高中数学圆锥曲线系统讲解第6讲《通径公式》练习及答案

第6讲通径公式

知识与方法

1.椭圆的通径公式：如图1所示，在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，通

径的长

2.双曲线的通径公式：如图2所示，在双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦叫做通径，

2h2

通径的长=

3.抛物线的通径公式：如图3所示，在抛物线中，过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通

径，通径的长|AB|=2p.

图3

典型例题

［例1］椭圆C:.+£=l的左焦点为凡过尸且与x轴垂直的直线交椭圆C于/、8两

42

点，则|A8|=.

【解析】由通径公式，=舒=2

【答案】2

变式1椭圆C:?+］=l的左、右焦点分别为耳、F2,点/在椭圆C上，且Ag的中点

在y轴上，则tan/aA6=.

【解析】如图，设Ag的中点为M,又。为耳玛的中点，所以0M是&A斗6的中位线，故

,2

AF,//0M,因为OMJ_x轴，所以A片，x轴，从而同耳|=上=1,

易求得忻段=20,所以tanN/^A8=^^=2板.

1

【答案】2血

2

变式2椭圆C：5+V=l的右焦点为片上、下顶点分别为M、M过E且与'轴垂直的

直线交椭圆C于/、B两点,则以/、B、M、N为顶点的四边形的面积为.

【解析】如图，四边形A8MN为等腰梯形，

2x1

由通径公式,=72,显然|MN|=2Z>=2,

梯形的高人=|。目=1,

所以梯形A3MN的面积5=9(&+2卜=告+1.

【答案】—+1

2

22

变式3椭圆<7:%+%=1(4>6>0)的左焦点为尸，右顶点为4过尸且与x轴垂直的直

线与椭圆C的一个交点为8,若直线AB的倾斜角为150°,则椭圆C的离心率为.

【解析】如图，直线48的倾斜角为150。=/区4/=30。=|4同=6忸尸|=4+0=6.1,

所以/+ac=y/ib2=>/3o2—旧c1,从而V3c2+ac+(1=0,

两端同除以/可得：V3^2+e+l-^=0,

所以(&+l-6)(e+l)=0,解得：e=l-g或-1(舍去)

2

【答案】1--

3

【例2】双曲线C：《-V=1的左焦点为尸，过尸且与x轴垂直的直线交双曲线C于4B

两点，则|4同=.

2b22x12石

【解析】由通径公式,

1^1=。一百一3

【答案】孚

变式1双曲线C:f-y2=i的左、右焦点分别为耳、F2,过招且与x轴重直的直线交双

曲线C于4、8两点，则,ABf；的面积为.

【解析】如图，由题意，僧图=2c=2&,

，序1

由通径公式，1\AB1\=a——=2,所以S»八叫"=—2x2x2&=20.

【答案】2垃

22

变式2双曲线C:'-/=1(4>0/>0)的左焦点为「右顶点为儿过尸且与x轴垂直的

直线与双曲线C的一个交点为8,若tanNFBA=G，则双曲线C的离心率为.

【解析】如图，由题意，tanNEBA=F4=W£=&g=Tt2=，一=Jj,

\FB\b~b~c~-a~c-a

a

3

所以a=V5c-，从而(6+l)a=6c，

所以双曲线c的离心率”『等，乎.

【答案】1+且

3

【例3】抛物线C：V=6x的焦点为尸，过尸且与无轴垂直的直线交抛物线C于48两点,

则|A8卜.

【解析】由通径公式，|A8|=2p=6.

【答案】6

变式1已知。为坐标原点，抛物线C：V=4x的焦点为尸，尸为C上一点，尸尸与x轴垂

直，0为x轴上一点，且PQLOP,贝%OPQ的面积为.

【解析】如图，由题意,F（1,O）,所以|OF|=1,

由通径公式，|PF|=2,\0P\=7|OF|2+|PF|2=75,

因为PQLOP,所以0POFiQOP,

而阻=石，所以5,00=55,8=5x1x1x2=5.

OFPOQ1m2

【答案】5

变式2（2021•新高考I卷）已知0为坐标原点，抛物线（7:丁=2°小（0>0）的焦点为尸,

P为C上一点,PF与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQ_LOP.若怩。|=6,则C的准线方

4

程为_________.

【解析】如图，将X=5代入y2=2px解得：y=±p,不妨设pR,p

仁+

|FQ|=6nQ6,0因为PQ_LOP,所以k°p-kpQ=2-

3

故抛物线C的准线方程为x=--.

2

解法2：如图，由题意，FR,OL\OF\=^,由抛物线的通径公式可得|PF|=P

=tanNPOF=已=2,

所以直线。P的斜率心.

1M

因为PQLOP,所以直线尸。的斜率为

从而tanNPQF='，又tanNPQF=b=£,

2\FQ\6

所以R=解得：p=3,故抛物线C的准线方程为x=-3

622

3

【答案】x=--

2

22

变式3（2021•天津）已知双曲线C:点-£=1（°>0,匕>0）的右焦点与抛物线丁=2川

（p>0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于48两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，

若|。|=夜恒回，则双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

【解析】如图，设双曲线的右焦点为（c,0），则该点也是抛物线的焦点，所以抛物线的准线

x=-c

为工=-C,故AB是双曲线的通径，由通径公式，恒阳=竺■，联立，b解得：尸土",

y=±-xa

a

5

所以仁必=亍,因为|CD|=3|AB],所以y=VL子,

从而C=y[2b不妨取。=1,

【答案】A

强化训练

1.(★★)椭圆C:0+V=1(。>1)的左、右焦点分别为耳、F2,过用且与x轴垂直的直

线交椭圆C于/1、8两点，若r.AB-的面积为班，则椭圆C的离心率为.

【解析】如图，忸6|=2>/7二F,由通径公式，h同=［，

所以$孙=千加|忻闵=35-2后=7=吗m,

由题意’吁坨，所以椭圆c的离心率”方二等

2.(★★)已知抛物线C:y2=2px(0>O)的焦点为F,O为原点，点P在抛物线C上且

PF_Lx轴，则直线0P的斜率为.

【解析】如图，由通径公式，|PF|=p,又|OF|=g

所以直线OP的斜率Z=tan/P。尸—=2.

|OF|

6

【答案】2

22

3.（★★）已知双曲线C:斗啧=1（a>0力>0）的上焦点为凡过尸且与y轴垂直的直线

交双曲线C于/、8两点，若|4B|=2a,则双曲线C的渐近线方程为.

【解析】由通径公式，|4叫=詈,又陷=2a,

所以"1=2“，从而b=a,故离心率6="「十'=&.

aa

【答案】V2

22

4.（★★★）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点尸也是双曲线C:*■-1=1（a>0,6>0）

的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过兄则该双曲线的离心率为.

【解析】如图，设双曲线的半焦距为c,

匹c

由题意，g=c,，消去P化简得：b2=2ac,

—=2p

2

所以一/_2ac,从而°2一2ac-6Z=0,

故〃一2"1=0,解得e=l+0或1一垃（舍去）.

【答案】1+V2

5.（2017•新课标I卷•★★★）已知尸是双曲线。-二=1的右焦点，P是。上一点,

3

且尸尸与冗轴垂直