2022-2023上海七宝中学高三年级上册期中数学试卷及答案

七宝中学2022学年第一学期高三年级数学期中

2022.11

一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第16题，每空填对得4分；第7T2题

每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.

1.函数/.(x)=3cos2x+1的最小值为.

上士的定义域为

2.函数〃x)=

3+x

3.若力={y-2x+2},且则一彳的取值范围是

4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活

动的概率为.

/j、的展开式中的常数项为-3,则实数a的值为

5.若ax24—~r=

、Yx>2

6.函数y=lgsinx的单调递增区间是

7.函数/（x）=coss（a）>0,Z）的值域中仅有5个不同的值，则外的最小值为.

8.设/a）=cosox+bx+2"（xwH）,a,b,cwH且为常数。若存在一公差大于0的等

差数列使得{/（X,,）}为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组

a,b,c的值.（答案不唯一，一组即可）

9.已知片（芭,凹），鸟（马,必）两点均在双曲线「：二—/=l（a〉0）的右支上，若

x,x2>乂必恒成立，则实数a的取值范围为.

10.已知函数/（x）=-x2+x+m+2,若关于x的不等式/（x）之忖的解集中有且仅有一个

整数，则实数w的取值范围为.

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11.已知数列｛q｝满足=a"q+l（〃eN*）,设S.=—+—,

%a2an4T

则数列｛4｝的首项q的值为.

Y

12.若对任意xe（L词，不等式（lna+x），＞—Inx恒成立，则实数a的取值范围是.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生把答案写在答

题纸的相应题号上，写对得5分，否则一律零分.

13.已知数据…,x”是上海普通职工〃（〃23,〃eN*）个人的年收入，设这〃

个数据的中位数为筋平均数为八方差为z,如果在加上世界首富的年收入匕小，则这〃+1

个数据中，下列说法正确的是（）

A.年收入平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变

B.年收入平均数大大增加,中位数可能不变，方差变大

C.年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变

D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

14.将函数^=5皿（48+。）的图象上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿

TT

着X轴向右平移一个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（）

6

15.双曲线与-=1绕坐标原点。逆时针旋转a后可以成为函数/（x）的图象，则a的角

度可以为（）

A.30°B.45°C,60°D.90°

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16.定义域为7?的函数/(x)的图象关于直线x=l对称，当xe[O,l]时，/(x)=x,且对

任意xe/?,有/(x+2)=-/(x),g(x)=f，则方程g(x)-g(-x)=O

Tog2弊(T)，(X<0)

实数根的个数为()

A.2024B.2025C.2026D.2027

三、解答题(本大题共65题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必

要的步骤.

17.(本题满分10分)本题共2小题，第1小题5分，第2小题5分.

如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形/及力(及其内部)以为所在直线为旋转轴旋

转120°得到的封闭图形.

(1)设8C=1,AB=2,求这个几何体的表面积；

(2)设G是弧防的中点，设尸是弧刃上的一点，且求异面直线/G与9所

成角的大小.

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18.(本题满分10分)本题共2小题，第1小题5分，第2小题5分

为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民收入进行了抽样调查，并

将调查数据整理得到如下频率分布直方图；根据直方图估算：

(1)在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间［1000,1500)内的概率;

(2)该地区在岗居民月收入的平均数和中位数.

19.(本题满分14分)本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

设函数/(x)=J5sin(①x+/)(ty＞0,0＜夕＜〃)，该函数图像上相邻两个最高点间的

距离为4万，且〃x)为偶函数.

(1)求。和夕的值；

(2)在中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,

求+的取值范围.

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20.(本题满分14分)本题共2小题，每小题7分.

某药企业投入资金进行某种新药开发和市场投放，根据规划，本年度投入800万元，以后每

年投入将比上年减少,。本年度市场收入估计为400万元，由于该项建设对市场的促进作用,

5

预计今后的市场收入每年会比上年增加,.

4

(1)设〃年内(本年度为第一年)总投入为%万元，市场总收入为勿万元，写出4，bn

的表达式；

(2)至少经过几年市场的总收入才能超过总投入？

21.(本题满分14分)本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

令H(x)=max{〃x),g(x)}=J(xeH)

[g(x)(/(x)<g(x))

(1)若/(x)=l—2x2,试写出〃(x)的解析式并求的最小值.

(2)已知〃x)是严格增函数，g(x)是周期函数，人(月是严格减函数，XGR,求证:

G(x)=max{〃(x),/?(x)}是严格增函数的充要条件：对任意的xe及,/(x)Ng(x),

/(x)>/?(%)«

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22.(本题满分14分)本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

记/'(x),g'(x)分别为函数/(x),g(x)的导函数.若存在x°e及,满足/(xo)=g(x。)

且/'小)=8'小)，则称X。为函数/(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)若函数/(x)=ax2-1与g(x)=Inx存在"S点",求实数a的值;

X

/7P5

(2)已知函数/(x)=—f+a,g(x)=—,对任意a>0,判断是否存在Z)>0,使函

数/(x)与g(x)在区间(。,+8)内存在“S点”，并说明理由.

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参考答案

一、填空题

3.fo,1;

1.-2;2.(-3,1];4.一;5.—;6.|2k元,2k兀H—，左£Z;7.—;

8212」9

乃34,+00

8.a—kji+~^(kwZ),6=0,c=l;9.[1,+8);10.[—2,—1)；11.—12.

e

二、选择题

13.B14.D15.C16.C

三、解答题

17.(1)24+4(2)30°

18.(1)0.1(2)2400

19.(1)co—~(2)[g，3

x~-2x,x<—

3

21.(1)x2-2x,x>1(2)略

1—2x2,—<x<1

3

22.(本题满分14分)本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

记/'(x),g'(x)分别为函数/(x),g(x)的导函数.若存在玉),满足/(工户8优)

且广(x°)=g'(x°),则称/为函数/(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在"S点"，求实数a的值;

X

Az?2

(2)已知函数/(x)=—x2+a,g(x)=——，对任意a>0,判断是否存在6>0,使函

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数/(X)与g(x)在区间(0,+8)内存在“S点”，并说明理由.

【答案】(1)«=-(2)见解析

2

【解析】⑴/'(x)=2ax,g'(x)=Lx>0,由/'(8)=8'(彳)得，=2。彳,