高二人教版数学必修5系列教案：正弦定理

高二人教A版《数学》必修5系列教案：1.1.1正弦定理2

1.1正弦定理（教学设计）

教学目标

1.知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明

方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.

2.过程与方法：让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关

系，引导学生通过观察,推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实

践操作.

3.情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情

推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识问

的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.

教学重、难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.

学法与教学用具

学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：^^=磊=薪，接着就一般斜

三角形进行探索,发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让

学生发现向量知识的简捷,新颖.

教学过程：

一、创设情景、新课引入

如图1.1T,固定AABC的边CB及/B,使边AC绕着顶点C转动.人

思考：NC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？/\

显然，边AB的长度随着其对角NC的大小的增大而增大.能否//\

用一个等式把这种关系精确地表示出来？c4------------%

二、新课讲解：（图1.1-1）

在初中，我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式

关系.如图1.1-2,在RtAABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定

义，有g=sinA,2=sin6,又sinC=1=£,

ccc

be

从而在直角三角形ABC中,南

sin8sinC

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1.1-3,当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定

义'有CD=as„s…而下彳而

1

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c_b

同理可得

sinCsin8

ab

从而

siv\Asin5

（图1.1-3）

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究

这个问题.

（证法二）：过点A作7,比，

由向量的加法可得痢=历+而

则7.的=7.（无+的

.期=7•号

问附cos（90。-/＜）=0+|）||Cfi|cos（900-C）

csin/=〃sinC,B［JC，=/„

sin4sinC

同理，过点c作沅，可得工二G

sinSsinC

Ii-r-3bC

从而---^=—―-=—一-

sinAsin8sinC

类似可推出，当△ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立.（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程,可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,即

3_bc

sinAsin6sinC

［理解定理］

⑴正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在

正数k使a=/rsin/,b=ksinBfc=ks\nC；

⑵a_b_c等价a厂b____c_=_b____a「c

sinAsin8sinC'sinAsin8'sinCsinB'sin/lsinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a="空；

sinF

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin4=垓sinB.

b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.

［例题分析］

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例1（课本例题）.在A43c中,已知4=32.0°,8=81.8°,“=42.9cm,解三角形.

解：根据三角形内角和定理，

C=180°-（Z+8）

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°;

根据正弦定理,

“sinB_42.9sin81.8°

«80.1(cw);

-sin/-sin32.0°

根据正弦定理,

=asinC42.9sin66.2°

c-sin/-sin32.0°«74.1(C/H).

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.

变式训练1：已知在。中，c=10,Z=45°,C=30°,求a,b和8

解：•••c=10,4=45°,C=30°

/.5=180°-(/4+C)=105°

由，=」得吐血1=1。，叫5。=]0五

sin4sinCsinCsin30

由“一=上得

sinBsinC

,csin510xsin105".V6+V2<殳，<行

b----------=-------------——=20sin750=20x-----------=5"6+5。2

sinCsin30°4

例2.（课本例题）在A/l8c中，已知a=20cm,6=28cm,/=40°,解三角形（角度精确到

1°,边长精确到1cm）.

解：根据正弦定理，

.nbsmA28sin40°

sinn=-------x0.8999.

a=~20-

因为0°<8<180°,所以8y64°,或

⑴当8264°时，

C=180°-(J+5)«180°-(40°+64°)=76°,

./sinC20sin76°

‘一sin/一sin400«30(cw).

⑵当8N16°时,

C=1800—(N+8)Z80°—(40°+l16°)=24°,

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asinC20sin240

«13(cm).

sin/sin40°

评述：应注意己知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形.

变式训练2：

⑴在&46。中，b=g,8=60°,c=l,求a和4c

⑵在A46c中，0=6,4=45°,4=2,求6和8,。

解：⑴sinC=3=y匕」

sin5sinCbJ32

•;b>c,B=60°,.•・C<民C为锐角，.•.C=30°,8=90°

/.a=ylh2+c2=2

小Qc.-csinA痛xsin450V3

(2)•・・———=———sinC=-------=-----------------=—

sinAsinCa22

csinA<a<c,:.C=60°或120°

.•.当C=60°时，8=75。力=受比=回空^=6+1,

sinCsin60°

.•.当C=120°时，8=15。/=£^1^二遥sml：>=91

sinCsin60°

.-.6=73+1,5=75°,C=60°或b=g—1,6=15°,C=120°

a+b+c

例3：己知AABC中，NA=60°,a=技求

sin/l+sin8+sinC

b

分析：可通过设一参数k（k〉0）使=k,

siv\AsinBsinC

ba+b+c

证明出

siv\Asin8sinCsin/l+sin^+sinC

解：设工=/^=[J=A(A>o)

sinAsinFsinC

则有a=4sinA,b=ks\nB,c=ks\nC

“Ka+b+cZrsinA+ks\nB+ks\nC.

从而——A—：一«~~：—^二——：---—二k

sin/+sind+sinCsin/l+sind+sinC

又刍--^0=2=4,所以.-4石+.空.—八二2

sinAsin60sin/l+sin^+sinC

评述：在公出(：中，等式^^=^5=^7；=.=k(k〉6

sin，sin©sinCsin/+sinG+sinC'7

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恒成立.

变式训练3：已知AABC中,sinAsinB:sinC=1:2:3,求a:匕:c

（答案：1：2：3）

例4：在△46C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,

求证：三角形面积=—«6sinC=—6csin^=—acsinB

MBC222

（记忆：两边夹角正弦值的一半）

附：（课本P8探究与发现的分析）

已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:

⑴若A为锐角时：

a<bsinA无解

a=bsinA—解（直角）

bsinA<a<b二解（一锐，一钝）

a>b一解（锐角）

a<b无解

⑵若A为直角或钝角时：

a>b一解（锐角）

三、课堂小结

ab_c_a+h+c

（1）定理的表示形式:=4/>0）；

sinZsin8sinCsin力+sin8+sinC

或a=/rsix\A,b=ks\v\B,c=ks\nC（左>0）

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边,求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角.

四、课时必记：（优化设计P1知识拓展）

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,即

a_b.=2R（其中R指的是三角形夕卜接圆的半

sinAsin8

径）

五、分层作业：

A组：：

1.在△46C中，siMasiM於sin2c则a'为（A）

5

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A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

2.在△4?。中，已知角8=45°,c=20,6=迪，则角A的值是（D）

3

A.15°B.75°C.105°D.75°或15°

3.若包工=*=驷£，则△加。是（C）

ahc

A.等边三角形B.有一内角是30°

C.等腰直角三角形D.有一内角是30°的等腰三角形

4、（坨0146101）已知八/止。中，a=50,b=25遍，A=450,求B.

（答：60。或120。）

5、（tb0146102）在AABC中，已知a=g,b=痣，B=45°,求角A、C和边c.

76+V2A/6—V2

（答:A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=）

22

B组：

1、在△/阿中，a:b:c=l:行：2,则4:8:。等于（A）

A.：j3B.231C.L32D.312

2、（tb4800310）已知在AABC中，三内角正弦之比为4：5：6,又周长为"，求三边长.

2

（略解：2,-,3）

2

C组：

1、（tb4800302）已知为6的平分线,求证：AB：BC=AD：〃以备注：内角平分线

定理）

分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而