“追及”与“相遇”问题的分析方法种种

“追及”与“相遇”问题的分析方法种种朱建廉南京市金陵中学如果两物体于同一时刻到达同一位置，那么称为“相遇”；特别当两物体在同一直线上沿着同一方向运动而于同一时刻到达同一位置，那么称为“追及”。上述一段文本所描述的是一类运动学现象——“追及”与“相遇”的现象。

而作为一种独特类型的运动学问题，“追及”与“相遇”的问题所反映的是不同物体间的运动关系，相应的分析思路将呈现出多样化特征。本文通过典型例题的分析，介绍几种针对“追及”与“相遇”问题的常见分析方法。“追及”与“相遇”问题的分析方法种种方法之一：

——“大胆假设，小心求证”方法之二：

——“位移图像，形象直观”方法之三：

——“速度图像，计算面积”方法之四：

——“运动草图，梳理过程”方法之五：

——“临界分析，把握关键”方法之六：

——“相对运动，抓住本质”方法1：“大胆假设，小心求证”

例题1：如图1所示，小球A以v=4m/s的速度作匀速直线运动，物体B在其前方x0=7m处以初速度v0=10m/s开始运动，由于摩擦的作用而使其运动速度均匀减小，其加速度大小为a=2m/s2。问：小球A经多长时间追上物体B？

分析：由于是“匀速直线运动”追“匀减速直线运动”，所以“追及”应该不成问题。但是，由于物体B在摩擦作用下作匀减速直线运动，一旦速度减为零后就将保持静止状态。所以，相应的“追及”问题就存在着两种可能：第一种可能是“先追上，后停下”；第二种可能是“先停下，后追上”。而在做出定量分析之前，将无法判断上述哪种可能将会成真，这是此例的解答中最应该予以关注的问题。解答：不妨大胆假设第一种可能成真，即：“先追上，后停下”。于是便可由而解得〔舍去了一个负根：t=-1s〕在假设根底上列方程而求得的结论，必须通过验证方能最终确认。假设物体B的速度经时间t0而减为零，那么由可见：此例所对应的物理过程应该是“先停下，后追上”。相应的计算应为由此解得：小球A追及物体B所经历的时间为小结：在“追及”与“相遇”的问题中，常会存在着诸如：是否能够“追及”、是否能够“相遇”、在不同阶段“追及”或“相遇”等多种可能，而不同的可能所对应的计算又会是不同的依据。这就需要在某种可能尚未被确认的前提下而作“大胆假设”，同时对“大胆假设”根底上所获得的结论又必须经过“小心求证”方能最终确认。方法2：“位移图像，形象直观”

例题2：如图2所示，小球A以v=4m/s的速度作匀速直线运动，物体B在其后x0处以初速度v0=10m/s的作匀减速直线运动，其加速度的大小为a=2m/s2。请在x0分别取如下各个数值的基础上分析：物体B能否追上小球A？如果能追上，则在何时、于何处追上？（1）A与B间原始距离为：x0=8m；（2）A与B间原始距离为：x0=9m；（3）A与B间原始距离为：x0=12m。

分析：和例题1中的过程恰好相反：这次是“匀减速直线运动”追“匀速直线运动”。因此，是否能够“追及”就不能得到保证。相应的解答实际上也可以沿用例题1中所谓的“大胆假设，小心求证”的分析方法。但在这里，我们给出一种较为直观、较为形象的图上作业方法。解答：假设取物体B的出发点为坐标原点、初速度方向为参考正方向建立坐标，那么根据物体B的运动规律而代入数据可得：物体B的位移随时间变化的函数为在“x~t”坐标平面内，其图像如图2-1所示。在上述坐标下，根据小球A的运动规律假设将例题中所给的三组数据分别代入，那么依次得到小球A的位移随时间变化的三个函数分别为当把小球A和物体B的位移随时间变化的图像画在同一坐标平面内，那么分别如图2-2、图2-3和图2-4所示。于是〔1〕当小球A与物体B间原始距离为x0=8m时，xA1曲线与xB曲线相交，其两个交点的物理含义分别为：当t=2s时，物体B在小球A运动了xA=8m处追上小球A；当t=4s时，小球A在运动了xA=16m处再次追上物体B。〔2〕当小球A与物体B间原始距离为x0=9m时，xA2曲线与xB曲线相切，其切点的物理含义为：当t=3s时，物体B在小球A运动了xA=12m处勉强追上小球A。〔3〕当小球A与物体B间原始距离为x0=12m时，xA3曲线与xB曲线相别离而没有公共点，相应的物理含义为：物体B不能追上小球A。小结：此例的解答假设仿照例题1的“大胆假设，小心求证”的分析方法，那么可在“经时间t而相遇”的假设根底上，根据相关规律列出如下方程而将小球A与物体B间原始距离的三个数据分别代入，即可依次得到关于相遇时间t的三个方程，为上述三个“二次方程”的判别式的取值分别为恰与如图2-2中所示的xA1曲线与xB曲线相交、如图2-3中所示的xA2曲线与xB曲线相切和如图2-4中所示的xA3曲线与xB曲线相别离而形成了鲜明的“数形对照”。方法3：“速度图像，计算面积”

例题3：如图3所示，小物块A与小球B分别从斜面上相距x0的两处以同样大小的初速率v=4m/s沿斜面开始运动，小物块A沿斜面向下作匀速直线运动，小球B滞后时间t0启动而沿斜面向上作匀变速直线运动，其加速度大小a=2m/s2、方向沿斜面向下。若斜面足够长，且A、B的轨迹略错开些而不至相碰，则下列各种说法中正确的是（）A、若t0=0，x0<12m，则A、B将迎面相遇B、若t0=2s，x0=15m，则A、B将相遇两次C、若t0=2s，x0=25m，则A、B将不能相遇D、无论t0和x0取何值，A、B都将相遇两次分析：和前两例相比，此例所涉及到的运动关系具备着如下特点：第一，两物体先相向运动、然后又变为同方向运动；第二，两物体启动时间和出发位置均不同。对这类“追及”与“相遇”问题的解答，通常可以借助于“速度图像”来帮助分析。解答：取沿斜面向下为参考正方向，以A开始运动的时刻为计时起点，那么：当t0=0时，A、B的运动速度vA和vB随时间t变化的图像如图3-1所示；当t0=2s时，A、B的运动速度vA和vB随时间t变化的图像如图3-2所示。于是，针对各个选项的分析判断便可以借助于“速度图像”来进行。①当t0=0时，可由图3-1知：B经2s沿斜面向上运动而速度减为零，在这过程中A、B相向运动〔A沿斜面向下运动，B沿斜面向上运动〕，A的位移大小等于图中矩形的“面积”sA，B的位移大小等于图中三角形的“面积”sB。对相应“面积”进行计算不难得到A、B在这2s内的位移大小分别为其相对位移的大小为可见：在A、B相向运动的这2s内，A、B的相对位移大于其原始距离〔x0<12m〕，所以必将会在这相向运动的2s内迎面相遇。因此，选项A是正确的。②当t0=2s时，可由图3-2知：在6s末两物体速度相同前，A沿斜面向下运动的位移大小等于图中矩形的“面积”sA，而B那么沿斜面先向上运动、后向下运动，其位移大小分别等于图中三角形的“面积”sB1和sB2。对相应“面积”进行计算不难得到A、B在这6s内的位移大小分别为其相对位移的大小为可见：当x0=15m时，A、B在速度相同之前必将相遇，而在速度相同之后，由于B将继续加速，所以必将再次相遇，因此选项B是正确的；当x0=25m时，A、B在速度相同之前将不能相遇，并将永远不会相遇，因此选项C正确而选项D错误。上述分析说明：此例应选ABC。小结：假设借助于“速度图像”来分析“追及”与“相遇”问题，实际上就是把相应的物理问题的定量计算转化成“矩形”、“三角形”或“梯形”等几何形状的“面积”计算。显然，这样的转化对保证物理问题的正确分析应该是极为有利的。方法4：“运动草图，梳理过程”例题4：如图4所示为高速公路上用超声测速仪测车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到信号间的时间差，测出被测物体速度，图中P1、P2是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是P1、P2被汽车反射回来的信号，设测速仪匀速扫描，P1、P2之间的时间间隔Δt=1.0s，超声波在空气中传播的速度是v0=340m/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图Ｂ可知汽车在接收P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是s=

m，汽车的速度是v=

m/s。分析：此例中显性的运动物体似乎只有汽车，但实际上假设包括隐性参与运动的物体那么应该有四个，即：汽车、超声信号P1、超声信号P2以及超声测速仪。尽管运动的类型均为极其简单的匀速直线运动〔静止〕，但由于参与运动的物体较多、参与运动的物体相互间的“追及”与“相遇”过程纷繁复杂，所以就造成了分析与解答的困难。而突破“追及”与“相遇”过程纷繁复杂的难点，其最为有效、同时也是最为简单的方法就是：确定关键的“时间节点”，画出相应的“运动草图”。解答：相应的解答过程可按以下次序进行。〔1〕首先将测速仪匀速扫描的记录作所谓的“时空转换”如下表所给出〔2〕在实施了“时空转换”的根底上明确超声信号P1、P2在测速仪和汽车之间往返运动时的各“时间节点”：假设将超声信号与测速仪别离〔发出〕、与汽车相遇〔被反射〕、与测速仪相遇〔回收〕的时间节点分别记为“P1与P2”、“F1与F2”和“n1与n2”，并取“时间节点P1”为计时起点，那么各个“时间节点”所对应的时刻如下表所给出〔3〕把握了较为关键的“时间节点”，明确了汽车的运动方向〔由于Δt1>Δt2，因此可以判断：汽车是向着测速仪运动的〕，在这根底上便可以按照所明确的“时间节点”而把汽车的运动分为假设干阶段，并画出用于梳理运动过程的“运动草图”如图4-1所示〔4〕画出清晰的“运动草图”后，具体的计算就显得如此之简单了：由图4-1得最终可解得小结：无论是汽车，或者是超声信号，做的都是最为简单的匀速直线运动，可由于超声信号往复运动而反复与测速仪、与汽车“别离”与“相遇”，从而造成了运动关系的复杂性，而梳理复杂运动关系的最有效的方法就是：找出“时间节点”并画出“运动草图”。方法5：“临界分析，把握关键”例题5：如图5所示，小球A自距地面h高处由静止释放的同时，小球B自其正下方的地面处竖直向上抛出，则（1）欲使两球在B球的上升阶段相遇，B球的初速度应如何？（2）欲使两球在B球的下降阶段相遇，B球的初速度应如何？（3）B球的初速度满足怎样的条件能使两球不能在空中相遇？分析：这是一道典型的“追及”与“相遇”问题。由于对其“相遇”现象所发生的阶段作出了特定的要求，所以在相应的解答过程中，对“相遇”现象发生于各个阶段的临界状态的分析，应该成为关键。解答：由于两球相遇的情况存在着如下三种可能性：第一，相遇于B球的上升阶段；第二，相遇于B球的下降阶段；第三，相遇于地面而不能相遇于空中。考虑到：前两种情况的临界状态是两球相遇时B球恰好处在上升的最高点；后两种情况的临界状态是两球恰好同时着地。于是，不妨先针对两种临界状态作定量分析：设与上述两种临界状态所对应的B球初速度分别为v1和v2，那么可根据相应的运动规律得到由此解得于是，此例的结论分别为〔1〕欲使两球在B球的上升阶段相遇，B球的初速度v01应满足〔2〕欲使两球在B球的下降阶段相遇，B球的初速度v02应满足〔3〕欲使两球不能在空中相遇，B球的初速度v03应满足小结：假设对发生“追及”与“相遇”现象所处的阶段提出特定要求，那么此类“追及”与“相遇”问题的解答就必将是：以所谓的“临界分析”为关键。方法6：“相对运动，抓住本质”例题6：如图6所示，长度为L=1m的直管悬挂于高空，其上端距地面的高度记为h，在直管正下方的地面上有一个小球，小球的直径略小于直管的内径。在剪断直管悬线的同时，A、小球在空中运动时能否从直管上端穿出，与h的取值有关B、小球在空中运动时能否从直管上端穿出，与h的取值无关C、只要小球能从直管上端穿出，则通过直管的时间必为0.1sD、即使小球能从直管上端穿出，其通过直管的时间也应与h的取值有关使小球以初速度v0=10m/s竖直上抛，重力