高考数学人教B版一轮复习测评9-3圆的方程

核心素养测评四十八圆的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.方程x2+y2+4mx2y+5m=0表示圆的充要条件是 ()A.QUOTE<m<1 B.m<QUOTE或m>1C.m<QUOTE D.m>1【解析】选B.由D2+E2-4F=16m2+4-20m>0,解得:m>1或m<QUOTE.2.(2020·太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x1)2+(y1)2=4的内部,则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTE∪(1,+∞)C.QUOTE D.QUOTE∪[1,+∞)【解析】选A.联立QUOTE解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a1)2+(3a1)2<4,所以QUOTE<a<1.3.以点(2,1)为圆心且与直线3x4y+5=0相切的圆的方程为 ()A.(x2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y1)2=3C.(x2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y1)2=9【解析】选C.因为圆心(2,1)到直线3x4y+5=0的距离d=QUOTE=3,所以圆的半径为3,即圆的方程为(x2)2+(y+1)2=9.4.经过三点A(1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S= ()A.π B.2π C.3π D.4π【解析】选D.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A(1,0),B(3,0),C(1,2)的坐标代入圆的方程可得QUOTE解得QUOTE所以圆的方程为(x1)2+y2=4,所以圆的半径r=2,所以S=4π.5.(2019·日照模拟)已知圆C:x2+y24x+3=0,则圆C关于直线y=x4的对称圆的方程是 ()A.(x+4)2+(y+6)2=1B.(x+6)2+(y+4)2=1C.(x+5)2+(y+7)2=1D.(x+7)2+(y+5)2=1【解析】选A.根据题意,设要求圆的圆心为C′,其坐标为(a,b),圆C:x2+y24x+3=0,即(x2)2+y2=1,故其圆心为(2,0),半径r=1,C与C′关于直线y=x4对称,则有QUOTE解得QUOTE则要求圆的圆心为(4,6),半径r′=1,其方程为(x+4)2+(y+6)2=1.6.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y28x+6y=0,则下列说法中正确的是()A.圆M的圆心为(4,3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6【解析】选ABD.圆M的一般方程为x2+y28x+6y=0,则(x4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,3),半径为5.显然选项C不正确.ABD均正确.7.已知圆C与直线xy=0及xy4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为 导学号()A.(x+1)2+(y1)2=2B.(x1)2+(y+1)2=2C.(x1)2+(y1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2【解析】选B.由题意设圆心坐标为(a,a),则有QUOTE=QUOTE,即|a|=|a2|,解得a=1.故圆心坐标为(1,1),半径r=QUOTE=QUOTE,所以圆C的标准方程为(x1)2+(y+1)2=2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.圆x2+y2+2x2y=0的半径为________.

【解析】由x2+y2+2x2y=0,得(x+1)2+(y1)2=2,所以所求圆的半径为QUOTE.答案:QUOTE9.若圆x2+y2+2axb2=0的半径为2,则点(a,b)到原点的距离为________. 导学号

【解析】由半径r=QUOTE=QUOTE=2,得QUOTE=2.所以点(a,b)到原点的距离d=QUOTE=2.答案:210.若a∈QUOTE,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示的圆的个数为________. 导学号

【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示圆的条件为a2+4a24(2a2+a1)>0,即3a2+4a4<0,解得2<a<QUOTE.又a∈QUOTE,所以仅当a=0时,方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0,即x2+y2=1表示圆.答案:1个(15分钟35分)1.(5分)(2020·临沂模拟)已知实数x,y满足方程x2+y24x+1=0,则yx的最大值为________,x2+y2的最大值为________.

【解析】原方程可化为(x2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,QUOTE为半径的圆.令yx=b,则yx可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时QUOTE=QUOTE,解得b=2±QUOTE,所以yx的最大值为2+QUOTE.x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+QUOTE)2=7+4QUOTE.答案:2+QUOTE7+4QUOTE2.(5分)如图,在等腰△ABC中,已知|AB|=|AC|,B(1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积为________.【解析】由已知|AB|=2|AD|,设点A(x,y),则(x+1)2+y2=4[(x2)2+y2],所以点A的轨迹方程为(x3)2+y2=4(y≠0),设C(x′,y′),由AC边的中点为D(2,0)知A(4x′,y′),所以C的轨迹方程为(4x′3)2+(y′)2=4,即(x1)2+y2=4(y≠0),所以点C的轨迹所包围的图形面积为4π.答案:4π3.(5分)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k1)x+2的倾斜角α=________. 导学号

【解析】由题意知,圆的半径r=QUOTE=QUOTE≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=x+2,则有tanα=1,又α∈[0,π),故α=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)一圆经过A(4,2),B(1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程. 导学号【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=D.令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=E.由题意知DE=2,即D+E+2=0.①又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0.②1+9D+3E+F=0.③解①②③组成的方程组得D=2,E=0,F=12.故所求圆的方程为x2+y22x12=0.5.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2QUOTE的圆C与直线y=x相切于坐标原点O. 导学号(1)求圆C的方程.(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(xa)2+(yb)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,于是有Q