集合及集合思想应用(讲 练)-2023年高考数学二轮复习(全国通用)(解析版)

专题1-1集合及集合思想应用

目录

讲高考..........................................................................1

题型全归纳......................................................................3

【题型一】集合中元素表示.......................................................3

【题型二】集合元素个数.........................................................4

【题型三】知识点交汇处的集合元素个数..........................................5

【题型四】由元素个数求参.......................................................7

【题型五】子集关系求参.........................................................8

【题型六】集合运算1：交集运算求参...........................................10

【题型七】集合运算2：并集运算求参...........................................12

【题型八】集合运算3：补集运算求参...........................................13

【题型九】应用韦恩图求解......................................................15

【题型十】集合中的新定义......................................................18

专题训练.......................................................................20

讲高考

1.(2022•全国•高考真题(理))设全集U={-2,T,O,1,2,3},集合

Λ={-l,2},B={x∣X2-4Λ+3=0},则4,(AUB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,l}D.{-2,0}

【答案】D

【分析】解方程求出集合民再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，B={Φ2-4Λ-+3=0}={1,3},所以AU8={-1,L2,3},

所以电(AUB)={-2,0}.

故选：D.

2.(2021•全国•高考真题(理))已知集合S={s∣s=2"+l,"wZ},T={t∖t=4n+l,neZ},则

5?T()

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【分析】分析可得TqS,由此可得出结论.

【详解】任取fw7,则f=4"+l=2∙(2")+l,其中〃eZ,所以，teS,故TqS,

因此，S∩T=T.

故选：C.

3.(2021•北京•高考真题)已知集合A={x∣-lvx<l},B={x∣0≤x≤2},则AUB=()

A.{χ∣-l<χ<2}B.{x∣-l<x≤2}

C.{x∣0≤x<l}D.{x∣0≤x≤2}

【答案】B

【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】由题意可得：A8={x∣T<x≤2}.故选：B.

4.（2021•浙江•高考真题）设集合4={x∣x21},B={x∣-l<x<2},则AB=（）

A.{x∣x>-l}B.{x∣x≥l}C.{x∣-l<x<l}D.{x∣l≤x<2}

【答案】D

【3析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：A∩5={x∣l≤x<2}.故选：D.

5.（2021•全国•高考真题（文））已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则

6”(MUN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

［答案］A

【彳析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：MUN={1,2,3,4},则加（MN）={5}.故选：A.

6.（2007•全国•高考真题（文））已知集合E={例COSe<sin0,0≤6≤2乃},尸={例ta∏e<sin6},

那么EF为区间（）

A.仁,兀］B.

C.D.

【答案】A

【解析】先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合E,F,再利用交集的

运算求解.

【详解】∙.∙E={θ∖cosθ<f,mθ,0<θ<2π］=^∖^<θ,

F=^θ∖∖,a,nθ<sin0}=+<θ<π+kπ,k∈Z∣,.,,EF=Iol<6<.故选：A.

7.（2022•北京•高考真题）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,5是_ABC及其内部的

点构成的集合•设集合T={QeS∣PQ≤5},则T表示的区域的面积为（）

A.—B.TiC.2πD.3π

4

【答案】B

【分析】求出以P为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.

【详解】设顶力尸在底面上的投影为°,连接8°,则°为三角形ABC的

RO_2乂6_石______

中心，且一写、X2一',故PO=J36-12=27因为PQ=5,故。。=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC内切圆的圆心为0,半径为

2×-×36

48>［,故S的轨迹圆在三角形A8C内部，故其面积为灯故选：B

3×6

题型全归纳

【题型一】集合中元素表示

【讲题型】

例题1：已知集合A={{0},0},下列选项中均为A的元素的是()

(1){0}(2){{0}}(3)0(4){{0}0}

A.(I)(2)B.(I)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系判断.

集合A有两个元素：{0}和0,

故选：B

例题2、设集合M={x∣x=空keZ},N={x∣x="+g,keZ},则()

2442

A.M=NB.MVNC.MjND.MYN

【答案】B

【分析】

对于集合N,令.=2∕n(meZ)和A:=2吁I(TMeZ),即得解.

【详解】

.kττ7Γ(71..Ikτc7ΓI7]

Mlλ={ixIX=---1—,κ∈Z}N=frχIX=--F一,k∈Z}

24f42f

对于集合N,当x=2W(WeZ)时，X=ψ+∣,∕n∈Z;

当Ar=2"]-l(,"eZ)时，X=拳+?,mez.-.MVN,故选：B.

【讲技巧】

集合表示

1、列举法，注意元素互异性和无序性

2、描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素

描述法表示集合时,要注意“那条竖线"前边的字母及字母形式。一般情况下，一个字母是数集，有

序数对（a,b、）形式可以理解为点集

【练题型】

1.以下四个写法中:①0∈{0,l,2};②0={1,2};③{0,l,2,3}={2,3,0,1}；④AcO=A,正

确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

对于①，0∈{0,l,2}正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以0={L2}正确；对于

③，根据集合的互异性可知{0,l,2,3}={2,3,0,1}正确；对于④，Af）0=0,所以AcO=A

不正确；四个写法中正确的个数有3个，故选C.

2.下面五个式子中:①α={α};②0={α};③{4}e{α,b}；④{α}u{4};⑤αe{Z>,c,

4};正确的有（）

A.②④⑤B.②③④⑤C.②④D.①⑤

【答案】A

【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.

①中，。是集合{4}中的一个元素，αe{α},所以①错误；

空集是任一集合的子集，所以②正确；

{0}是{。回的子集,所以③错误;

任何集合是其本身的子集，所以④正确；

“是"C,a}的元素，所以⑤正确.

故选：A.

3.若α∈{l,3,∕},则。的可能取值有（）

A.OB.0,1C.0,3D.0,1,3

［答案］C

【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断α的可能取值.

α=0,则αe{l,3,0},符合题设；

α=l时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；

a=3时，则αe{l,3,9},符合题设；.∙.α=0或α=3均可以.故选：C

【题型二】集合元素个数

【讲题型】

B=L∕v∣^∣<oL则集合

例题1.已知集合A=∖XEZ∖^-<y-'≤3e

Iθ*

{z∣z=Λy,x∈Ay∈8}的元素个数为（

A.6B.7

C.8D.9

【答案】B

【分析】

解指数不等式求得集合4,解分式不等式求得集合8,由此求得集合{Z∣Z=孙/€4、€国的

元素个数.

【详解】

由!<3'τ≤3得3Y<3i43∣,-4<x-l≤l,解得一3<x≤2,所以4={-2,-1,0,1,2}.由

—<0解得-2<x<3,所以B={T0,l,2}.所以{z∣z=孙,xeAycB}={2,0,-2,T,l,-l,4},

共有7个元素.故选：B.

例题2..L=卜L=W.V；,若IAj表示集合A,中元素的个数，则IAl=

，则∣A∣+∣4∣+∣4∣+∙.∙+∣Ao∣=-

【答案】11;682.

【详解】

♦学G辞'

试题分析：当〃=5时，2i<3m<2f>.即IlSM≤4小I=IL

H二

山丁「不能整除3,从」】到›：,Jn噩运二，3的倍数，共有682个,

.∙.∣4∣+%∣+…+∣4o∣=682

【讲技巧】

集合元素个数，多涉及到对集合元素形式的判断：

1.点集多是图像交点

2.数集，多涉及到一元二次方程的根。

【练题型】

1.若集合A={xwN∣logzX<3},8=Ny=√7≡5},则AB的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

［答案］C

【2■析】分别求出集合43,然后，由交集定义求得交集后可得元素个数.

由题意得，A={x∈N∣0<x<8}={l,2,3,4,5,6,7},B={ψ≥3},故AB={3,4,5,6,7},有

5个元素.

故选：C

2.已知集合A={—l,O,l},β=∣(Λ,y)∣x∈A,y∈A,^∈Nj,则集合8中所含元素的个数为

A.3B.4C.6D.9

【答案】B

【彳析】根据几何A中的元素，可求得集合B中的有序数对，即可求得B中元素个数.

λ尤

因为x∈A,yiA,-∈N,

y

所以满足条件的有序实数对为(TT)，(O,τ),(0,1),(1,1).

故选:B.

3.集合A={jc∣χ2-7x<(),xwN*},则B=1.v∣∙∣eN*,ye4］中元素的个数为

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

A={Λ∣X2-7Λ∙<0,X∈N"}={Λ∣0<X<7,X∈^}={1,2,3,4,5,6),

B=jy∣∣∈N∖y∈Aj={1,2,3,6},则B中的元素个数为4个.

本题选择D选项.

【题型三】知识点交汇处的集合元素个数

【讲题型】

例题1」.已知全集u={(χ,y)∣χeR,yeR},集合s=u,若S中的点在直角坐标平面内形成

的图形关于原点、坐标轴、直线N=X均对称，且(2,3)eS,则S中的元素个数至少有

A.4个B.6个C.8个D.10个

【答案】C

求出点(2,3)关于原点、坐标轴、直线y=X的对称点，其中关于直线y=X对称点，再求它

关于原点、坐标轴、直线y=χ的对称点，开始重复了.从而可得点数的最小值.

因为(2,3)eS.S中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线N=X对称，所

以(-2,-3)∈S,(-2,3)∈S,(2,-3)∈5,(3,2)∈S,(-3,-2)∈S,(3,-2)∈5,(-3,2)∈S,所以S中的

元素个数至少有8个，

故选：C.

例题2.若正方体4儿44-与的棱长为1,则集合

{x∣X=A4・4%左{1,2,3,4},共{1,2,3,4}}中元素的个数为()

A.ɪB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】将4耳=(AA+At+4瓦)代入At/5；,结合LAj∖和A4鸟

(∕e{2,3,4})化简即可得出集合中元素的个数.

ABlBlBj=O(j∈{2,3,4})AiBj(AiAi+AtBt+BlBj)

2

AiBt-=A4∙(AA+A4+BlBj)=A,Bl-AjA,+A,Bl^+A,Bt-BlBj=1

{xIX=A4∙Ag,ie{L2,3,4}J€{1,2,3,4}}中元素的个数为1.

②A4=A鸟时.

X=AtBtAiBι=AiBcAlBi=AB：=1此时{x∣X=A4∙A%i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}中元素

的个数为1.

综上所述,{x∣X=A8「44,触{1,2,3,4},上{1,2,3,4})中元素的个数为1.故选人

【讲技巧】

集合知识点交汇处，多涉及到集合与函数，集合与向量，集合与数列，集合与立体几何，

集合与圆锥曲线等等相关知识的综合应用。

【练题型】

L设集合A={-2,T,0,l,2},5={-l,0,l},C=∙(x,y)*+qi≤l,XeAyeB,,则集合C中元素的

个数为()

A.HB.9C.6D.4

【答案】A

【分析】由题意可得出：X从-1,0,1任选一个；或者X从-2,2任选一个；结合题中条件,确

定对应的选法，即可得出结果.

解：根据条件得:X从-1,0,1任选一个J从而T,0,1任选一个,有9种选法;

x=-2或2时,y=0,有两种选法；共H种选法；∙∙∙C中元素有11个.故选A.

2.已知集合A={(x,y)∣∙√+y2≤],χ,yez},B={(x,y)∣Λ∣<2,∣y∣≤2,x,yeZ},定义集合

4㊉8={(x∣+々,y+y2)∣(x,,yl)GA,(x2,y2)GB},则A㊉8中元素的个数为

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

因为集合∕={(k.r)∣F+y'4l,k,GZ},所以集合X中有5个元素(即5个点)，即图

中圆中的整点，集合8-k工卜小区2.惘42,工”2；中有25个元素(即25个点)：即

图中正方形,2CD中的整点，集合/由6={(%+.q..n+A)∣(*∣,F∣)W4区..y,)w8}的

元素可看作正方形.±51CQι中的整点(除去四个顶点)，即-一-』="个.

3.若集合E={(p,%r,s)I()≤°<s≤4,0≤夕<s≤4,()≤r<s≤4⅛,⅛,r,.y∈N},

F={(r,M,v,w)∣0≤f<M≤4,0≤v<W≤4⅛,M,V,WEN},用Card(X)表示集合X中的元素个数,

贝I]Card(E)+card(F)=

A.50B.IOOC.150D.200

【答案】D

当s=4时，P,q,r都是取0,1,2,3中的一个，有4x4x4=64种，当s=3时，P,<?,

r都是取0，1，2中的一个，有3x3x3=27种，当s=2时，P,<1,r都是取0,1中的一

个，有2x2x2=8种，当S=I时，P,q,r者E取0,有1种，所以Card(E)=64+27+8+1=100,

当f=0时，”取1,2,3,4中的一个，有4种，当f=l时，“取2,3,4中的一个，有3种，

当r=2时，〃取3,4中的一个，有2种，当f=3时，”取4,有1种，所以人〃的取值有

1+2+3+4=10种，同理，八W的取值也有10种，所以Card(F)=IO*10=100,所以

Card(E)+card(F)=IOo+100=200,故选D.

【题型四】由元素个数求参

【讲题型】

例题1.若集合A={xeR∣0√+αx+ι=o}中只有一个元素，则〃=()

A.4B.2C.0D.0或4

【答案】A

集合A中只有一个元素,A=α2-4〃=0,.∙.a=0或4.又当α=0时集合A中无元素，故选A.

考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.

例题2.已知集合A={xeN∣l<x<log2%},集合A中至少有3个元素，则

A.Λ>8B.)t>8C.Λ>16D.k≥l6

【答案】C

试题分析：因为A={x∈Λφ<x<log∕}中到少有3个元素，即集合A中一定有23,4三个元

素，所以Jl>24=16,故选C.

【讲技巧】

在根据元素与集合关系求解参数值的问题时，容易错的地方是忽略求得参数值后，需验

证集合中元素是否满足互异性

【练题型】

L已知集合A={#2+2奴+2a≤θ},若A中只有一个元素，则实数。的值为()

A.0B.0或—2C.0或2D.2

【答案】C

【分析】根据题意转化为抛物线y=f+20r+2a与X轴只有一个交点，只需A==O

即可求解.

若A中只有一个元素，则只有一个实数满足χ2+20r+2α≤0,

即抛物线y=χ2+20r+2α与X轴只有一个交点，.∙.Z∖=4∕-8α=0,.∙.a=0或2.故选：C

2..已知A={(x,y)∣χ2+y2≤l,xeZ,yeZ},B={(x,y)∣∣x∣≤3,∣y∣≤3,xeZ,yeZ卜定义集合

A㊉8={(芭+々,乂+丫2)|(4凹)€阕(孙丫2)€氏},则4㊉B的元素个数〃满足()

A.n=77B.H≤49C.w=64D.∕?≥81

【答案】A

先理解题意，然后分①当±=±1,M=0时,②当士=0,y=±1时,③当西=0,M=O时,三种情

况讨论即可.

解:由A={(X,y)∖x2+y2≤l,xeZ,yeZ^,B={(x,γ)∣∣x∣≤3,∣y∣≤3,xeZ,yeZ∣.

①当±=±l,y∣=0时，x1+x2=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,

+)⅛=-3,-2,-1,0,1,2,3,

此时A㊉B的元素个数为9x7=63个，

②当F=。，y=±1时，(+¾=-3,-2,-1,0,1,2,3,

-

X÷y2=4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,

这种情况和第①种情况除X+%=-4,4外均相同,故新增7x2=14个，

=

③当Xl=O,y=0时，x↑+X2-3,-2,-1,0,1,2,3,

y+y?=-3,-2,-1,0,1,2,3,这种情况与前面重复,新增0个，

综合①②③可得：

A㊉3的元素个数为63+14+0=77个，

故选:A.

3.如果集合4=1|62+2工+1=0}中只有一个元素，贝IJa的值是()

A.0B.0或1C.1D.不能确定

【答案】B

2

因为A中只有一个元素,所以方程Λ√+2X+1=O只有一个根，当a=0时，x=-；;WlaKO时，

A=4-4α=0,q=l,所以a=0或1.

【题型五】子集关系求参

【讲题型】

例题1.已知集合A=H万，≤1},B={XIX(X-a)<θ},若A仁8,则。的取值范围是()

A.(YO,1)B.(∣,+∞)C.(f2)D.(2,+∞)

【答案】D

【分析】先化简集合A,8,再根据A=B得解.

【详解】

由题得j2-x≤l=>l≤x≤2,故A=[l,2],

当“<0时，B=(α,0),显然不满足A=B;

当α=0时∙，B=O,显然不满足AuB；

当α>0时,B=(0,67),若A=5na>2.故选:D

例题2.已知集合A={x∣d-2x-3<θ},非空集合B={x∣2-q<x<l+4},β⊂A,则实数〃

的取值范围为().

A.(~∞,2]B∙(g,2C.(-∞,2)D.

【答案】B

先化简集合A,再由BaA建立不等式组即可求解

【详解】

A={x,-2X-3<0}={Λ∣-1<Λ<3},由5±A且8为非空集合可知，

2-a≥-∖

应满足∙l+α43,解得αe(,2故选：B

1+4>2—。

【讲技巧】

集合子集：

(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系

(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).

(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如：A={1,2},B={l,3},

因为2∈A,但2<β,所以A不是B的子集；同理，因为3∈B,但3⅛4,所以

8也不是A的子集.

(3)子集有下列两个性质：

①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即ACA;

②传递性：对于集合A,B,C,如果AUB,且BNC,那么A=C

(4)求子集运算时，一定要注意子集是从“空集开始”

【练题型】

1.若集合A={x∣2α+l≤x≤3α-5},B={x∣5≤x≤16},则能使AUB成立的所有“组成的集合

为()

A.{a∖2<a<l}B,{α∣6≤α<7}C.{a∖a<l}D.0

【答案】C

仔。+1≤3α-5

考虑A=0和A≠0两种情况，得到3^-5≤16,解得答案.

[2α+l≥5

【详解】

当A=0时，即加+l>3α-5,α<6时成立；

2。+1≤3。一5

当4#0时，满足V3α-5≤16,解得6<α≤7:

2。+1≥5

综上所述：α≤7.故选：C.

2.A=3-2≤x≤5},B={x∣m+l≤x≤2∕n-l},若BuA,则实数也的取值范围是()

A.m<3B.2≤m≤7>C.m≤3D.2<m<3

【答案】C

由B=A,分8=0和B≠0两种情况讨论，利用相应的不等式(组)，即可求解.

【详解】

由题意，集合A={x卜2≤xM5},B={x∖m+∖≤X<2m-↑],因为B=A,

(1)当3=0时，可得m+l>2m-l,BPm<2,此时B±A,符合题意；

m+∖<2m-∖

(2)当8≠0时，由3αA,则满足一2≤相+1,解得2≤m≤3,

2ffl-1≤5

综上所述，实数，”的取值范围是m≤3.

故选：C.

3.已知集合A={∙ψ2-2x-3=θ},B={x∣0x-l=0},若B=A,则实数”的值构成的集合

是()

ʌ-{^l,0,l}B.{T0}0.卜尚D∙归}

【答案】A

解方程求得集合A,分别在5=0和3W0两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果.

【详解】

由f-2x-3=0得：X=-I或x=3,即A={-l,3};①当α=0时,B=0,满足5=A,符

合题意；

②当QWo时，3={x∣&x-l=θ}=口BqA,.」=_]或_1=3,解得：α=T或Q=L

JIaJaa3

综上一所述：实数。的值构成的集合是卜l,θg}∙故选：A.

【题型六】集合运算1：交集运算求参

【讲题型】

例题L已知集合A={(x,y)∣x+αy-α=θ},8={(x,y)辰+(24+3))T=θ}.若4β=0,

则实数”=()

A.3B.-1C.3或-1D.-3或1

【答案】A

【分析】将问题转化为“直线》+殴-。=0与直线6+(2a+3)y-1=0互相平行”，由此求解

出α的取值.

【详解】因为A∏5=0,所以直线x+ay-α=0与直线⑪+(2z+3)y-1=0没有交点，

所以直线》+@-。=0与直线双+(2α+3)y-l=0互相平行，

所以lx(2α+3)-4xa=0,解得。=—1或。=3,

当a=T时，两直线为：x-y+l=O,-x+y-∖=O,此时两直线重合，不满足，

当α=3时，两直线为：x+3γ-3=0,3x+9y-1=0,此时两直线平行，满足，

所以"的值为3,

故选：A.

例题2.已知集合4={xeN*.-2x-3<θ},8={x卬+2=0},若A8=8,则实数“的取

值集合为()

A.{-l,-2}B.{-l,0}C.{-2,0,l}D.{-2,-1,0)

【答案】D

【分析】先求出集合A,由AB=B得到BaA,再分类讨论”的值即可.

【详解】A={xwN*∣χ2-2x—3<θ}={l,2},因为AB=B,所以B=A,

当α=0时,，集合B={x∣αx+2=θ}=0,满足8C4；

当"0时，集合B={x∣αr+2=θ}=[x=-21,

山BαA,A={l,2}得-W=I或-W=2,解得α=-2或α=-l,

aa

综上，实数。的取值集合为{-2,-1,0}.故选：D.

【讲技巧】

交集的运算性质：

LAHB=BnA,A∩BCA,A∏A=A,A∩0=g,Λ∩B=A4≠A⊂B.

2.求交集题型时，要注意“边界值”是否能取等号

【练题型】

1.已知集合A={x∣l<x<2},集合B=卜卜=√^二7),若AB=A,则机的取值范围是

)

A.(0,l]B.(1,4]C.[l,+∞)D.[4,+∞)

【答案】D

由AnB=A可得出AuB,可知3X0,解出集合8,结合题意可得出关于实数小的不等式,

由此可解得实数机的取值范围.

【详解】QAIB=A且A={x∣l<x<2},则Au8,.∙.8H0.

若加<0,则帆--<0,可得3=0,不合乎题意；

若m≥0,则B={x∣y=J"i-χ2}=卜卜而

所以，际≥2,解得，”>4.因此，实数机的取值范围是[4,+∞).故选：D.

2.设集合A={4r2-4≤)},B={x∖lx+a<^},且An8={x卜2≤x≤l},则α=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【分析】由题意首先求得集合A.8,然后结合交集的结果得到关于。的方程，求解方程即可

确定实数α的值.

【详解】求解二次不等式/一4≤0可得：A={x|—2≤x≤2},

求解一次不等式2x+a≤0可得：β=jx∣x≤-4.

由于ACB={x|-2≤x≤l},故：-£=1,解得：α=-2.故选：B.

222

3.已知集合4=..θkβ≈{x∣x-(a+l)x+2o(a+l)<0,若Aβ=0,则实数。的

取值范围是()

A.(2,+∞)B.{l}u(2,+∞)

C.{l}U[2,+∞)D.[2,+∞)

【答案】C

【分析】先解出集合A,考虑集合5是否为空集，集合5为空集时合题意，集合8不为空集

时利用或2解出a的取值范围.

2a.4a+1,,-1

【详解】由题意A='g∙∙θ}=(T,4],

8=卜卜2-(α+l)2χ+2α(/+l)<θ}=卜卜一加肛-(Q2+l)]<θ},

2

当3=0时，2α=∕+ι,即α=ι,符合题意；当3W0,即αwl时，B=(2a,a+l)t则有

24.4或/+],,-1,即a.2.

综上，实数”的取值范围为{l}U[2,+∞).故选：C.

【题型七】集合运算2：并集运算求参

【讲题型】______

例题L,已知A=*ly=45x-χ2-4},B={x∖x2-2ax+a+2≤6∖若AUB=A,那么实数〃

的取值范围是()

A.(-L2)B.[4]C,]用D.卜耳

【答案】D

【分析】由题意,可先化简集合A,再由AUJB=A得BuA,由此对B的集合讨论求a,由于集

合B可能为空集,可分两类探讨,当B是空集时,与B不是空集时,分别解出a的取值范围,选出

正确选项

【详解】解：由题意,A={χ∣y=j5x-χ2_4}={χ∣∙c4},

由AUB=A得BqA

又B={x∣χ2-20r+α+2≤0}

当B是空集时,符合题意,此时有a=4a、4a-8V0解得-l<αV2

A=4∕-4"-8..0

4

当B不是空集时.有吗Cn解得2Vα≤m宗上知,实数a的取值范围是1-1,岁]故

l-2α+α+2..07I7」

16—8α+α+2..0

选：D

例题2.设常数a∈R,集合A={x∣(x-1)(x-a)之0},B={x∣x>a-1},若AUB=R,则a的

取值范围为()

A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+co)D.[2,+∞)

【答案】B

【详解】试题分析：当α=l时，<=火，此时HU8=R成立，当a>l时，

A-∖a→当/UB=E时;α-l<l=⅛α≤2.即(L2],当α<l时，

J=l,+x>∪l-x.α].当/UB=K时，α-IVa恒成立，所以。的取值范围为I-X,2],

故选B.

【讲技巧】

并集的运算性质：

AUB=BUA,A=AUB,AUA=A,AU0=A,ΛUB=B<=>A⊂B.

【练题型】

L设集合A={x∣∕-(α+3)x+3α=θ},β={x∣x2-5x+4=θ},集合AUB中所有元素之和

为8,则实数。的取值集合为()

A.{0}B.{0,3}C.{0,l,3,4}D.{1,3,4}

【答案】C

【详解】试题分析：B={l,4},χ2-(α+3)χ+3o=0两根是x=3,x=a,当a=0、1、3、4时,

满足集合AUB中所有元素之和为8,故选C.

2

2.非空集合A={xeN∣0<x<3},B=(3'∈/V∣y-wy+1<0√n∈/?},AB=A[B,则实数

机的取值范围为()

【答案】A

【分析】由题知A=B={1,2},进而构造函数F(X)=X2一e+1,再根据零点存在性定理得

/(3)≥θ

-/(2)<O,解不等式即可得答案.

∕0)<θ

【详解】解：由题知A={x∈N∣0<x<3}={l,2},

因为AB=AB,所以A=B,

所以8={yeN∣y2—阳+ι<0,π7eR}={ι,2},

故令函数/(x)=x2-〃a+1,

所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得:

/(3)≥O[1O-3∕7J≥O

•/(2)<0,即<5-2〃?<0,解得2<m≤与，

/(l)<02-ιn<0—

所以，实数，"的取值范围为(|,与.

3.已知集合M={l,3},N={l-a,3},若MN={l,2,3},贝心的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】根据集合N和并集，分别讨论“的值，再验证即可.

【详解】因为MuW={1,2,3},若1—α=l="=O,经验证不满足题意；

若l-a=2=a=-1,经验证满足题意.所以α=-L故选：B.

【题型八】集合运算3：补集运算求参

【讲题型】

例题1.已知集合/I={.Uθ<x<2],集合B二{.r∣-I<工<1卜集合C二[Y+1>0},若

ΛuB⊂C,则实数川的取值范围是.

【答案】-p'

【详解】由题意，AuB={Λ∣-l<x<2},

：集合C={x∣∕nr+l>O},AkjB⊂C,

CljlZ7Γ≤O,-----,.∙.≥2>.,.tn≥—,—≤方?V0；

mm22

②m=0El寸，成立；

(3√,〃7>0,x>----,.∖-----≤—Ltn≤1»0<，〃≤1»

mm

综上所述，-二≤,*≤1,故答案为-彳WwiWl.

22

例题2..已知集合A=[xeR^j≤l],8={xeRKX-24)(x-∕-l)<θ},若低A)B=0,

则实数4的取值范围是

A.[l,-κo)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.(l,+∞)

【答案】B

解分式不等式求得集合A,对。进行分类讨论，结合(4A)8=0,求得实数。的取值范围.

112x+l-Ix-2Λ(2X+1)≤0

【详解】由-l≤0,≤O<≠>=X或x≥O.所以

2x÷l2x+∖2x+i2x+12x+∖≠02

A={x∣x<［或XN0},所以6«A=卜∣V≤x<θ1.由(x-2aXX-a?7)=。，解得彳=2。或

X=(a2+1.α2+1≥2∖∣a2-I=2同≥2“，当a=1时，2α="+1,此时B-0>满足@A)B=0-

(,`/、(2a≥0

当4片1时，B={x∖2a<x<ai+∖∖,由(«A)8=0得,即4≥0且。Wl.综上所述，

实数。的取值范围是［o,a).

故选：B

【讲技巧】

补集运算:

L符号语言：［.uA=［x∖x≡U,HΛ⅜A).

2.图形语言:

【练题型】

1.设全集。={1,2,3,4,5},集合A={1,∕T4},q,A={2,α+3},则。的值为()

A.±2B.±√6C.-2D.2

【答案】D

【分析】根据集合A及其补集情况分情况讨论即司;

【详解】由已知得{l,2,4,∕τ,α+3}=U,

所以■“二二3或IdJ解得α=2,故选：D.

α+3=5[«+3=3

2.已知全集U={2,4,∕},集合A={4,Q+3},⅞,A={1},则a的所有可能值形成的集合为()

A.{-l}B.{1}C.{-l,l}D.0

【答案】A

【解析】由6AuU,可得a?=1，即α=±ι,当。=1时•，不符合元素的互异性，α=T时，

符合题意.

【详解】由q,,AαU,即{1}u{2,4,/},则“2=1，解得0=±l,

若4=1,则α+3=4,而A={4,α+3},不符合集合中元素的互异性，舍去;

若α=T,则U={2,4,1},A={4,2},⅞,A={1},符合题意.

所以α的所有可能值形成的集合为{-1}.故选：A.

3.已知全集U={2,3,〃+2α-3},A="+1],2},GA={α+3}厕。的值为

湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题

【答案】2

【分析】要求a的值，需正确理解原集和补集的含义，由于•参数a为未知数，此题应该进行

分类讨论

【详解】由补集概念及集合中元素互异性知a应满足

∩

a+3=3(1)。+3=cr+2a—3/

/72

Iα+lI=a2+2CL3(2)∣a+l∣=3\

(/

cι~+2。—3≠2⑶或3a2+2a-3≠2∖

cr+2。—3≠3(4)Cr+2。—3≠3

分两种情况进行讨论：

在A中，由(1)得a=0依次代入(2)、(3)、(4)检验，不合②，故舍去.

在B中，由(1)得a=-3,a=2,分别代入(2、(3)、(4)检验，a=-3不合②，故舍去，a=2

能满足②③④，故a=2符合题意.答案为：2

【题型九】应用韦恩图求解

【讲题型】

例题L全集U=R,集合A=卜±≤θ1,集合8=卜降2(》-1)>2},图中阴影部分所表

示的集合为()

A.(-∞,0][4,5]B.(F,0)(4,5]

C.(-∞,O)[4,5]D.(-∞,4]_(5,+∞)

【答案】C

【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为Q(A=B).求出集合A,8,AuB,即求G(AU3).

【详解】集合A={x∣0≤x<4},B={ψ>5},

由玲皿图可知阴影部分对应的集合为G7(A=B),又AUB={x∣0≤x<4或x>5},

.∙.Q(A8)=(FO)u[4,5].故选:C.

例题2.已知全集U=R,集合A=HXa+2)<θ},B=Hw≤1},则图中阴影部分表示的集

合是()

QQ

A.(-2,1)B.[-1,0][1,2)C.(-2,-1)[θ,l]D.[0,1]

【答案】C

【分析】由集合描述求集合A8,结合韦恩图知阴影部分为CU(ACB)C(AUB),分别求出

Gy(A8)、(AuB),然后求交集即可.

【详解】A=HX(X+2)<θ}={x∣-2<x<θ},β=∣x∣∣x∣≤l∣=(x∣-l≤x≤l},

由图知：阴影部分为CU(AC8)C(AUB),而Ac8={x∣T≤x<0},AOB={X∣-2<Λ≤1},

CU(ACB)={x∣x<T或x≥0},即CU(ACB)C(AUjB)={或-2<x<-l或04x41),

故选：C

【讲技巧】

并集运算韦恩图：

图形语言：

【练题型】

L若全集U=R,集合A={x∣y=lg(6-x)},3={x∣2*>l},则图中阴影部分表示的集合是

()

A.(2,3)B.(-l,0］C.［0,6)D.(→χ>,0］

［答案］D

【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合A,8,阴影部分表示的集合是A,

计算得到答案.

［详解］A={x∣y=lg(6-x)}={x∣x<6),B=∣X∣2A^I∣={X∣X>0),

阴影部分表示的集合是QQA=(e,0］(3,6)=(9,0］.

故选：D.

2.已知全集U=R,集合M=H3∕τ3x-lθ<θ}和N={x∣x=2Z,%∈Z}的关系的韦恩(Venn)

图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A.1个B.2个C.3个D.无穷个

［答案］C

【分析】由题意首先求得集合例，然后结合韦恩图