5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)4题型分类

5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)4题型分类一、参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响二、由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)先平移后伸缩y＝sinx的图象eq\o(→,\s\up7(向左φ＞0或向右φ＜0),\s\do5(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)的图象eq\o(→,\s\up7(横坐标变为原来的倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)的图象eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的A倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(2)先伸缩后平移y＝sinx的图象eq\o(→,\s\up7(横坐标变为原来的倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝sinωx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位长度y＝sin(ωx＋φ)的图象eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的A倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图象．三、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质定义域(－∞，＋∞)值域[－A，A]周期T＝eq\f(2π,ω)奇偶性当φ＝kπ，k∈Z时为奇函数当φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时为偶函数当φ≠eq\f(kπ,2)，k∈Z时为非奇非偶函数图象的对称轴直线x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)，k∈Z求法：令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z可求图象的对称中心对称中心：（eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，0），k∈Z求法：令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可求单调性求法：令－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间求法：令eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间注意隐含条件：(1)两条相邻对称轴之间间隔为eq\f(1,2)个周期；(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．（一）三角函数图象变换三角函数图象的平移变换(1)左右平移已知φ>0，平移规律为“左加右减”，即：①若将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移φ个单位长度，则得到的函数图象的解析式为y＝sin(x－φ)．②若将函数y＝sinx的图象沿x轴向左平移φ个单位长度，则得到的函数图象的解析式为y＝sin(x＋φ)．(2)上下平移已知k>0，平移规律为“上加下减”，即：①若将函数y＝sinx的图象沿y轴向上平移k个单位长度，则得到的函数图象的解析式为y＝sinx＋k.②若将函数y＝sinx的图象沿y轴向下平移k个单位长度，则得到的函数图象的解析式为y＝sinx－k.(3)横向伸缩已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝sinωx.(4)纵向伸缩已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝Asinx.题型1：三角函数的图象变换11．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】B【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】因为，所以将函数的图象向右平移个单位得到，即函数的图象.故选：B12．（2023上·新疆·高一校联考期末）为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（

）A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度【答案】A【分析】根据三角函数图象变换规律分析判断即可【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．故选：A13．（2023下·天津红桥·高一统考期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.14．（2023下·山东泰安·高一统考期中）为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度【答案】B【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可【详解】因为，所以只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得的图象，故选：B15．（2023下·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知曲线，，则下列结论正确的是（）A．把上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【分析】利用三角函数图象变换规律可得出结论.【详解】因为，把曲线上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数的图象，再把所得图象向左平移个单位可得到曲线的图象.故选：D.16．（2023下·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（

）A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】B【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.【详解】解：先将函数图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再向右平移个单位得到的图像；或者将函数图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到的图像.故选：B17．（2023下·安徽马鞍山·高一统考期末）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可以得函数的图象.【详解】由题意知，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），就可得函数的图象，所以.故选：B18．（2023下·江西·高一统考期末）将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据伸缩得出解析式，再结合平移得出函数的解析式即可.【详解】由题意将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的得，纵坐标伸长为原来的2倍得,将所得图像向右平移个单位长度，即．故选:A．19．（2023上·北京·高二北京市陈经纶中学校考开学考试）将函数的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用两角和的正弦公式化简，结合图像平移得出结果.【详解】由得，图象向右平移个单位，得到，即，展开得.故选：B.110．（2023下·广东广州·高二校联考期末）要得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据题意，由辅助角公式可得，然后结合三角函数的平移变换，即可得到结果.【详解】因为，即只需要把函数的图像向右平移个单位长度即可.故选：D（二）“五点法”作图用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表．ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)f(x)0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．题型2：“五点法”作图21．（2023下·云南昆明·高一校考阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:

xy作图:

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）利用“五点法”作图，先列表确定五点的坐标，后描点并画图；（2）依据三角函数图象的变换规律求解.【详解】（1）先列表，后描点并画图.0xy0100

（2）把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.22．（2023上·全国·高一专题练习）已知函数(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；列表：作图：(2)直接写出函数的值域和最小正周期．【答案】(1)答案见解析；(2)值域，最小正周期为.【分析】（1）由正弦型函数解析式，列出一个周期内五个点，在坐标系中描点用平滑的曲线画出函数图象即可；（2）由正弦型函数性质求值域，应用最小正周期的求法求最小正周期．【详解】（1）列表:0图象如图所示：（2）因为，则，故函数的值域为，最小正周期为.23．（2023下·北京·高一校考开学考试）已知函数.(1)试用“五点法”画出它的图象；列表：作图：(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？（两种方法）【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）令分别取计算对应的与值，列表描点作图；（2）方法一：由先平移变换再伸缩变换得到函数的图象；方法二：由先伸缩变换再平移变换得到函数的图象.【详解】（1）令，则，列表如下，描点画图.（2）方法一：先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象.方法二：先将的图象各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，然后将曲线向左平移个单位，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象.（三）求三角函数的解析式求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝eq\f(2π,|ω|)，确定ω.(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的两种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知，最好是代入图象与x轴的交点)求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口．注：“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π.题型3：求三角函数的解析式31．（2023·湖北·高二统考学业考试）已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（

）

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】D【分析】由题中函数图象，结合五点法作图及的取值范围可求得的值，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】根据题中函数的部分图象，结合五点法作图可得，故，又，故，所以，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可．故选：D．32．（2023上·四川成都·高二石室中学校考开学考试）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数图象可求出的解析式为，再根据平移规则可得.【详解】由图象可知，，解得；由振幅可知；将代入可得，又，即可得，因此，易知，故选：C.33．（2023下·河南驻马店·高一统考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的图象，求得函数的解析式为，进而求得的值.【详解】由函数的部分图象知，，则，又，所以，又因为，解得，所以，又，得，所以，所以.故选：D.34．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数，，，的图象如图所示．

(1)求的解析式；(2)设若关于的不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质结合题目所给图象得到和周期，从而求出，再代入点，求得即可；（2）根据（1）得到的解析式，从而求得的值域，再利用换元法令，得到关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由图象可得：，，所以，又，则，所以，代入得：，则，，解得：，，又，所以，故．（2）由（1）知：，所以，即，又，所以，则，令，则有恒成立，所以，解得：，故的取值范围为．35．（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的图象确定的值，可得函数解析式，根据图象的伸缩平移变换可得变换后的函数表达式，结合其性质即可求得答案.【详解】由图象可知函数的最小正周期为，又，故，由于，故，所以，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到的图象，因为该图像图象关于原点对称，即为奇函数，故，则，而，则的最小值为，故选：C36．（2023·广东·统考二模）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得相邻对称轴间距离求出周期得出排除BD，再由区分AC即可得解.【详解】因为，，所以相邻两对称轴间的距离，即周期，所以，排除BD，当时，代入，可得，满足题意，代入，可得，不符合题意，故A正确C错误.故选：A37．（2023下·四川眉山·高一校考期中）如图为函数的部分图象．

(1)求函数解析式和单调递增区间；(2)若将的图像向右平移个单位，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)，，(2)最大值，最小值【分析】（1）由图象，先求，再求出，然后代入最值点求即可得的解析式，最后整体代入法解出递增区间即可；（2）由题意图象变换得到，求出整体角的范围，转化为求正弦函数的最值即可.【详解】（1）由图象知，，又则，则，将代入得，，得，解得，由，得当时，，所以.令，，得，，所以的单调递增区间为.（2）将的图像向右平移个单位得，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像.已知，则，则.故当时，最小值为；当时，的最大值为.（四）三角函数图象与性质的综合应用1、与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．2、与正弦函数y＝sinx比较可知，当ωx＋φ＝2kπ±eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值或最小值，因此函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解出，其对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－\a\vs4\al(φ),ω)，0))(k∈Z)．同理y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解出．题型4：三角函数图象与性质的综合应用41．（2023·四川·校联考一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，即，因为函数在上没有零点，则，即，即，则，由，得，得，若函数在上有零点，则，，即，又，则.当时，解得.当时，解得.当时，解得，与矛盾.综上，若函数在上有零点，则或，则若没有零点，则或.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用三角函数平移法则求出函数的解析式，利用间接法求解的范围是解决本题的关键.42．（2023·甘肃陇南·统考一模）将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，以下方程是函数图像的对称轴方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件先求出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质求出对称轴即可.【详解】将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，再将图像向右平移个单位长度，得到，其图像的对称轴满足，即，令时，有，故选：C.43．（2023上·河南焦作·高三统考开学考试）已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先平移得出函数解析式，再根据奇偶性结合范围求参即可.【详解】的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数，因为的图象关于坐标原点对称，所以，即，因为，故当时，m取得最小值．故选：B.44．（2023下·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出平移后解析式，根据关于轴对称由出的最小值.【详解】函数的图像向右平移个单位长度，所得函数解析式为，其图象关于轴对称，则，即，因为，所以当时的最小值是.故选：C45．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据周期变换和平移变换的特征得出变换后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可得解.【详解】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得，再将它的图象向右平移个单位长度，得，因为函数为奇函数，所以，即，又因，所以当时，.故选：B.46．（2023下·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）已知函数，．(1)当时，的最大值及相应的x值；(2)将的图象向左平移个单位后关于原点对称，，求的所有可能取值．【答案】(1)最大值为，此时(2)或.【分析】（1）根据题意，结合三角恒等变换的公式，化简得到，再由，求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由三角函数的图象变换得到，根据题意求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：由函数因为，可得，即，所以，所以，又由，可得，当时，即时，函数的最大值为.（2）解：将的图象向左平移个单位后关于原点对称，可得，因为关于原点对称，即为奇函数，可得，因为，当时，；当时，，所以的所有可能的取值为或.47．（2023上·山东·高三校联考开学考试）已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性，得出极值点，列出等式与不等式，求出，再由图象平移及诱导公式得解.【详解】因为函数在上单调递增，在上单调，所以，即，解得，由题意，，因为函数为偶函数，，所以，解得.故选：D48．（2023上·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）已知函数．(1)若，求的值；(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式、两角差的正弦展开式进行化简可得，再计算可得答案；（2）利用平移可得函数的解析式，根据的范围可得答案.【详解】（1），由，得，即，故或，，即或，，又∵∴；（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为，，，所以函数在上的值域为．一、单选题1．（北京市十一学校20222023学年高一上学期国际部AP项目PreCalHonors期末考试数学试题）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（

）A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】C【分析】先由图象确定周期，求解，再代入最值点，求解.【详解】设函数的周期为，则由图象知，，解得，；由图象点在函数的图象上，则，则，则，解得，又已知，则.故选：C.2．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值.【详解】由题意可得，得，所以，得，所以，因为的图象过点，所以，得，所以，所以，或，所以，或，因为，所以，故选：C3．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）要得到函数的图象，只要把函数的图象（

）A．向左平移个单位； B．向右平移个单位；C．向左平移个单位； D．向右平移个单位【答案】D【分析】根据三角函数平移变换规则计算可求解.【详解】由题意知：，所以只需的图像向右平移个单位就可以得到的图像，故D项正确.故选：D.4．（2023下·四川达州·高一校考期中）要得到函数的图象，只要将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】A【分析】根据余弦函数图象的变换性质进行求解即可.【详解】因为，所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位，故选：A5．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【答案】D【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将变成，再提取系数3，由平移的规则研究即可.【详解】，，函数的图象向左平移可以得到的图象.故选：D6．（2023下·山东青岛·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（

）A．向左平移个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍B．向右平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍C．向左平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍D．向右平移个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的倍【答案】A【分析】用辅助角公式先把函数化为，再用三角函数的图象变换法则即可求解.【详解】因为，把的图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的图象，然后再把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍即可得到的图象.故选：A7．（2024·广东·高三学业考试）把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（）的图象A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的平移法则即可求解.【详解】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象故选：D.8．（2023·四川南充·模拟预测）已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据正弦函数最小正周期公式求出，在根据左加右减求出平移后的解析式.【详解】因为，所以，故，则，则向右平移个单位长度后得到.故选：A9．（2023下·北京东城·高一统考期末）将函数的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用图像平移运算，辅助角公式结合诱导公式，即可逐个选项判断.【详解】，图象向左平移个单位后，得，排除AB；由，C正确；由，D错.故选：C10．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数图象的相邻的对称轴之间的距离为2，将函数的图象向右平移个单位长度﹐再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍﹐纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的恒等变换可得，根据周期求出，即得到的表达式，从而根据三角函数图象变换可得.【详解】，由题意知，最小正周期，又，所以，所以；将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，所以.故选：D11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，运算求解即可得结果.【详解】将的图象向左平移个单位长度后，得到，则，解得，所以当时，的最小值为.故选：C.12．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】利用诱导公式及三角函数的变换规则计算可得.【详解】因为，所以将向右平移个单位得到.故选：D13．（2023上·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】由题有，据此可得答案.【详解】由题有，则，得，结合，得.故选：B14．（2023上·江苏·高一专题练习）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分别求出向左以及向右平移后函数的解析式，再根据两函数图象重合列式求解【详解】的图象向左平移个单位长度得的图象,向右平移（）个单位长度得的图象,由题意得（）所以（）又,故的最小值为,故选：A15．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）函数相邻对称轴和对称中心之间的距离为，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦型函数的图象与性质、函数图象的平移分析运算即可得解.【详解】解：由题意可知，，所以，，又∵且，∴，则，由题意，函数图象向左平移个单位长度可得，∵函数为偶函数，∴，解得：，.又∵，∴.故选：B.16．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式先化简，然后根据三角函数图象变换求得，再结合正弦函数的对称性可解.【详解】，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移个单位长度，得的图象，由的图象关于轴对称得，即.又，故当时，取得最小值.故选：D.17．（2023·全国·高一随堂练习）为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（）．A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变【答案】D【分析】对函数图象的影响可得变换方法.【详解】把上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象.故选：D.18．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）为了得到的图象，则需将的图象（

）A．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位B．横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位【答案】C【分析】由三角函数的图象变换判断.【详解】把的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得的图象，再把的图象向右平移个单位得的图象．故选：C．19．（2023下·天津南开·高一学业考试）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的表达式为（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数图象平移规则可知，向右平移个单位即将替换即可得到结果.【详解】根据三角函数图象平移规则可知，将的图象向右平移个单位可以得到，即可得到.故选：C20．（2023下·陕西西安·高一西安中学校考期中）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【分析】结合对函数图象的影响可得.【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.故选：A.21．（2023上·河南南阳·高三统考期中）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】，周期，函数的图像向右平移个周期后，得函数的图像，而，由题意，，令，得，故A错误；令，得，故B错误；令，得，故C正确；令，得，故D错误.故选：C.22．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与图象重合，求得参数，，即得答案.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度后，得到的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，由于得到的函数的图象与图象重合，故，，所以，又，所以，故选：C．23．（2023上·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【分析】，根据三角函数图象的平移变换即可求解.【详解】因为,所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象.故选:B.24．（2023上·广西贵港·高二校联考开学考试）要得到函数的图象，需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【答案】B【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.【详解】由于，所以将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．故选：B25．（2023·江西赣州·统考模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度（纵坐标不变）后得到函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简的解析式，然后根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.【详解】，，所以的最小值为.故选：D二、多选题26．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）如图是函数的部分图像，若图象经过点，则=（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】将点的坐标代入中结合图象可求出的值，从而可求出【详解】因为的图象过点，所以，所以或，的周期为，当时，由图象可得，得，所以，所以，当时，由图象可得，得，所以，所以，所以，故选：BC27．（2023下·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（

）A．在区间上是增函数B．的一条对称轴方程为C．的一个对称中心为D．方程在区间上有3个实根【答案】BD【分析】由函数图象的平移得函数的解析式，再根据正弦型函数的性质，讨论的的单调性、对称轴、对称中心和零点.【详解】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则，时，，不是正弦函数的单调递增区间，故A选项错误；由，解得的对称轴方程为，其中，时，B选项正确；由B选项可知，不是的对称中心，C选项错误；时，，其中，，，所以方程在区间上有3个实根，D选项正确.故选：BD28．（2023·全国·高一假期作业）如图所示是函数的图象的一部分，则其函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】由题图可知，，又，即，故．故选AD．29．（2023下·云南昆明·高一统考期末）函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】BD【分析】根据诱导公式化简再根据平移的大小验证每个选项即可.【详解】,若向左平行移动个单位长度，得，故错误；若向左平行移动个单位长度，得故正确；若向右平行移动个单位长度，得故错误；若向右平行移动个单位长度，得故正确.故选：30．（2023下·广东江门·高一统考期末）得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（

）A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度【答案】AD【分析】根据三角函数图象的伸缩与平移变换规律即可得出结果．【详解】先平移后伸缩：函数的图象向左平移个单位长度，得，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得；先伸缩后平移：函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再向左平移个单位长度，得，即．故AD符合题意.故选：AD．31．（2023·海南省直辖县级单位·统考三模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象与图象重合，则的值可以为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】BD【分析】根据三角函数图象的平移变化规律可得解析式，由此得到，即可判断答案.【详解】由题意得，由于函数的图象与图象重合，故，当时，；当时，；由于k取整数，故不会取到4或12，故选：BD32．（2023下·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）将函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的可能取值为（

）A． B． C．0 D．【答案】AB【分析】先进行三角函数图象变换，然后根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到为偶函数，所以，所以的可能取值是、，AB选项正确，CD选项错误.故选：AB33．（2023下·四川成都·高一四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数（，）的相邻两条对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点对称C．是函数的一条对称轴D．函数在上单调递增【答案】BCD【分析】根据函数的性质得，再根据图象的伸缩变换先求解出的解析式，然后再逐项分析的对称中心、对称轴、单调性.【详解】解：因为函数（，）的相邻两条对称轴之间的距离为所以函数的最小正周期为，所以，即，所以根据条件可知：，故A选项错误；对于B，因为，所以是的一个对称中心，故正确；对于C，因为，所以是的一条对称轴，故正确；D．当，，因为在时单调递增，所以在上单调递增，故正确.故选：BCD.34．（2023下·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．为是偶函数D．将的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【答案】ACD【分析】由三角函数的图象求得周期即可判断A项，求出三角函数解析式，求其值域即可判断B项，由偶函数定义可判断C项，运用图象伸缩变换及对称性可判断D项.【详解】由图可知，，最小正周期，故选项A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以，对于选项B，当时，，所以，故选项B错误；对于选项C，令，定义域为，，所以为偶函数，即为偶函数，故选项C正确；对于选项D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，故选项D正确.故选：ACD.35．（2023下·新疆伊犁·高一校联考期末）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（

）A．的最小正周期为B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数的单调递增区间为D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象【答案】CD【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可.【详解】由图象可得，，，又，故，所以.显然A错误；对于B项，，不是对称轴，故B错误；对于C项，令，故C正确；对于D项，将函数的图象向右平移个单位得，故D正确.故选：CD.36．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（

）A． B．C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减【答案】BD【分析】根据函数图象求出的解析式，即可判断A、B，再根据三角函数的变换规则得到解析式，再由正弦函数的性质判断C、D．【详解】函数的部分图象，可得，，，则．又，所以，，所以，，又，，，故A错误．由，，，故B正确；将函数的图象向左平移个单位长度得到，则为奇函数，故C错误；当则，因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故D正确，故选：BD．37．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数，下列结论中不正确的有（）A．函数的最小正周期为，且图象关于对称B．函数的对称中心是C．函数在区间上单调递增D．函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到【答案】AC【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦型函数的性质，结合三角函数平移的性质即可得解.【详解】因为，所以函数的最小正周期为，，故A错误；令，得，所以的对称中心是，故B正确；当时，，又在上不单调，所以在区间上不单调，故C错误；的图象向右平移个单位得到的图像对应的解析式为:，故D正确.故选：AC.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于熟练常握三角恒等变换化简，从而得解.38．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（

）A．函数的图象关于对称B．若，，则的最小值为C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象在上单调递增【答案】AD【分析】根据三角函数的图象变换法则，先求出的解析式，再由正切函数的图象性质，逐一判断即可.【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.由于当时，，故A正确；的最小正周期为，若，，则的最小值为一个周期，即，故B错误；无对称轴，故C错误；时，，且单调递增，又函数在单调递增，由复合函数的单调性，得函数的图象在上单调递增，故D正确.故选：AD39．（2023下·高一单元测试）已知函数，则下列说法中不正确的是（

）A．函数的周期是B．函数的图象的一条对称轴方程是C．函数在区间上为减函数D．函数是偶函数【答案】ACD【分析】根据三角函数的周期性，对称性以及单调性分别进行判断即可．【详解】因为函数，所以周期是函数的周期的一半，所以函数的周期为．故A错误；当时，，所以是函数图象的一条对称轴．故B正确；，，所以,故C错误；，则图像不关于y轴对称，故D错误，故选ACD．40．（2023下·江西抚州·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于直线对称C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象D．若方程在上有两个不等实数根，，则【答案】ACD【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】对于A：由图可知，，所以，所以，则，将点代入得：，所以，，又，所以，所以，A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，将函数图象向右平移个单位，可得函数，故C正确；对于D，因为，所以函数图象关于对称，由条件结合图象可知，于是，所以，故D正确．故选：ACD．41．（2023下·云南·高一校联考期末）（多选题）设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（

）A．的取值范围是B．在上有且仅有2个零点C．若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则D．若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增【答案】AC【分析】先由诱导公式化简得到，再由三角函数的图象与性质依次判定.【详解】，因为的图象与直线在上有且仅有1个交点，且，结合正弦函数的图象：所以，解得：，故A选项正确；由图可知，在上可能有2个、3个、4个零点，故B选项错误；的图象向右平移个单位长度得到，则，解得，因为，所以，故C选项正确；，则因为，所以，因为，故在上不一定单调递增，D选项错误；故选：AC.【点睛】方法点睛：已知函数图象有交点，可用数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.42．（2023下·浙江杭州·高一校考期中）已知函数，（

）A．若在区间上单调，则B．将函数的图像向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为C．若方程在区间上恰有三个解，则D．关于x的方程在上有两个不同的解，则【答案】BCD【分析】对于A：求出单调满足的关系与选项比较即可；对于B平移后初相应为的奇数倍；对于C求出相位满足的范围，卡右端点的范围即可；对于D，求出相位满足的范围，卡右端点的范围即可．【详解】对于A，，，若在区间上单调递增，则，解得，由，则，又，解得，所以，若在区间上单调递减，则，解得，同理可得，有，综上，或，A错误；对于B，的图像向左平移个单位得到，若为偶函数，则有，解得，，而，所以最小值为，B正确；对于C，，，函数在区间上恰有三个极值点，则有，解得：，C正确；对于D，，即，，，则，解得：，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：研究函数的性质时可将视为一个整体，用换元法或整体代入，结合正弦函数和余弦函数的图像和性质，利用数形结合思想进行解题.三、填空题43．（2023下·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）函数一个周期的图象如图所示，则函数的解析式为.【答案】【分析】根据图像，由最值求得，根据周期求，最后找点代入求，从而得解.【详解】由图象可知，又，则，所以，又在该曲线上，所以，则，即，又，则，故.故答案为：.44．（2023下·广西钦州·高一校考期中）函数是常数，的部分图象如图所示，则的值是.【答案】【分析】根据给定的图象，依次求出即得函数解析式，再求出函数值作答.【详解】观察图象知，，函数的周期，则，由，得，而，于是，，因此，所以.故答案为：45．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为．【答案】【分析】设，其中，根据，求得，得到，得到函数，结合，即可求解．【详解】由函数的部分图象，设，其中，因为，可得，解得，即，所以，可得，所以，又由，可得，因为，所以．故答案为：.46．（2023下·陕西汉中·高一统考阶段练习）函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则的一个值为．【答案】（答案不唯一）【分析】由三角函数的图像变换及诱导公式，得到，结合题意得到或，进而求得的一个值，得到答案.【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后，可得，由函数与的图像重合，所以即令时，可得所以的一个值为.故答案为：（答案不唯一）.47．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则．【答案】/【分析】由三角函数图象的平移变换求出，再由平移后图象重合，可得，再结合即可得出答案.【详解】，，因为平移后图象重合，故，因为，故．故答案为：.48．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意，先求得平移之后的函数，然后根据其关于轴对称，列出方程，即可得到，从而得到结果.【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，因为图像关于轴对称，所以，，则，.令，得的最小值为.故答案为：49．（2023上·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为.【答案】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点坐标求出的值，可得函数的解析式，根据三角函数的图象变换规律求得新函数的解析式．【详解】根据图象知，，将点代入，得，，又，则，，将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为．故答案为：，．四、解答题50．（2023下·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）已知函数周期是.(1)求的解析式；(2)将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m得取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用给定周期求解作答.（2）利用图象变换求出的解析式，再求出指定区间上的最值作答.【详解】（1）依题意，，函数的周期，解得，所以.（2）依题意，，由，得，则当时，恒成立，当时，，而正弦函数在上单调递减，于是函数在上单调递减，则，，从而，，即，所以m的取值范围是.51．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根根据余弦型函数的周期性质，结合特殊点进行求解即可；（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】（1）由图可知，．因为，所以，．代入有，∴，又∵，∴，∴；（2）由题意知变换后当时，令，即，函数在时单调递减，此时，函数在时单调递增，此时，等价于有两解．所以当时符合题意，即a的取值范围为．52．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式并求出的增区间；(2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若且关于的方程在上有解，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由图象结合正弦函数的性质求得的解析式，再利用整体代入法即可求得的增区间；（2）先由图象的变换得出函数的解析式，再由正弦函数的性质得出的值域，从而得解.【详解】（1）由图象可知，，则，又，所以，故，因为点在上，则，即，所以，即，又，故，所以，令，得，所以的增区间为.（2）先把的图象向右平移个单位得到的图像对应的解析式为，再向下平移1个单位，得到的图像对应的解析式为，，则，所以，即，因为在上有解，即在上有解，所以，即的取值范围为.53．（2023上·江苏苏州·高二统考开学考试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式及单调减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.【答案】(1)，单调减区间为.(2)【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简可得，再函数性质可求得解析式，根据整体代换可求出单调递减区间；（2）由三角函数平移规则可知，再根据三角函数值域以及方程的根可求出方程的所有根之和为.【详解】（1）由题意可知，函数，又因为函数为奇函数，所以可得，，又，解得因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，可得周期，由可得.故函数.令，可得单调减区间为，.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数.由方程得或，即或（舍）当时，，所以或或或；即方程有四个实数根，不妨设为；可得.所以，故所有根之和为.54．（2023下·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）如图是函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．(1)求函数的解析式及上的单调增区间；(2)若时，函数的最小值为，求实数a的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由点是线段DM的中点，根据图象确定，再将最值点代入解析式求角，最后利用整体角代换的方法求解单调区间即可；（2）先求的值域，再利用整体换元法，题目转化为二次函数在闭区间上的最值问题，分类探究即可.【详解】（1）D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点，，.又，.代入点，，，，，令，得的单调递增区间为又在上的单调递增区间为.（2）由第（1）问知，若，则，令，，对称轴为，①当，即时，，解得（舍）；②当，即时，，解得；③当，即时，，得（舍）.综上，.55．（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为.(1)求函数的周期及表达式；(2)若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用三角函数的对称性和周期性计算即可得出周期及解析式；（2）利用三角函数的图象与性质分离参数计算即可.【详解】（1）由于函数以为对称中心，且其相邻的一条对称轴为，可知，故周期，由周期，所以，即函数，又由函数一条对称轴为，所以有，又，故有，所以函数的表达式为；（2）由，可知，由三角函数图像性质可得，所以，又因为函数对任意，都有恒成立，故只需即可，即.故参数的取值范围为.56．（2023下·江西赣州·高一统考期末）已如函数．(1)用“五点法”作出函数在区间上的图像；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在区间上的取值范围．【答案】(1)图像见解析(2)【分析】（1）根据题意列出“五点法”对应的表格，从而得解；（2）利用三角函数平移伸缩变换的性质得到的解析式，从而利用三角函数的性质即可得解.【详解】（1）依题意，列表如下：所以数在区间上的图象如下：

.（2）因为，所以将函数的图像向右平移个单位长度，可得到的图像，再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到的图像，因为，所以，则故的取值范围是.57．（2023上·江西赣州·高一统考期末）设函数.（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；（2）若，求的值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）先列表取出五点，再在直角坐标系中描点，然后连线即可完成；（2）由题可得，再由诱导公式可求得，即可得解.【详解】解：（1）列表如下：020202（2）解：由，得，由，得，由，得，则.【点睛】本题考查“五点法”画函数图像，考查已知三角函数值求三角函数值，解题的关键是正确进行角的拼凑，利用诱导公式求解.58．（2023下·江西·高一校联考期末）已知函数.(1)求的最大值及相应的取值；(2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间.【答案】(1)时，取得最大值.(2).【分