统计、概率、离散型随机变量及其分布列-2023年高考数学考试（新高考）（原卷版）

专题14统计及统计案例、概率、随机变量及其分布列

易命台所

一、互斥事件与对立事件关系模糊致错

1.某省高考实行新方案.新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政

治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经

确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的

选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为()

A.相互独立事件B.对立事件

C.不是互斥事件D.互斥事件但不是对立事件

【错解】选B,该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，所以该考生“选

择思想政治、化学'’和"选择生物、地理”是对立事件.

【错因】

【正解】

2、某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅。记A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”,C=“至

多订一种报“，D="不订甲报”，E="一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥

事件，再判断是不是对立事件。

①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C

【错解】选①或③或④或⑤

【错因】

【正解】

二、使用概率加法公式忽略成立条件致错

3、抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件/表示“朝上一面的

数是奇数”，事件3表示“朝上一面的数不超过3"，求P(ZIJ8).

41al11

【错解】因为P⑷=2=∙l,尸(B)=2=∙L,所以P(NUB)=P(Zl)+尸(B)=∙L+∙k=I.

626222

【错因】

【正解】

三、求古典概型的概率基本事件重复或遗漏致错

3.已知函数√(x)=53+αχ2+62χ+ι,若α∈{i,2,3},∕)∈{0,l,2},则该函数有两个极值点的

概率为()

A3

3

C.-

9

【错解】选C,/α）=∕+2G+b2,由题意知方程，（X）=O有两个相异实根，

22

J=（2α）-4h>0,即a>b,有α=l,6=0:α=2,b=↑;a=3t6=0,1,2,

共有5种，总的情况有3X3=9种，所以所求概率为g=2.

93

【错因】

【正解】

4、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等

于（）

ʌ,ɪB.1e,ɪDɪ

10865

【错解】选A或B或C

【错因】

【正解】

5、箱子中有6件产品,其中4件正品,2件次品,每次随机取出1件检验,直到把所有次品检验

出停止,则检验4次停止检验的概率为一.

【错解】I=CJyi=I

45

【错因】

【正解】.

四、对条件概率概念理解不透致错

6.己知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置，

现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到螺口灯泡的条

件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为（）

1997

A.1B.-C.-D.1

444119

【错解】选B,共有12只灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，共有12x11种，则第1

次抽到螺口灯泡，第2次抽到卡口灯泡，共有3x9种，则在他第1次抽到螺口灯泡的

条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为尸=土上=2。

12x1144

【错因】

【正解】

7.第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只.先从第一个袋中任取一

球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为（）

A.112B.-C,4-D.11

7772

【错解】选D,若从第一个袋中取的的是白球，则R=∙Lχ3,若从第一个袋中取的的是黑球，

'27

则E=，X3,则两次均取到白球的概率为6+R=，XW+LX3=，.

227-27272

【错因】

【正解】

8、假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1名女孩,则其至少有1个男孩

的概率为.

【错解1】此家庭有3个孩子共有（男，男，女），（女，女，男），（男，男，男），（女，女，女）

21

4种可能，故其中有1名女孩条件下至少有1个男孩的概率为［=5.

【错因】

【正解】

【错解2】记事件A表示“其中有ɪ名女孩”，B表示“至少有1个男孩”，

3

则小）=%MT

8

【错因】

【正解2】

五、求离散型随机变量分布列时忽视所有事件概率和为1致错

8、若随机变量X满足P(X=z)=Wx(i=1,2,3,4),则P(X>√5)=—.

【错解】因为P（XT=向,所以p(x>>Λ)=尸(X=3)+P(X=4)

_aa_Sa_2a

^l2+20^60^T5

【错因】

【正解】

9、某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有四次参加考试的机

会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止。

如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9o求在一

年内李明参加驾照考试的次数X的分布列。

【错解】随机变量X可取1，2,3,4,则P(X=I)=O.6,MX=2)=0.4x0.7=0.28,

P(X=3)=0.4X0.3X0.8=0.096,P(X=4)=0.4x0.3x0.2x0.9=0.0216,

••・李明参加驾照考试的次数X的分布列为

X1234

P0.60.280.0960.0216

【错因】

【正解】

六、混淆超几何分布和二项分布的概念致错

10、某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已

知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工《从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品,

员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工/抽取到的3件产品中次品数量为

X,员工8抽取到的3件产品中次品数量为匕k=0,L2,3.则下列判断正确的是()

A.随机变量X服从超几何分布B.随机变量Y服从超几何分布

C.P{X=k)<P(Y=k)D.E[X)=E(Y)

【错解】AD,对于A,B选项，由超几何分布的概念可知A正确;

对于D选项，该批产品有M件，则E(X)=3-工=竺，

MM

qkC比C=弋kC∏C=15SI)(M-2)=_15

⅛⅛一⅛Ct-M(Λ∕-1)(Λ∕-2)-Λ∕因此D正确;

对于C选项，假若C正确可得E(X)<E(Y),则D错误，矛盾！故C错误.

【错因】

【正解】

11、某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)

进行田间试验.现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种

乙，种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X,求P(X=2).

【错解】根据题意可知X服从二项分布，每块地种甲的概率为去，故X~8(4,0.5),

P(y=2)=C^×0.52×0.52=∣.

【错因】

【正解】

七、分不清独立重复试验与相互独立事件致错

12、甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是2和L假设两人击中目标与否相互之

32

间没有影响，每人各次击中目标与否相互之间也没有影响，若两人各射击4次，则甲恰好有2

次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为.

【错解】设事件N表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”，事件8表示“4次射击中乙恰好

有3次击中目标”，由题意知事件力与8相互独立，

所以P(AB)=P{A)P(B)=0×G1=±

18

【错因】

【正解】

八、独立性检验问题中对片的值理解不准确致错

13.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的列联表.参照附

表，能得到的正确结论是()

男女合计

爱好-402060

不爱好203050

合计6050110

«4n(ad-bCy

'(α+ft)(c+√)(α+c)(⅛+√),

a0.050.0100.001

Xa3.8416.63510.828

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【错解】C

【错因】

【正解】

14、在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机

变量片的观测值左=56∙632∙在犯错误的概率不超过0.001的前提下,下面说法正确的是O

下面临界值表供参考

P(κ2≥k)

00.0250.0100.005().001

k5.0246.6357.87910.828

A.由于随机变量K2的观测值k>10.828,所以“吸烟与患肺癌有关系'',并且这个结论犯错误的

概率不超.OOOl

B.由于随机变量K2的观测值k>10.828,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的

概率不低于0.001

C.由于随机变量长2的观测值左>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有•关系”,并且这个结论犯错误

的概率不超过0.001

D.由于随机变量K2的观测值左>10.828,所以“吸烟与患肺癌线有关系”,并且这个结论犯错误

的概率不低干0.001

【错解】B

【错因】

【正解】

九.对于综合性问题事件分拆混乱致错

15、某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部

分考核都是“合格”则该课程考核“合格”.甲,乙,丙三人在理论考核中合格的概率分别为

0.9,0.8,0.7,在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响.

(1)求甲,乙,丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

(2)求这三人该课程考核都合格的概率.(结果保留三位小数)

【错解】(1)设甲,乙,丙至少两人合格为事件4

P(Z)=O.9x0.8x0.3+0.9x0.2x0.7+0.1x0.8x0.7=0.402.

⑵设三人都合格为事件8,P(B)=O.9x0.8x0.7=0.504.

【错因】

【正解】

L一个射手进行射击，记事件4=“脱靶"，A2=“中靶”，A3="中靶环数大于4”，则

在上述事件中，互斥而不对立的事件是（）

A.4与A2B.A1与Ai

C.A2与AiD.以上都不对

2.某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的

方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名,

则每名学生入选的可能性（）

A.都相等且为"ɪB.都相等且为j-

202340

C.不完全相等D,均不相等

3.为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验田.这〃块地的亩产量（单位：kg）分别为

XI,X2,…，X,”下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）

A.Xi,X2,∙∙∙,X”的平均数B.Xl,X2,∙∙∙,X”的标准差

C.XI，X2,…，X"的最大值D.Xl，X2,"∙,X"的中位数

4.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分

布直方图如图所示.在这些用户中，用电量落在区间［150,250）内的户数为（）

5.（多选）某篮球职业联赛中，运动员甲在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表（不包含罚球）：

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件从“投中三分球”为事件8,'‘没投中"

为事件C,用频率估计概率，则下述结论正确的是（）

A.P（4）=0.55B.P（2）=0.18

C.P（C）=O.27D.P（β+O=0.55

6.某校为了解学生体能素质，随机抽取了50名学生，进行体能测试.并将这50名学生成绩整理

得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图.下列结论中不正确的是（）

A.这50名学生中成绩在［80,100］内的人数占比为20%

B.这50名学生中成绩在［60,80）内的人数有26人

C.这50名学生成绩的中位数为70

D.这50名学生的平均成绩f=68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）

7.德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均

匀的.最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义

音节（由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作为记忆材料，用节省法

计算保持和遗忘的数量，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯遗忘曲

线（如图所示）.若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听

写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约

为（）

艾宾浩斯遗忘曲线

t记忆的百分比

100%

44%…少时后忘记56%

26%____i>⅛>rlj⅛g⅞⅛74⅜

2现....［月后忘记79%

01小1天后1个学习后经

时后月后过的时间

A.0.43B.0.39C.0.26D.0.15

8.某地市在一次测试中，高三学生数学成绩J服从正态分布N（80,4）,已知P（60<J<80）=0.3,

若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以下的试卷中应抽取（）

A.20份B.60份C.80份D.90份

9.某种包装的大米质量4（单位：kg）服从正态分布J〜N（IO,a?）,根据检测结果可知

尸（9.98≤J≤10.02）=0.98,某公司购买该种包装的大米3000袋.大米质量在10.02kg以上的袋

数大约为（）

A.10B.20C.30D.40

10.第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只.先从第一个袋中任取

一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为()

A.112B.-C.4-D.11

7772

11.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率

3

均为二，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概

4

率为()

12「24

A.-B.-C.~D.—

3535

12.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，

先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以4,4和4表示由甲口袋取出的球是红球，白球

和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下

列结论中正确的是()

A.P(8∣4)=∖B.事件4与事件8相互独立

I3

C.尸(4⑻=5D.P(5)=-

2

13.已知两个随机变量X,Y,其中Y-N(μ,σ](σ>0),#E(X)=E(Y),月.

P(IykI)=O.3,则尸(y<-ι)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1

14.有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅

游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事

件/为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则尸(8M)=()

ʌ7ŋ7「36

A.——B-C.-γDλ-

16877

15.两个具有线性相关关系的变量的一组数据(西，yl)(χ2,y2),…，(当，y„),下列说法错误的

是()

A.落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好

B.相关系数H越接近1，变量X，y相关性越强

C.相关指数后越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差

D.若X表示女大学生的身高，N表示体重，则斤aθ,65表示女大学生的身高解释了65%的体

重变化

16.下列说法正确的序号是（）

①在回归直线方程j>=0∙8x-12中，当解释变量X每增加一个单位时，预报变量》平均增加0.8

个单位；

②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得*（%-bx,-α）2最小的原理；

n

③已知X,y是两个分类变量，若它们的随机变量K2的观测值《越大，贝『'X与Y有关系”的把

握程度越小：

④在一组样本数据（x∣∕J,（巧，/），…，（X,”Xl）（n≥2,χ∣,x2,£不全相等）的散

点图中，若所有样本（x,,y,）（i=l,2,…〃）都在直线y=-；x+l上，则这组样本数据的线性相关系

数为

2

A.①③B.①②C.②④D.③④

17.已知由样本数据点集合{（匕，M）Ii=1,2,…，〃},求得的回归直线方程为J=1.5x+0.5,

且彳=3,现发现两个数据点（1.3,2.1）和（4.7,7.9）误差较大，去除后重新求得的回归直线

/的斜率为1.2,则（）

A.变量X与N具有正相关关系B.去除后的回归方程为f=L2x+1.6

C.去除后夕的估计值增加速度变慢D.去除后相应于样本点（2,3.75）的残差为0.05

18.一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的黄球，

编号为7,8,9,10.现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）

A.X表示取出的最小号码

B.若有放回的取球时，X表示取出的最大号码

C.取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分

D.若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数

19.抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件4

“骰子向上的点数是3”为事件8,则事件/,8中至少有一件发生的概率是.

20.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表（已知学生的数学和物理成绩具有线性相

关关系）：

学生的编号i12345

数学成绩X8075706560

物理成绩y7066686462

ΛA

现已知其经验回归方程为y=0.36x+m则根据此经验回归方程估计数学得90分的同学的物

理成绩为分.(四舍五入取整数)

A

21.X和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用N=Ciec2X拟合时的决定系数为此，用y

AA

=⅛x+”拟合时的决定系数为田，则鹿，及？中较大的是

3OOOy

2500

2000

1500•

IOOO,.

500,•.

ol一一―一，，，，：,，》

O12345678910«

22.已知离散型随机变量X的分布列为

X012

P0.51-Iq

则常数4=.

23.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布MlIoJ。?).已知P(IOoVXWIlO)

=0.34,估计该班学生数学成绩在120分以上的有人.

24.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的

概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是.

25.设某种灯管使用了50Oh还能继续使用的概率是0.94,使用到70Oh后还能继续使用的概率

是0.87,问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是.

26、有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取1粒，

则这粒种子能成长为幼苗的概率为.

27.一个口袋里装有大小相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个，现从中任意取

出4个小球.

⑴求其中恰有2个小球颜色相同的概率；

(2)设变量X为取出的四个小球中红球的个数，求X的分布列、数学期望和方差.

28.甲、乙去某公司应聘面试.该公司