高考数学人教B版一轮复习训练11-7-2离散型随机变量与其他知识的综合问题

核心考点·精准研析考点一与函数、方程、不等式有关的综合问题

1.已知一批产品的不合格率为p(0<p<1)，从中任取20件作检验，记20件产品中恰好有2件不合格品的概率为f(p)，则f(p)取到最大值时，p= () B.0.2 2.已知离散型随机变量X的分布列为Xx1x2PpE(X)=QUOTE，D(X)=QUOTE，则px1x2的最小值为_________.

3.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间QUOTE，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数QUOTE，QUOTE2QUOTE，QUOTE16QUOTE，QUOTE36QUOTE，QUOTE25QUOTE，QUOTE7QUOTE，QUOTE4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. 导学号(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值.【解析】1.选A.根据题意得f(p)=QUOTEp2(1p)18，因此f′(p)=QUOTE[2p(1p)1818p2(1p)17]=2QUOTEp(1p)17(110p)(0<p<1).令f′(p)=0，得p=0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.所以p=0.1.2.因为QUOTE+p=1，所以p=QUOTE，又因为E(X)=QUOTEx1+QUOTEx2=QUOTE，D(X)=QUOTE+QUOTE=QUOTE，解得QUOTE或QUOTE所以px1x2=QUOTE或px1x2=QUOTE，所以px1x2的最小值为QUOTE.答案：QUOTE3.(1)由题意得，X的可能取值为200，300，500.根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率可知P(X=200)=QUOTE=QUOTE，P(X=300)=QUOTE=QUOTE，P(X=500)=QUOTE=QUOTE，所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为：X200300500P(2)①当200≤n≤300时，若X=200，则Y=(64)X+(24)(nX)=4X2n=8002n，P(Y=8002n)=QUOTE.若X=300时，则Y=(64)n=2n，P(Y=2n)=QUOTE，若X=500时，则Y=(64)n=2n，P(Y=2n)=QUOTE.所以Y的分布列为：Y8002n2n2nP所以E(Y)=QUOTE×(8002n)+QUOTE×2n+QUOTE×2n=QUOTEn+160，所以当n=300时，E(Y)max=520(元).②当300<n≤500时，若X=200，则Y=(64)X+(24)(nX)=8002n，P(Y=8002n)=QUOTE.若X=300时，则Y=(64)X+(24)(nX)=12002n，P(Y=12002n)=QUOTE.若X=500时，则Y=(64)n=2n，P(Y=2n)=QUOTE.所以Y的分布列为：Y8002n12002n2nP所以E(Y)=QUOTE×(8002n)+QUOTE×(12002n)+QUOTE×2n=QUOTEn+640<QUOTE×300+640=520(元).综上，当n为300瓶时，Y的数学期望达到最大值.与函数、方程、不等式有关的综合问题的解法1.与函数有关的问题，结合概率，方差，均值的公式列出函数表达式，再利用函数的性质(单调性、最值等)求解.2.与方程、不等式有关的问题，结合均值、方差公式列出方程或不等式，解方程或不等式即可.考点二与数列有关的综合问题

【典例】某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用A种密码，则第7周也使用A种密码的概率为_________.(用最简分数表示)

【解析】用Pk表示第k周用A种密码的概率，则第k周未用A种密码的概率为1Pk，所以Pk+1=QUOTE，k∈N*，所以Pk+1QUOTE=QUOTE.由P1=1知，数列QUOTE是首项为QUOTE，公比为QUOTE的等比数列，所以PkQUOTE=QUOTE，所以Pk=QUOTE+QUOTE，P7=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE解决离散型随机变量与数列交汇的综合问题的方法把离散型随机变量的分布列、方差、均值用表达式表示出来，结合数列中等比数列、等差数列的定义、通项、求和等【思想方法】，分拆为一个个小问题，各个击破，最后解答整个问题.设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x9，则方差D(ξ)= ()A.QUOTEd2 B.QUOTEd2C.10d2 D.6d2【解析】选B.因为等差数列x1，x2，x3…x9的公差是d，所以QUOTE=QUOTE=x1+4d，D(ξ)=QUOTE[(4d)2+(3d)2+(2d)2+(d)2+02+d2+(2d)2+(3d)2+(4d)2]=QUOTEd2，故选B.考点三与统计交汇的综合问题

命题精解读考什么：与统计知识交汇命题，考查统计背景下离散型随机变量的分布列、均值、方差的计算问题.怎么考：与统计中频率分布直方图、独立性检验、线性回归方程、茎叶图等知识结合，综合考查统计中的数字特征和概率分布中的均值、方差.新趋势：概率与统计结合，综合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差等.学霸好方法与统计知识交汇问题的解决方法(1)熟练掌握统计中抽样方法、用样本估计总体的思想，掌握频率分布直方图、茎叶图、条形图等统计图形的意义，熟记平均数、方差、标准差的公式.(2)正确求解离散型随机变量的分布列、均值、方差，熟悉二项分布、正态分布的模型.与统计中的频率分布直方图等有关的综合问题【典例】一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，x，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验.记A事件为“数字之和为7”.试验数据如表摸球总次数“和为7”出现的频数“和为7”出现的频率1010.102090.4530140.4760240.4090260.29120370.31180580.32240820.343301090.334501500.33参考数据：0.33≈QUOTE(1)如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近.试估计“出现数字之和为7”的概率，并求x(2)在(1)的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元.某人摸球3次，设其获奖金额为随机变量η元，求η的数学期望和方差. 导学号【解析】(1)由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为QUOTE；因为P(A)=QUOTE=QUOTE，所以A事件包含两种结果，则有3+4=2+x=7，解得x=5.(2)设ξ表示3次摸球中A事件发生的次数，则ξ～A3，QUOTE，E(ξ)=3×QUOTE=1，D(ξ)=3×QUOTE×QUOTE=QUOTE；则η=7ξ5(3ξ)=12ξ15，E(η)=E(12ξ15)=12E(ξ)15=1215=3，D(η)=D(12ξ15)=144D(ξ)=144×QUOTE=96.与统计中的回归直线方程、独立性检验有关的综合问题【典例】随着的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：年龄(单位：岁)频数赞成人数QUOTE，QUOTE55QUOTE，QUOTE1010QUOTE，QUOTE1512QUOTE，QUOTE107QUOTE，QUOTE52QUOTE，QUOTE51(1)若以“年龄55岁为分界点”，由统计数据完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计赞成不赞成合计(2)若从年龄不低于55岁的被调查人中随机选取3人进行追踪调查，求3人中赞成“使用微信交流”的人数的分布列和均值.【解析】(1)2×2列联表如下：年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计赞成33437不赞成7613合计104050χ2=QUOTE≈12.578>10.828，所以有99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.(2)设3人中赞成“使用微信交流”的人数为X，则X的取值为0，1，2，3，由(1)中数据可得年龄不低于55岁的人数为10，其中赞成“使用微信交流”的人数为3，不赞成“使用微信交流”的人数为7，所以PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以X的分布列为X0123P所以均值为E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.与统计中的平均数、方差等数字特征有关的综合问题【典例】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件药品进行检测，测量其主要药理成分含量(单位：mg).根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的药品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件药品中主要药理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的药品件数，求P(X=1)(精确到0.0001)及X的数学期望.(2)在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测.①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：10.02，9.78，10.04，9.92，10.14，10.04，9.22，10.13，9.91，9.95，10.09，9.96，9.88，10.01，9.98，9.95，10.05，10.05，9.96，10.12.经计算得QUOTE=QUOTExi=9.96，s=QUOTE=QUOTE≈0.19.其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i=1，2，…，20，用样本平均数QUOTE作为μ的估计值μ′，用样本标准差s作为σ的估计值σ′，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查.②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率(精确到0.001).附：若随机变量Z服从正态分布NQUOTE，则P(μ3σ<Z≤μ+3σ)=0.997，0.99719≈0.9445，0.99720≈0.9417，0.05832≈0.0034，0.94172≈0.8868导学号【解析】(1)抽取的一件药品的主要药理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之内的概率为0.997，从而主要药理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的概率为0.003，故X～B(20，0.003).因此P(X=1)=QUOTE(0.997)19×0.003≈0.0567，X的数学期望为E(X)=20×0.003=0.06.(2)①由QUOTE=9.96，s=0.19，得μ的估计值为μ′=9.96，σ的估计值为σ′=0.19，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量(9.22)在(μ′3σ′，μ′+3σ′)=(9.39，10.53)之外，因此需对本次的生产过程进行检查.②设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，则P(A)=1[P(X=0)]20≈1(0.997)20≈10.9417=0.0583，如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的药品，故概率为P=3[P(A)]2×[1P(A)]2≈3×(0.0583)2×(0.9417)2≈0.009，所以一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率为0.009.1.重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/千米+0.2元/分钟”.刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10千米，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：时间(分钟)次数QUOTE，QUOTE10QUOTE，QUOTE18QUOTE，QUOTE12QUOTE，QUOTE8QUOTE，QUOTE2将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间.(1)试估计小刘每天平均支付的租车费用(每个时间段以中点时间计算).(2)小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有ξ天为“最优选择”，求ξ的分布列和数学期望.【解析】(1)由题可得如下用车花费与相应频率的数表：花费1416182022频率0.20.360.240.160.04估计小刘平均每天用车费用为14×0.2+16×0.36+18×0.24+20×0.16+22×0.04=16.96(元).(2)ξ可能的取值为0，1，2，用时不超过45分钟的概率为0.8，ξ～B(2，0.8)，P(ξ=0)=QUOTE0.80×0.22=0.04，P(ξ=1)=QUOTE0.81×0.21=0.32，P(ξ=2)=QUOTE0.82×0.20=0.64，ξ012P0.040.320.64所以E(ξ)=2×0.8=1.6.2.某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为QUOTE，雨水偏少的概率为QUOTE.若雨水正常，A种蔬菜每亩产量为2000千克，单价为6元/千克的概率为QUOTE，单价为3元/千克的概率为QUOTE；若雨水偏少，A种蔬菜每亩产量为1500千克，单价为6元/千克的概率为QUOTE，单价为3元/千克的概率为QUOTE.(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率.(2)在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500千克，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？【解析】(1)只有当价格为6元/千克时，农民种植A种蔬菜才不亏本，所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000，2000，1000，2500.P(ξ=5000)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，P(ξ=2000)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，P(ξ=1000)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，P(ξ=2500)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，E(ξ)=5000×QUOTE+2000×QUOTE1000×QUOTE2500×QUOTE=500，设收购价格为a元/千克，农民每亩预期收入增加1000元，则2500a≥7000+1500，即a≥3.4，所以收购价