河北省唐山（唐山市）高三年级下册二模考试数学试题

唐山市2022年普通高等招生统一考试第二次模拟演练

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合A={0,l,2},B={x∖x≥2},则A0&8)=()

A.{0,l,2}B.{0,l}c.{2}D.{x∣x<2}

2.已知复数Z满足(2+i)z=3-i,则IZl=()

A-1-iB-1+iC.y∣2.D.2

3.将函数/(x)=SinX图象向右平移W∙个单位，可以得到()

A.y=sinx图象B.y=cosx的图象c.y=-sinx的图象D.J=_COS元的图象

4.如图，圆锥的轴为PO,其底面直径和高均为2,过PO的中点。Ι作平行底面的截面，以该截面为底面

挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为O

A.2:1B.5:3C.3:1D.8:3

5.F为抛物线。：丁=4χ焦点，点M(m,4)在C上，直线MF交C的准线于点N,则IRVl=()

510

A.—B.——C.5D.12

43

6.已知实数X,y满足χ2+4y2=5,则x+2y的最大值是()

A.√ioB.√5C.6D.3

7.已知函数〃X)=石胃，若"2x)>∕(l-x),则X的取值范围是O

A.(一局BDɑ⅛÷∞)D,

π

8已知0<£<£<27，函数/(x)=5Sin%--，若/(α)=/(P)=1，则cos(尸-α)=O

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则O

A.∕ι=9B.n=ll

C.常数项是672D.展开式中所有项的系数和是-1

10.小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单

坐公交车时间为X骑车时间为y

基于以上统计信息，则O

A.骑车时间的中位数的估计值是22分钟

B.骑车时间的众数的估计值是21分钟

C.坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟

D.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

11.双曲线具有如下光学性质：如图片，居是双曲线的左、右焦点，从右焦点F?发出的光线m交双曲线

r22

右支于点P，经双曲线反射后，反射光线C的反向延长线过左焦点若双曲线C的方程为三-v二=1,

916

下列结论正确的是O

ʌ.若〃2_L〃，则IPKHP周=16

B.当"过Q(7,5)时，光由巴→P→Q所经过的路程为13

则k∣∈0,|

C.射线n所在直线的斜率为k,

D.若T(LO),直线PT■与C相切,则IPKl=I2

12.如图，正方体ABCD-AMG。中，顶点A在平面ɑ内，其余顶点在ɑ的同侧，顶点从，B,C至Ua

的距离分别为遍，1,2,则O

B.平面AAC_L平面α

C.直线ABl与α所成角比直线AA与C所成角大D.正方体的棱长为2J5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量α=(l,0),⅛=(0,-l),若2α+38与Xa-6Z?共线，则实数X=.

14.若圆C:/+/+DV+2y=o的圆心在直线χ-2y+l=0上，则C的半径为.

15.己知数列｛可｝满足q=%=0，∣4,+∣^^ɑ,J=2，则｛α,J前5项和的最大值为.

16.若函数/(x)=χ2InX,g(x)=xe",则/(x)的最小值为；若a,b>O,且/(α)=g仅),

则a—4的最小值为_____.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等比数列｛a“｝满足q+4=20,a3-a,=60,〃eN*.

(1)求｛α,,｝的通项公式;

bb

(2)记2=1082。“，Cn=--+-ɪ,求数列｛c“｝的前n项和S“.

b"¼ι+ι

18._ABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,已知α=2,αcosC+ɔ^-tzsinC=b∙

3

(1)求A；

B

(2)若点。在8C边上，AD平分NBAC,且AO=X—,求ABC的周长.

3

19.如图，ABC是边长为46的等边三角形，E,F分别为AB,AC的中点，G是；ABC的中心，以EF

为折痕把..但`折起，使点A到达点P的位置，且PGJ•平面A8C.

(1)证明：PB1AC；

(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值.

20.目前，全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全

国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是用机的.

(I)A省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3

门参加选择性考试.求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；

(2)B省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化

学、生物4门科目中任选2门.

①求乙同学同时选择物理科目和化学科目概率；

②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史.现从

这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选历史的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学

期望.

22

21.已知椭圆E:'+>2=1的右焦点为F,椭圆「：,+/=2(∕>1).

(2)如图：直线/：x=my-1交椭圆「于4。两点，交椭圆E于8,C两点.

①求证：IABI=IeDI；

②若/1=5,求一AB厂面积的最大值.

22.己知函数/(x)=*-,g(x)=OSin》,曲线y=∕(x)和y=g(x)在原点处有相同的切线/.

(1)求b的值以及/的方程；

(2)判断函数〃(X)=/(X)—g(X)在(0,+的上零点的个数，并说明理由.

[1]

【答案】B

[2]

【答案】C

[3]

【答案】D

[4]

【答案】D

[5]

【答案】B

[6]

【答案】A

[7]

【答案】C

[8]

【答案】B

[9)

【答案】AD

[10]

【答案】BCD

[11]

【答案】CD

[12]

【答案】BD

[13]

【答案】-4

[14]

【答案】√io

[151

【答案】8

[16]

【答案】①.-ɪ②.2-21n2

2e

[17]

【答案】（1）%=4"

(2)S“=2〃■)-------

"n+∖

[小问1]

解：因为等比数列｛%｝满足4+4=20，=60,设公比为q,

a｝+alq=20q=4

所以,解得

Q∣q2_Q[=60q=4

所以q=4x4"T=4"；

【小问2】

2

解：由(1)知a=Iog2an-Iog24"=Iog22"=In,

bb2(〃+1)2nn+1nCl1

-2±Lλ+-2-=—Σ-----ʌ+---------=------+-------=2+------------

bnbtl+l2n2(«÷1)n〃+1nn+1

所以数列｛%｝的前,项和S?=2〃+(l-g)+(；_；]++fɪ-/24-1]=2〃+.；]

[18]

71

【答案】(I)-

3

(2)√6+2

【小问1】

由正弦定理得sinAcosC+—sinASinC=sinB，

3

在qAfiC中，SinjB=Sin(A+C)=SinACoSC+sinCcosA,

化简为YɪsinASinC=SinCCosA,又SinC≠0,

3

.∙.tanAɪ√3,又AG(0，π)

【小问2】

依题意得S.^-bcsinA=-AD∙csinNBAD+-ADbsinZCAD,

lir222

即y∕3bc=-^-(⅛+c)，

由余弦定理得4=^+¢2—bc，

；.(〃+C)-—J=+—4Wf⅜∕?+c=ʌ/ð

."ABC的周长为遍+2.

[19]

[小问1]

证明：连接B/，由，ABC为等边三角形，尸为AC的中点，所以6尸_LAC,

由PG，平面ABC,ACU平面ABC,所以PGJ∙AC,

又PGBF=G,尸6,5/(=平面尸3尸，所以AC_L平面尸M，

又PBU平面PBF，所以PBJ_AC；

[小问2]

解：依题意PE=2百，GF=2,在RtZ∖PFG中，PG=2近，

以尸为坐标原点，以尸3为X轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，

则A(O「2G0),C(θ,2√3,θ),8(6,0,0),E(3,-√3,θ),∕)(2,0,2√2),

PP=(2,0,20),EE=G—6,0),由(1)可知，AC=(0,46,0)是平面PM的一个法向量,

n-FP=2x+2∖∣2z=0(I-I-、

设平面尸EF的法向量为〃=(x,y,z),则r-，令X=0，则〃=(λ∕2,j6,-l),

nFE=3x-y∣3y=0''

ACn_√6..r

所以COS(AC,〃)=阿丁∙y,所以Sin(AC,〃)=J'l-cos2^AC,=~

所以平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值为且;

3

[20]

【小问1】

“选择物理”记作事件A,“选择化学”为事件B,则

P(WlH则尸(阴4)=锵2

5

【小问2】

对于①，“选择物理”记作事件C,“选择化学”记作事件。，则

P(C)=*4,p(o)=m

事件C与事件。相互独立，则尸(8)=P(C)P(D)=；；

对于②，随机变量X可以取0,1,2,3.

12

3CC1

Z(X=O)P(X=I)=舍学

C：。6joN

P"=2)=H4,P(X=3)*J,

随机变量X的分布列为

X0123

ɪ31

P

62^IO30

E(X)=OXLIX∙!∙+2χa+3x-!-=9.

''6210305

[21]

【答案】(1)旦

2

【小问U

222

椭圆r:5+/=2(2>i)的标准方程为：=+匕=1,

∖2λ-λ_√2

则椭圆「的离心率为

V2Λ~~

小问2]

对于①，设A(Xl,y),B(A2,%),C(XJ,%),。(王，必)，

2

直线/：X=平y—1与三+y2=%联立整理得

2

(2+闻＞、2的+J2X=°则y+%=券DM=贵

-2m

则A。的中点坐标

2+m?2+疗

一2m

同理可知BC的中点坐标

2+m22+m2

所以AO与BC中点重合，故IABl=ICq.

对于②，由①知，直线/被椭圆截得弦长为

2Jl+/7J-y∣2入ITr+4。-2

2

∖∣i+m∖y2-yi∖

2+m2

把2=5代入得，网="黑