河南省信阳市平桥区龙井乡中心学校等5校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

河南省信阳市平桥区龙井乡中心学校等5校2022-2023学年

九年级上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线y=3(x+2f-6的顶点坐标是()

A.(-2,6)B.(-2,-6)C.(2,6)D.(2,-6)

【答案】B

【分析】根据顶点式y=a[x-h)2+k的顶点坐标为(ΛΛ)求解即可.

【详解】解：抛物线y=3(x+2)=6的顶点坐标是(-2,-6),

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数顶点式y=a(x-〃)2+k的顶点坐标为(/?,%),掌握顶点式

求顶点坐标是解题的关键.

2.在平面直角坐标系中，以原点为圆心的O半径是4,点P的坐标为(3,4),则点尸与

O的位置关系是()

A.点尸在圆内B.点P在圆上C.点P在圆外D.不能确定

【答案】C

【分析】先利用勾股定理求出点尸到原点的距离％再判断d与半径厂的大小关系，从

而得出答案.

【详解】解：•••点P的坐标是(3,4),

由勾股定理可得点P到圆心的距离d=OP=屈不=5，

又《。半径r=4>

ʌd>r

点P在、。内外，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点与圆的3种位置

关系，设《。的半径为广，点尸到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外0d>厂，点

P在圆上=d=r,点P在圆内OdC八

3.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、

④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（）

C.③D.④

【详解】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形.故选C.

4.如图，在平面直角坐标系中，将AMC绕A点逆时针旋转90。后，B点对应点的坐标

.（0,3）C.（1,2）D.（0,2）

【答案】D

【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小作出旋转后的图形,

即可得出答案.

【详解】

如图，AABC绕点A逆时针旋转90。后，B点对应点的坐标为（0,2）,故答案选择D.

【点睛】本题考查的是坐标与图形的变化——旋转，记住旋转只改变图形的位置不改变

图形的形状和大小.

5.如图随机闭合开关K「Kr匕中的两个，能让灯泡ZV4至少一盏发光的概率为（）

试卷第2页，共20页

【答案】D

【分析】依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事

件的概率.

【详解】解：由题意可得：

开关

KiK2K1K3K2K3

结果L2亮LIL2均亮L∣L2均不亮

共有3种等可能结果，其中能让灯泡“七至少一盏发光的有2种,

•••随机闭合开关K「K2、K,中的两个，能让灯泡小J至少一盏发光的概率为：2，

故选：D：

【点睛】此题考查的是列举法求概率.注意不重复不遗漏的列出所有可能的结果，概率

=所求情况数与总情况数之比.

6.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管

理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽

为多少米？若设小道的宽为X米，则根据题意，列方程为（）

A.35×20-35x-20x+2√=600B.35×20-35x-2×20x=600

C.(35-2x)(20-x)=600D.(35-x)(20-2x)=600

【答案】C

【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植

的面积为600列出方程即可.

【详解】解：如图，设小道的宽为X，"，

则种植部分的长为（35-2力m,宽为（20-x）m,

由题意得：(35-2x)(20-X)=600.

故选C.

【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的

突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键.

7.如图，AB是：O的直径，点P是一。外一点，Po交。于点C,连接BC,PA.若

ZP=36°,且％与O相切，则此时48等于()

A.27°B.320C.36oD.54°

【答案】A

【分析】先利用切线的性质求出NAOP=54。，再利用等腰三角形的性质即可得出结论.

【详解】解：应是〈。的切线，

.-.ZPAO=90°,

.∙.ZAOP=90°-NP=54°,

OB=OC,

.-.ZAOP=IAB,

NB=LNAOP=27°,

2

故选：A.

【点睛】此题考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉切线的性质和

等腰三角形的性质.

8.如图，函数y=履+A(ZwO)与y=W("7≠0)的图象交于点A(-2,3),B(l,-6)两点，则

不等式依=生+6>0的解集为()

X

试卷第4页，共20页

A.x>-2B.-2<x<0Wcx>lC.x>↑D.x<-2或

O<x<l

【答案】D

【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即

可.

【详解】解：：函数)，=辰+/七0)与〉=?，叱0)的图象相交于点4-2,3),8(1,-6)两

点，

不等式质+匕>一的解集为：XC-2或O<x<l,

X

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想

的应用.

9.如图，正六边形ABCDEF内接于。O,点P是C。上的任意一点，则/APB的大小

C.45°D.60°

【答案】B

【分析】由正六边形的性质得出NAOB=I20。，由圆周角定理求出NAPC=30。.

【详解】解：连接OA、OB、如图所示:

360°

VZAOB=——=60°,

6

・•・ZAPC=ɪNAOC=30。,

故选：B.

【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周

角定理求出NAOB=60。是解决问题的关键.

10.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线.

不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单

9

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线，=:；

③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是Ilm.其中正确结

论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】解：由题意，抛物线的解析式为产OX（X-9）,把（1,8）代入可得α=-l,

2

.∙.y=-t2+gt=-（/-4.5）+20.25,

.∙.足球距离地面的最大高度为20.25〃?，故①错误，

.∙.抛物线的对称轴已4.5,故②正确，

∙.∙z=9时，y=0,二足球被踢出9s时落地，故③正确，

∙.∙∕=L5时,）=11.25,故④错误，，正确的有②③，

故选B.

二、填空题

11.一个等腰三角形的两条边长分别是方程d-5x+4=O的两根，则该等腰三角形的周

长是.

【答案】9

【分析】利用因式分解法求出X的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解.

【详解】解：χ2-5x+4=0,

(x-l)(x-4)=O,

试卷第6页，共20页

所以XI=1,X2=4,

当1是腰时，三角形的三边分别为1、1、4,不能组成三角形；

当4是腰时，三角形的三边分别为4、4、1,能组成三角形，周长为4+4+1=9.

故答案是：9.

【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性

质，要注意分情况讨论求解.

12.双曲线丫=：有三个点（4）1）,（不，必），（王，％）若玉<0<々<七，则%，%，%的大小关

系用小于号连接表示是.

【答案】X<，3

【分析】根据双曲线y=j■中％=l>0,可判断出此函数的图象在一，三象限，在每个象限

X

内，y随X的增大而增大，结合玉<。<当<当，即可得出结论.

【详解】解：：双曲线y='中％=1>O,

X

・・・此函数的图象在一，三象限，在每个象限内，），随工的增大而增大，

x1<O<x2<x3,

.∙.y∣<O,%>%>O,

M<%<%

故答案为：

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的图象

与系数的关系以及反比例函数的增减性是解此题的关键.

13.设X/,右是关于X的方程N+3X-〃7=O的两个根，且2X∕=X2,则祖=.

【答案】-2

【分析】根据根与系数的关系求得x∕=-l,将其代入已知方程，列出关于胆的方程，解

方程即可.

【详解】解:根据题意,知x∕+x2=3x∕=-3,则x∕=-l,

将其代入关于X的方程N-3x+〃?=0,得（-1）2+3X（-1）-MJ=O.

解得m=-2.

故答案是：-2.

【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题

是一种经常使用的解题方法.

14.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点。为扇形的圆心，格点A8,C分别在

扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1,则图中阴影部分面积为.

【答案T

【分析】由题意连接OC,先求出OC长和/AOB的度数，再根据扇形的面积公式得出

扇形EOF的面积进而求出阴影部分面积即可.

【详解】解：连接0C,

在R/AQ8C中，由勾股定理得

OCBC2+OB2≈√l2+32=Vio-已知ZAOB=45°,

45^∙(√10)25^_2+3_5

梯形，

360^^^^T303CA=2=2

5£_55万一10

•'S阴影=S扇形。防S梯形Q8CA

T-24

5^-10

故答案为:

4

【点睛】本题考查求不规则图形阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式以及勾股定理

和正方形的性质是解答此题的关键.

15.如图，OA1B19A1A2B2,4444,…是分别以A,A2f…为直角顶点，一

条直角边在X轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点G(X,y),G(X2，%)，

4

。3(天,%)，…均在反比例函数y=1(χ>°)的图象上，则y+%++y0θ的值

为.

试卷第8页，共20页

【分析】根据点C/的坐标，确定），/,由点C/是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到

的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定”，代入反比例函数的关系式，

建立方程解出未知数，表示点。的坐标，确定”，，y1oo,然后再求和，即可求解.

【详解】解：如图，过点C/、C2、C3分别作X轴的垂线，垂足分别为力/、D2、

D3,则/OOG=NOSCZ=N003C3=90°,

OAB1,A1A2B2,Z∖A2A3B3,…是分别以A，4,A,,…为直角顶点，一条直角边

在X轴正半轴上的等腰直角三角形，

ΛZOC∕D∕=ZC∕OD∕=45o,

OD∣=C∣D∣,

"-xι-yι,

∙.∙点Ca,X)在反比例函数y=g(X>0)的图象上，

.∖x∣y∣=4,

解得：M=2,yι=2,

即ODl=C]D]=2,

.∙∙Λ4∕=2O。尸4,

4

设A∕I>2=m则C2。2二。，此时。2(4+(2,〃)，代入y=-(x>O),得:

X

”(4+4)=4,解得：α=2√2-2或α=-2√5-2(舍去)，

即％=20-2,

同理，y3=2√3-2√2,

y4=2√4-2^,

y,00=2√100-2√99,

,χ+%+÷‰=2+2^-2+2√3-2√2+2√4-2√3++2√1∞-2√99=20.

故答案为：20.

【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰直角三

角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论是解题的关键.

三、解答题

16.(1)选择适当的方法解方程：X2-6X-18=0;

(2)对于任意实数。,匕,定义f(a,»=∕+54-A,如，2,3)=22+5乂2-3,若/*,2)=4,

求实数X的值.

【答案】(1)%=3+36，9=3-36；(2)1或-6

【分析】(1)利用配方法解答，即可求解；

(2)根据新运算列出方程，再利用公式法解答，即可求解.

【详解】(1)解：移项，得χ2-6x=18,

配方，得尤2-6χ+9=27,

即(X-3)2=27.

直接开平方，得X-3=±3√L

.'.X1=3+3>∕3,%,=3—ɜʌ/ɜ.

(2)解：由题意知：X2+5X-2=4,

整理得：X2+5X-6=0

a=∖,h=5,C=-6,

/-4αc=25+24=49>0，

-h±∖∣h2-4ac—5±7

..X——

2a2

解得Xl=1,χ2=-f>.

所以实数X的值为1或-6

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平

方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键.

试卷第10页，共20页

17.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个濯位长度，在平面直角坐标系

内，ABC的三个顶点坐标分别为A(l,4),3(1,1),C(3,1).

(1)画出,ABC关于X轴对称的4A4G；

(2)画出“ABC绕点。逆时针旋转90。后的

(3)在(2)的条件下，求点B旋转到B2经过的路径长(结果保万).

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)——π

2

【分析】(1)利用轴对称的性质画出图形即可；

(2)利用旋转变换的性质画出图形即可；

(3)点B旋转到星经过的路径长即为圆弧长，根据弧长公式计算即可;

【详解】(1)ABC关于X轴对称的4A4G如下图所示;

(2)ABe绕点。逆时针旋转90。后的aAMG如上图所示;

(3)如上图，扇形。B与的半径OB=炉1=0.

则扇形。叫的弧长为：也旦=巫乃

1802

即B点旋转到B2经过的路径长为它江

2

【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格

结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

18.某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D∙书

法每人只能加入一个社团,为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取

了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所

占扇形的圆心角为150。.

请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有人；

(2)请你将条形统计图补充完整；

(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社

团；

(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两

名是男同学，两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状

图求恰好选中一男一女的概率.

【答案】(1)360；

(2)见解析；

(3)300：

(4)∣.

【分析】(1)由D的人数除以所占比例即可；

(2)求出C的人数，即可解决问题；

(3)由该校共有学生人数除以参加篮球社团的学生所占的比例即可；

试卷第12页，共20页

(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概

率公式求解即可.

【详解】解：(1)；D所占扇形的圆心角为150。，

•••这次被调查的学生共有：150÷芸=360(人)；

360

故答案为：360,

(2)C组人数为：360-120-30-150=60(Λ),

故补充条形统计图如下图：

(3)1800×——=300(A),

360

答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，

(4)设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下:

开始

：一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，

--A-2

∙∙^p≡→)^12^3-

【点睛】此题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体，

画树状图法求概率，根据条形统计图和扇形统计图获取信息和数据与正确画树状图是解

题的关键.

19.如图，反比例函数y=2的图象与正比例函数y=：X的图象交于点A和B(4,l),点

P(Lm)在反比例函数y=5的图象上.

(1)求反比例函数的表达式和点尸的坐标;

(2)求..AOP的面积.

415

【答案】（1）y=一,点尸坐标为（1,4））（2）—

X;2

【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后把P（l,〃?）代入到解析式，

即可求得m的值；

（2）根据函数的对称性求得A的坐标，再根据待定系数法求得直线AP的解析式，从

而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据SAAOP=SAAOC+SAPOC求得即可.

【详解】解：（1）把点B（4,l）代入y=f,得k=4

4

・・・反比例函数的表达式为y=W

X

∙.∙把P（l,m）代入y=g得：∕n=γ=4

点P坐标为（1,4）.

（2）：点A与点B关于原点对称，点B（4,l）

点A（—4,—1）

设AP与y轴交于点C,直线AP的函数关系式为y=αx+8,

-4a+b--∖a=1

把点A（T-1）、p（l,4）分别代入得:»=4,解得

b=3

直线AP的函数关系式为y=X+3

...点C的坐标（0,3）

φ

∙∙SAAOP=SAAOC+S4pOC=→3×4+→3×l=y

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一

试卷第14页，共20页

次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键.

20.如图，∕Λ4。是直角，半径为5的圆。经过AP上的点T,与AQ相交于点B,C

(1)求证：AP是。。的切线；

(2)已知AT=4,试求BC的长.

【答案】(1)见解析

(2)BC的长为6.

【分析】(1)连接OT,根据等边对等角得到N07B=∕08T,再利用角平分线的定义得

至∣)NTBA=NOBT=NOTB,可以证明A8〃OT,则。TLAP,可以证出结论；

(2)过点B作BHLoT于点H,然后在Rr△OBH中,利用。8=5,8H=AT=4根据勾股

定理求出。”，再利用垂径定理即可求出8C的长.

【详解】(1)证明：连接。7,

'：OT=OB,

：.AOTB=AOBT.

平分NoBA,

：.ZOBT=ZTBA,

.∙.NTBA=NOTB.

:,AB//OT,

又∙.∙∕7¾B是直角，B∣JAQLAP,

：.OT±AP,

.MP是。。的切线;

(2)解：过点8作8∕ΛLO7于点H,则四边形OMBH和四边形ABHT都是矩形.

则在中，。8=5,BH=AT=4,

OH=y∣OB'-BH'=√52-42=3，

：.BC=2BM=2OH=6.

【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，垂径定理以及等角对等边等知识，此题的解

题方法比较多，灵活性比较高.

21.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试

销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1

元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.

(1)写出每天的销售利润y(元)与销售单价X(元)之间的函数关系式及自变量X的取

值范围；

(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那

么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每件的成本X每天的销售量)并求出

在此范围内销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】(l)y=-5X2+800X-27500(50≤X4100)

(2)销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元

(3)销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润是4480元

【分析】(1)根据总利涧=单件利润X销售数量列出关系式即可，根据题意，写出自变

量的取值范围即可；

(2)二次函数求最值即可；

(3)根据每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，求出自变

量的取值范围，再根据二次函数的性质求最值即可.

【详解】(1)解：根据题意，

y=(x-50)[50+5(l∞-x)]

=(x-50)(-5x+550)

=-5x2+800x-27500,

：每件的成本是50元，销售单价是100元，

自变量X的取值范围是：50≤x≤l∞

试卷第16页，共20页

.∖y=-5JC2+800x-275∞(50≤ɪ≤100)；

(2)解：y=-5ΛJ+800x-27500=-5(x-80)2+4500,

∙.∙a=-5vθ,

•••抛物线开口向下.

V50≤x≤l∞,对称轴是直线X=80,

.•.当工=80时，y最大值=4500；

即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元：

(3)解：当y=4(X)0时，一5(X-80)2+4500=4000,

解得：xl=70,X2=90,

.∙.当70≤X≤90时，每天的销售利润不低于4000元，

由每天的总成本不超过7000元，得50(-5x+550)≤7000,解得：χ≥82,

Λ82≤x≤90,

V50≤x≤100,

，销售单价应该控制在82元至90元之间.

此时当x=82时，y最大值=4480元；

即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润是4480元.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用.找准等量关系，正确的列出函数解析式，利用

二次函数的性质求最值，是解题的关键.

22.在平面直角坐标系中，抛物线丫=/+2"武+2"?2-机的顶点为4.

(1)求顶点4的坐标(用含有字母，"的代数式表示)；

(2)若点3(2,%)，＜^(5,北)在抛物线上，且％＞九，则”的取值范围是二(直接写

出结果即可)

(3)当l≤x≤3时，函数y的最小值等于6,求，〃的值.

【答案】⑴顶点A的坐标为(-孙苏-⑺；(2)∕n＜-∣;(3)m=-1+标或—2

24

【分析】(1)将抛物线解析式化成y=(χ+M?+苏-，"的形式，即可求得顶点A的坐标；

(2)将8(2,%),C(5,%)代入抛物线中求得力和"的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况

分别求出函数的最小值，进而求出机的值.

【详解】解：(1)由题意可知：

222

抛物线ʃ=X+2〃IX+Iirr-∕n=(x+m)+m-mf

，顶点A的坐标为(■加,苏・M;

(2)将3(2,%)代入y=X2+Imx+2/一加中，

222

得至IJyB=2+2m×2+2m-tn=2m+3m+4,

将C(5,比.)代入y=x2+2〃优+2∕/-加中，

221

得至IJyc=5+2m×5+2m-m=2tri+9m+25,

由已知条件知：为>%，

∙*∙2m2÷9m+25<2ιrr÷3m+4,

整理得到：6m<-21,

,7

解得：m<--,

2

7

故m的取值范围是：me-,；

(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对

称轴为K=一加,

分类讨论：

①当τ%vl,即用>一1时，

X=I时二次函数取得最小值为y=F+2m+2m2-m=2m2+m+l,

又已知二次函数最小值为6,

・C2J⅛73ZH—I÷A/ST-ɪɪ—ɪ—y∕4↑

・・2m+/H÷1=r6,解得m=-----------或相=--------，

44

又m>T,故"=7+两符合题意;

4

②当-〃?>3,即机<—3时，

x=3时二次函数取得最小值为y=32+2m×3+2m^-ιn=Itrr+5m+9,

又已知二次函数最小值为6,

3

ʌ2m2+5∕π+9=6,解得m=一式或机=-1，

2

3

又根<—3,故机=-：或，"=T都不符合题意；

2

③当1?ml3,即一3≤m≤-l时，

x≈-m时二次函数取得最小值为y