2023-2024学年北京市高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年北京市高二下学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.已知抛物线的准线方程为y=τ,则该抛物线的标准方程为（）

A.X2=2yB.y2=2xC.x2=4yD.y2=4x

【正确答案】C

【分析】根据准线方程为y=τ,可知抛物线的焦点在>轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为

x2=2py,根据准线方程求出。的值，代入即可得到答案.

【详解】由题意可知抛物线的焦点在）'轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py[p>0）,

：抛物线的准线方程为y=τ,

Λ^=l,.∖p=2,

抛物线的标准方程为：f=4y,

故选：C.

本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，属于基础题.

2.在二项式（f-4）5的展开式中，X的系数为（）

X

A.-80B.-40C.40D.80

【正确答案】A

H）

【分析】根据二项展开式的通项，可得（M=（-2XCA-",令z∙=3,即可求得X的系数，得到答案.

Oɔ

【详解】由题意，二项式与的展开式的通项为加=《，尸（_与=（_2）匕”.,

XX

令r=3,可得n=（-2）3f江=-80x,

即展开式中X的系数为-80,故选A.

本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考

查了推理与运算能力，属于基础题.

3.设随机变量X的概率分布列为

X1234

ɪɪɪ

Pm

346

则P(IX-3∣=1)=()

A.—B.—C.-D.-

121246

【正确答案】B

【详解】试题分析：P(X=2)=l-!-9-!=!,∣X-3∣=lnx=2或4.

3464

则P(IX-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=(+g=ι∣,故选B

概率分布

4.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

A.24B.48

C.60D.72

【正确答案】D

【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5,其他

位置共有4：种排法，所以奇数的个数为34：=72,故选D.

排列、组合

【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步

时要注意整个事件的完成步骤.在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再

安排其他四个位置.

5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九

日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是()

A.120B.130C.140D.150

【正确答案】C

【分析】设第〃天走步里，则｛《,｝是等差数列，问题转化为已知等差数列的前9项和为1260,要

求％,利用等差数列的性质求解即可.

【详解】由题意设此人第一天走步为里，第二天走步公里.第〃天走步。“里，｛《｝是等差数列，己

知Sg=1260,要求生,

Sg=驹抖==9%=1260,.∙.%=140.

故选：C.

6.盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.设此时盒中旧乒乓球

的个数为4,则P（4=3）等于（）

【正确答案】D

【分析】通过用完后，将球放回盒中有3个旧球，可知取出的2个球1新1旧，从而可求解答案.

【详解】盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.

设此时盒中旧乒乓球的个数为乙

&=3说明取出的2个球1新1旧，

则P（4=3）=箸

故选：D.

7.对于数列｛4｝,“%＞㈤他=1,2,）”是“｛%｝为递增数列”的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【详解】由4向＞同（〃=1，2，）,又⑷NaM=I,2,），

所以＞〃,（〃=12）,则｛为｝为递增数列；

若｛«„｝为递增数列，如氏=〃-8Ml=-7,α2=-6,a2＜∣al|,

¾÷ι＞同不成立,

所以＞∣4∣5=1,2,）”是“｛《,｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选：B.

8.某人射击一次命中目标的概率为T,则此人射击6次,3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）

【正确答案】B

【分析】根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击命中3次的概率，再根

据相互独立事件的概率乘法运算求得结果.

【详解】根据射手每次射击击中目标的概率是：，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3

次命中的概率为,

ʌ2

恰有两次连续击中目标的概率为奇,

故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为C>

故选B

本题主要考查独立重复试验的概率问题，熟记概念和公式即可，属于常考题型.

22

9.过双曲线£-白=1（〃>0,。>0）的右焦点尸作一条渐近线的垂线，垂足为A.ZAFO=IZAOF

（。为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）

A.在B.述C.2D.至或2

233

【正确答案】B

【分析】由题意易得所以NAO尸=30,从而tan30,再由e=∖=J+（gJ求解.

【详解】解：在RrZVlFO中，因为NAFO=2NAOF,

10.把5名新生安排到某3个班级，要求每个班级至少有一名新生，则不同的安排方式共有（）

A.150种B.180种C.300种D.360种

【正确答案】A

【分析】要求每个班级至少有一名新生，所以先从人的个数分三组，则有两类情况，求出所有的组

数，再对三组进行排序即可.

【详解】解：把5名新生安排到某3个班级，要求每个班级至少有一名新生，

从人的个数有2组分法，即1,1,3和1,2,2两种分法.

若分成1人，1人，3人，则共有C；=10分组方法,

C2C2

若分成1人，2人‘2人’则共有意E分组方法,

将分好的三组安排到三个班级中共有A；=6种排法,

所以所有的安排方法共有（10+15）x6=150种安排方法.

故选.A

11.若椭圆上存在点尸，使得点尸到椭圆的两个焦点的距离之比为2:1,则称该椭圆为“倍径椭圆”,

则下列椭圆中为“倍径椭圆''的是（）

A.t+Jl2

B.—+=5

161589

22X2y2

C.二+&=1D.—+^-=1

25243336

【正确答案】B

【分析】根据椭圆的定义结合椭圆性质分析可得g≤e<l,进而可得，e0,1,逐项分析判断即可.

【详解】设椭圆的两个焦点为耳K,

由题意可得：则∣PM∣+IP闻=2α,即IPMl=2α-∣PK∣,

不妨设∣W∣>∣P周，则IP用=%-IpEl=2|「用，解得Ip闯=与,

r/曰/2。/L1/

可得α-c≤—<a+c,解得一≤e<l1,

33

2rZ8

解得-∈-

29

<

对于A：可知Y=i6,从=15,贝IJB=整史（θ,g],故A错误；

a16I9

2222

对于B：因为土+—=5,即—+—=1,

894045

〃22（Q-

可知〃2=45,〃=40,则-T=Trg°，TT'故B正确；

a9I9_

对于C：可知/=256=24,贝I」（=之50，外，故C错误；

a25I9_

对于D：可知/=36,〃=33,则任（0。],故D错误；

a12I9」

故选：B.

12.已知数列｛q｝的前〃项和为S.,且q=4,¾+¾÷I=4Λ+2（∕7∈N*）,则使得5.>2023成立的〃

的最小值为（）

A.32B.33C.44D.45

【正确答案】D

【分析】分〃为奇数和〃为偶数两种情况，得到｛%｝的通项公式，进而分〃为奇数和〃为偶数两种情

况求和，解不等式，求出答案.

【详解】an+an+i=4n+2φ,

当∕≥2时，%+%=4(〃-1)+2②,

两式相减得4+∣-α,ι=4,

当〃为奇数时，｛4｝为等差数列，首项为4,公差为4,

所以““=4+42/7+2

4+/+I=4"+2中，令〃=1得q+%=6,⅛ɑ2=6-4=2,

故当〃为偶数时，｛%｝为等差数列，首项为2,公差为4,

所以=2+42n-2,

所以当"为奇数时,

—(4+2n+2)+-(2+2n-4)

2

+¾)+(¾+¾++an-∖)=-------------------------------------=n+n+2'

s,,=(q+/+,2

-(4+2n)+-(2+2π-2)

当”为偶数时,

5=(α+¾++a,T)+-%++%)2--------------2---------------=n2+n

n12

当〃为奇数时,令/+〃+2>2023,解得/1245,

当”为偶数时,令〃2+〃>2023,解得〃≥46,

所以S“>2023成立的n的最小值为45.

故选：D

二、填空题

13.在等差数列｛“〃｝中，若4=5,ai=l,则Q=.

【正确答案】O

【分析】利用等差数列的通项公式，列方程求得首项与公差，从而可得结果.

【详解】在等差数列｛%｝中，

由q=5且%=%+44=1,

=5

解得

:.a6=5+5×(-l)=0,

故答案为：O.

14.已知某班级中，有女生18人，男生20人，而且女生中不戴眼镜的有8人，男生中戴眼镜的有

11人，现从这个班级中随机抽出一名学生，己知这名学生是女生，则所抽到学生戴眼镜的概率是

【正确答案】I

【分析】计算女生中戴眼镜的人数，根据条件概率的意义，即可求得答案.

【详解】由题意从这个班级中随机抽出一名学生，己知这名学生是女生，而女生有18人，

女生中不戴眼镜的有8人，则戴眼镜的有10人，

故所抽到学生戴眼镜的概率是yj=∣,

呜

22

15.已知椭圆C:三+匕=1的左、右两个顶点分别为A,B,点尸是椭圆C上异于A,B的任意一点,

43

则直线∕¾,PB的斜率之积为.

【正确答案】-j∕-0.75

4

【分析】根据题意结合斜率公式分析运算.

【详解】由题意可得α=2,则A(-2,0),8(2,0),

设P(Λ0,%XΛ0H±2),则芯∙+^∙=I,整理得乂=_3(/一4),

434

可得直线以，PB的斜率分别为％=T⅛,L=U⅛

-

X0÷ZΛθ-Z

_3区-4)

所以“kɪ)(ɪɪɪɪzzɪz3.

KPA.KPB

Xθ+2X0—2XQ—4XQ-44

3

故答案为二

16.在数列｛4｝中，已知q=0,4向=会冷，则％。=

【正确答案】√3

【分析】根据数列的递推式求出数列前面几项，可推得数列的周期，根据周期性即可求得答案.

【详解】由题意4=0,LM=］宵,则/=f⅛｝=G'

_1+62>∕3rτ_Cl+ʌ/ɜ—ʌ/ɜ+ʌ/ɜ

%=τ¾=rr73,∕=ιt3^=7Ξ^=°'

故数列｛4｝的项具有周期性，周期为3,

故a50="16x3+2=%=上'

故G

17.对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新

冠'’感染者中随机抽取IOO名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，”德尔塔型毒株”、“其他型毒株”

的人数占比为5:3:2.对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、”德尔塔型毒株”、“其他型

毒株”的有效率分别为82%、60%、75%,那么你预估这款新药对“新冠病毒'’的总体有效率是

【正确答案】74%

【分析】根据题意，结合概率的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，感染了“普通型毒株”，”德尔塔型毒株”、”其他型毒株”的人数占比为5:3:2且该药

对“普通型毒株”、”德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%,

532

所以这款新药对“新冠病毒”的总体有效率为南x82%+而x60%+5x75%=74%.

故答案为.74%

18.袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，

得到红球个数记为X,得到黑球的个数记为K按放回抽取，得到红球的个数记为九下列结论中正

确的是.

①E(X):E(y)=5:2；②D(X)>D(y);③E(X)=E⑷;④。(X)<E>⑷.

(注：随机变量X的期望记为E(X)、方差记为。(X))

【正确答案】①③④

【分析】根据不四回抽取，确定红球个数X的可能取值以及黑球个数为丫的可能取值，求出每个值

对应的概率，即可求得χ,y的期望和方程，判断①，②；按放回抽取，可知gB(3,∣)-求出其期

••7

望和方程，即可判断③，④.

【详解】由题意抽取3次按不四回抽取，可得红球个数X的可能取值为123,

黑球个数y的可能取值为2,1,0,

则P(X=D=9χ2χ∖2∕∕+Ml∕,

7657657657

P(X=2)∕χ3χ2+*χ2J+M*U

7657657657

5432

P(X=3)=-×-×-=-,

7657

14215

⅛E(X)=l×-+2×-+3×-=-

7777

由题意可知x+y=3,

142

故p(y=2)=p(x=i)=—,p(y=i)=p(x=2)=—,p(y=o)=p(x=3)=一,

777

故E(y)=2χLiχ3+oχ2=9,

7777

故E(X):E(y)=£:g=5:2,故①正确；

z.15、21-15、24C15、2220

D(X)=(1一■—)×-÷(2——)×-÷(3—-)×-=—,

77777749

rʌ/p八/c6、,1八64_6、,220

D(n=(2--)2×-+(l--)-×-+z0--)2×-=-,

77777749

BPD(X)=D(F),故②错误;

抽取3次按期抽取，每次抽取到红球的概率呜,

得到红球的个数记为4,则&B吟,

故E(f)=3x沙刀⑶=3乂齐(1一｝=豢

故E(X)=E©,D(X)<D(⅞),即③，④正确,

故①③④

关键点睛：解答本题的关键是明确不放回抽取和放回抽取的区别，从而计算变量的期望和方程，不

放回抽取时，要考虑互斥情况，计算概率；放回抽取时，可确定变量服从二项分布，从而可求解问

题.

三、解答题

19.已知圆C过点P(O,Y),Q(2,0),Λ(3,-l).

⑴求圆C的方程；

⑵若直线/：如+丫-1=0与圆C交于两点A,B,且IABl=4,求机的值.

【正确答案】(I)(X-I)?+(y+2)2=5

【分析】(I)设圆的一般方程，代入运算求解即可；

(2)根据垂径定理可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解.

【详解】(O设圆的一般方程为f+V+Dx+Ey+F=O,

I6-4E+F=O[D=-2

由题意可得：4+2。+/=0,解得E=4,

10+3D-E+F=0

故圆的一般方程为χ2+V-2x+4y=0,即(X-Iy+(y+2)?=5.

(2)由(1)可得：圆心C(l,-2),半径/=石,

则圆心C(l,-2)到直线I的距离d=-m

4

所以〃，的值为

20.已知等差数列｛叫的前〃项和公式为S“，2%-见=5,S5-S3=M.

(1)求｛见｝的通项公式；

⑵若对V〃eN*,S“-4+4≥0恒成立，求4的取值范围.

【正确答案】(1)4=4"-11

⑵[10,4W)

【分析】(1)根据等差数列的性质可求得4=5,%=9,再求4,d,进而可得结果;

(2)由(1)可得S,,=2"2-9W,根据恒成立问题，结合二次函数分析运算.

【详解】(1)设等差数列的公差为d,

由题意可得物一%=(a2+a4)-a2=a4=5,

且S5-S3=g+%=14,则%=9,

可得Q=a5-a4=4,q=a4-3d=-7,

所以q=-7+4g1)=4〃—11.

(2)由(1)可得：S„="("7+4n~11)

=2ZJ2_9„,

2

则-4+2=(2/一训一(4〃—11)+4=2*-13〃+4+11,

13

因为〉=2〃2-13〃+；1+11的开口向上，对称轴为n=二，

4

且"∈N",则当〃=3时，y=2〃2-13a+2+l1取到最小值2-10,

可得K)≥0,BPΛ>10,

所以2的取值范围为［10,收).

21.某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一

级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱(每箱有5kg),

利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：

等级珍品特级优级一级

箱数40301()20

(1)从这100箱橙子中随机抽取1箱，求该箱是珍品的概率；

(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考:

方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；

方案二：分等级出售，橙子价格如下表

等级珍品特级优级一级

价格(元∕kg)36302418

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

(3)从这100箱中抽取3箱，这3箱等级不全相同的概率记为p∣;用分层随机抽样的方法从这100箱

橙子中抽取20箱，再从抽取的20箱中随机抽取3箱，这3箱等级不全相同的概率记为P?,请直接

写出Pl与幺的大小关系(不必说明理由).

2

【正确答案】(1)§

(2)采购商应选择方案一

⑶R<Pi

【分析】(I)根据题意结合古典概型分析运算；

(2)根据题意求方案二的平均单价，进而对比分析；

(3)先按分层抽样求各层抽取的箱数，再根据古典概型运算分析.

【详解】(1)由题意可得：该箱是珍品的概率P=当40=M7

1Uv)ɔ

(2)若选方案一：则单价为27元/kg；

36×40+30×30+24×10+I8×20

若选方案二：则单价为=29.4元/kg；

100

因为27<29.4,所以采购商应选择方案一.

C；o+C狗+C+C*一1465

(3)由题意可得：P=I-

11617'

若用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取20箱，则珍品、特级、优级和一级分别抽取8箱、

6箱、2箱和4箱,

,C：+C：+C：53

则πl0=ι一七L=另'

Eu146553...

因为\(17<~51，所trr以Pi<.

22.已知椭圆C：5+£=l(a>b>0)的离心率为上顶点的坐标为A(0,l),

⑴求椭圆C的方程.

⑵若椭圆C下顶点是B,M是C上一点(不与A,B重合)，直线AM与直线y=2交于点P,直线

BP交椭圆C于点N.求证：直线MN过定点.

2

【正确答案】⑴L+y2=l

2

⑵直线MN过定点(θ,g)

【分析】(1)由题意可得：b=∖,£=也，解方程即可得出答案；

a2

1Q

(2)设P(r,2),直线40的方程为)，=jx+l,直线BP的方程为y=jx-l,两直线分别与椭圆的

方程联立求出M,N的坐标，即可表示出直线MN的方程，即可知求的直线MN过的定点.

【详解】(1)由题意可得：b=∖,£=立，a2=h2+c2,解得a=&,c=l,

a2

•••椭圆C的标准方程为］+丁=ɪ.

(2)A(0,l),设P(f,2),直线AM：y=-x+∖,

y=-x+l

可得：[了+i]/+：X=°,

联立方程＜

4

I

---4Z所以"h⅛

22+/

-T

rO

3

β(0,-l),P&2),直线BP的方程为y=1x-l,

y=-x-l

联立方程,可得:

-+y2=｛

2

6

Zi31

所以

贝=2rK=-

918+/2f82+r2

-+-

rO2

⑵36

则N

18+/'18+产

36(__Λ

%—%=18+*I2+-J=-2/+72=-2(*+6)(*-6)=6-£

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