

轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）

每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，

每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标

准重新计费.上述标准不足一小时的按一小时计费.为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车

的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：

T（小时）(0,4](45](5,6]（6，刀(7,8](8,24]

频数（车次）10010020020035050

以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率.

（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车

时长与司机性别的2x2列联表:

男女合计

不超过6小时30

6小时以上20

合计100

完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？

(2)(i)X表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望£(才)；

(ii)现随机抽取该停车场内停放的3辆车，自表示3辆车中停车费用大于少(才)的车辆数，求产(J22)的

概率.

参考公式及数据：H———c——其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2»30.400.250.150.100.050.025

"o0.7801.3232.0722.7063.8415.024

20.(12分)

如图，四棱锥P—力88中，四边形是菱形，P4=PC,BD上P4,E是BC上一点、，且EC=3BE,

设NCfW=。.

(1)证明：PO,平面力BCD；

(2)若NB4D=60°,PALPE,求二面角Z-PE-C的余弦值.

21.(12分)

已知椭圆。：m+，=1(4>6>0)的离心率为等，其左、右焦点分别为大，鸟，点尸为坐标平面内的

f3TT3

一点，且OP=一，PFfPF,=一一，O为坐标原点.

24

(1)求椭圆C的方程；

(2)设〃为椭圆C的左顶点，A,8是椭圆C上两个不同的点，直线M4,MB的倾斜角分别为£,

1T

且a+4=],证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

22.(12分)

已知函数/(x)=e%x+a),其中e是自然对数的底数，aeR.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)设g(x)=/(x-a)-x2,讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由.

1.D【解析】因为/={x|—5<x<l},8=卜上244}={川—24x42},所以/n8={x|—2«x<l}.

2.C【解析】由（l+i）z=l得z=±i=，=；一gi，所以z的虚部为一g.故选C.

3.A【解析】因为1-sin[。+《）=cos1]—6）,所以i-；sin6-^^cos6=sin8，所以

—sin0+cos0-\所以sin（e+^J=,所以©052（夕+不）=1一5亩2（6+石）=1一§=§,

故选A.

4.C【解析】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4,又因为3名女干部不能单

（Q4、

独成一组，则不同的派遣方案种数为仁+甘-1人；=180.故选©.

IA2）

5.D【解析】对于选项A,当x=0时，Vzi不成立，故A错误；

对于选项B,命题“三凡beR,2+色＞2”的否定是“\/41€&2+色《2”，当。=3,6=1不成立,

abab

故B错误：

对于选项C,当一直线斜率为0,另一直线斜率不存在时，“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C

错误；

22

对于选项D,由方程」-----匚=1表示双曲线等价于（2+加）（加+1）＞0,即掰＜—2或加＞一1,所

2+加m+\

以“加＞-1”是“方程广-----匕一=1表示双曲线”的充分不必要条件，故D正确.故选D.

2+加〃？+1

【解析】/（X）的定义域为卜k#0},关于原点对称，且/（T）=皿=-叱=_/（X），.・・/（X）

6.B

-XX

为奇函数，图象关于原点对称，故A,C错误；当x＞0时，为（x）=2（l”x）,故当xe（0,e）时,

/'（x）＞0,/（x）单调递增，当xe（e,+8）时，/'（x）＜0,/（x）单调递减，故D错误，B正确.故选

B.

7.D【解析】如图所示，AEHBFHCD,四边形NCDE为梯形.

对选项A,由题知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；

对选项B,因为AEHBFHCD,所以“羡除”一定不是台体，故B正确;

对选项C,假设四边形NBbE和四边形8。尸为平行四边形，

则AE//BF/CD,AE=BF=CD,则四边形4C0E为平行四边形,

与已知四边形为梯形矛盾，故不存在，C正确.

对选项D,若贝IJ“羡除”有三个面为梯形，故D错误.

故选D.

8.C【解析】F(x)=(/(x)-l)(/(x)-4)=0,/(x)=l或/(x)=a,

x<0时,f(x)=xex+1<1,f(x)=(x+l)eA»

x<-l时,f'(x)<0,/(x)递减，T<x<0时,f\x)>0,/(x)递增,

.../(x)的极小值为"-1)=1」,又/(x)<l,因此/(x)=l无解.

e

此时/(x)=a要有两解，则1一2<。<1,

e

又/(X)是奇函数，...x〉。时，/(x)=l仍然无解，/(X)=a要有两解，则—1<》<，一1.

e

综上,—])u(l—,1].

故选C.

9.CD【解析】：〉0,6〉a〉0,•••〃>/,A错误；<网，B错误；g>1,C正确；,

D正确.故选CD.

22

10.ACD【解析】由双曲线方程匕—土=1知a=2,b=JL焦点在y轴，渐近线方程为丁=±3》=±缶,

42b

A正确；c7a2〃=&，以1月为直径的圆的方程是Y+/=6,B错；由

X=—y/2i—

,由对称性知M点横坐标是土亚，C正确;

歹=一2

S/ug=；|月眉除|=；*26*及=20，D正确.故选ACD.

11.ABD【解析】因为％=1吗=27%，所以有qd=27q•夕ng，=27=>夕=3,因此选项A正确；因为

S+2!(3'"+3)2

工=片=和"一1)'所以5〃+2=m+24(3"+3)'因为---------=1+中广常

1-323〃十幺—(3w+3)।十J

数，所以数列｛s,,+2｝不是等比数列，故选项B正确：因为Ss=；(35-1)=121,所以选项C不正确;

%=囚=3"’>°，因为当"23时，Iga“_2+lga“+2=lg(a"-2q+2)=lga/=21gq,，所以选项D正

确.故选ABD.

12.ACD【解析】设2(0,1),8(2,1),f(x)=J(x—O)2+(O—iy+J(x—2)2+(0-表示x轴上点

P(x,0)到48两点的距离之和，设。(L0),以A,B为焦点、,。为短轴上一个端点，作椭圆，x轴与

此椭圆相切于点0,当尸从。向右移动时，|/训+|。用逐渐增大，即函数/(x)在区间［1,+8)上单调

递增，A正确；当尸与°重合时，|/训+|尸8|最小，最小值为2夜，因此/(x)的值域是［2后,+8),

C正确；函数图象关于直线x=l对称，不是中心对称是，B错误；当x=0或x=2时，/(x)=l+V5，

由于/(x)22jl，因此/(幻=0和〃x)=2都无解，D正确.故选ACD.

QMP

13.8【解析】因为£=(—1,加)，3=(2,-3),所以£+25=(3,加一6).因为(£+2B)_L5,所以

a+2b\-b=6-3(m-6)=0,解得加=8.

14.15【解析】因为（4一工）6的展开式的通项是C；（J7严卷，当3—主=0时，厂

xx2

=2,所以展开式中的常数项是C；（-iy=15.

15.【解析】函数/（》）=而2乂+氐052工=2应吟+§,将函数/（x）的图象沿x轴向左平移8个单位

后，得到函数y=2sin（2x+2s++的图象，因为g（x）为偶函数，所以2。+。=版■+与丘Z）,则

k冗冗TT

夕=昼+丘（左eZ）.当左=0时，＜P=~-

原

16.【解析】过M做于点P,连接PN,因为平面平面8co，所以MPJ.PN,可

2

求得MP=Y3，8P=3,所以。P=3,在三角形。/W中，NPDN=30°,DN=6,所以PN=立,

2222

所以加乂=业1,由题意可知，四面体力BCD的外接为8。中点，设为。，过。做的_LW于，，连

2

接ON,可求得ON=1,从而得刚=叵，所以0。=、1^=啦,因为球的半径为2,故所截得的

4V164

线段长为2

17.(10分)

【解析】解法1：由正弦定理，得3sinCcos5=3sin[7r-(5+C)]+2sin^,

2

整理得3sia5cosc+2sin8=0.因为sinHrO,所以cosC=---.(5分)

3

解法2：由3ccos3=3a+2b,得34ccos5=3〃2+2Qb,

2222222

由余弦定理，得3(a+c-i)=6a+4abt整理得3^a+c-b)=4ah,

2

BP3abcosC+2ab=0.所以COsC=---.(5分)

3

选①Q=3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos=>21=9+/)2-6x/)x

所以〃+4b・12=0,解得方=2或b=・6(舍去)，

所以问题中的三角形存在.(10分)

选②5=-absmC=-abx—=—,故M=9,(7分)

8c2"AcBC2232

由余弦定理可得c2+a2+b2-2abcosC^>21=a2+b2+~a^>又a2+b2>2ab,

4in

所以21=/+b2+-ab>yab^ab<6,3,与必=9矛盾，

所以问题中的三角形不存在.(10分)

选③3sin8=2sirL4.由正弦定理得，3sin5=2sin/l=>3b=2a,(7分)

71

由余弦定理可得。2=〃+岳-2“6cosc=2l=—b2,

4

所以6=2或6=-2(舍去)，

所以问题中的三角形存在.(10分)

18.(12分)

【解析】(1)由S,,=2a“—1得：$=24-1,即q=l,

由S,=2a”-1得:5n+1=2an+1-l,两式相减得：an+l=2an+i-2a„,

即%+1=24，即数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，(4分)

则%=2"，

贝US=上三一=2"—1.(6分)

"1-2

,‘16—2"

(2)由⑴知：b„=2"-16,则〃=4，

2"-16(〃>4)

则当时，7；,=(16-2')+(16-22)+---+(16-2Z,)

=16»-(2'+22+---+2n)=16»-)

=16M-2,,+1+2：(9分)

当〃〉4时，

7；,=(16-2')+(16-22)+---+(16-24)+(25-16)+(26-16)+(27-16)+---+(2,,-16)

=27；+(2'+22+---+2,,)-16n

=2x34+20—216〃=2旬-16/+66，

1-2

16«-2,,+|+2(1<«<4)

则（,="''.(12分)

2"“—16〃+66(〃>4)

19.(12分)

100+100+200

【解析】（1）由题,不超过6小时的频率为0.4,则100辆车中有40辆不超过6小时,60

1000

辆超过6小时，（2分）

则2x2列联表如下:

男女合计

不超过6小时103040

6小时以上204060

合计3070100

根据上表数据代入公式可得小1篇*0**0.794<2,06

所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关.（5分）

(2)(i)由题意知：X的可取值为5,8,11,15,19,30,则

尸(X=5)=*(X=8)=>(X=ll)q,尸(X=15)=g，

71

P(Jf=19)=—,P(^=30)=—.(7分)

所以X的分布列为：

X5811151930

1171

?(X)

1010552020

（8分）

A£(^)=5x—+8x—+llxl+15x-+19x—+30x—=14.65.(9分)

v71010552020

1713（31。分）

（ii）由题意得P（X>14.65）干宗赤'所以"中"（1

5

所以P（*2）=P（­）+P（-固（|）+0二啜/备喘<2分）

20.（12分）

【解析】（1）•••四边形力8C。是菱形，二。是ZC的中点，BDLAC,

'：BD1PA，&口/。=/，二80，平面P4C,（2分）

♦.♦。。匚平面以。，，8。，尸。.

•:PA=PC,。是NC的中点，二尸OJ.4C.

•；ZCu平面Z8C。，80U平面力8C7）,AC^BD^O,

，PO_L平面N8CD.（5分）

（2）由（1）知，PO_L平面/BCD,BD1.AC.

...以。为坐标原点，以ON,OB,0。所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

设四边形力88的边长为4,PO=a.

•.•四边形/BCD是菱形，NR4。=60。，；.A4BD与ABCD都是等边三角形.

•*-OA=OC=2^5.

.-.P（0,0,a）,碓百,0,0）,C（-2A/3,0,0）,E,-,0,

[22,

PA=^2^3,0,—,PE=3,—Q,EC=f—^^-，―^-,0.（7分）

<22）（22,

VPA_LPE,**•PA-PE=^2>/3,0,—<2^,f—=0,

7

即一3+a2=0，得a=G-

一亭，|，同（9分）

・••莎=(230,-G),~PE=

7

设平面P4E的法向量为五=（%，M，zJ,

m-PA=2上x「A/3Z]=0/

5百、

由<_3，取Z1=2,得加=1,/；

r3

tn.pE=--X{+-yl-^zi=QI7

设平面PEC的一个法向量为〃=（/，为,Z2）,

无比=_述》3

2一5»2二°

2

由，,取》2=_1，得〃=.

n.PE=-^-

X2+5y2-2~0

2

设二面角N-PE-C的平面角为。，由图可得，。为钝角,

m•，7

贝ijcos0=-

网洞

...二面角4-PE-C的余弦值为—姮.（12分）

5

21.(12分)

【解析】（1）设尸（加,〃），耳（-c,0）,F2（C,0）,

由|。尸|=3,PF/PF,=-3可得nt?+"2=2,(-c-m,-n)(c-m,

11244

\222923

-w)=m-c+n=——c=——,

44

即有。2=3,即。=百，（2分）

又e=一字可得-2,底户7=1

2

则椭圆的方程为二+歹2=1.（4分）

4-

（2）设4占，乂），B（x2,y2）,由题意可得”（—2,0）,

若直线AB的斜